Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div>
[[Potenzfunktionen|Start]] -[[Potenzfunktionen_Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen_1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_5. Stufe|5. Stufe]]
</div>


==2. Stufe==
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n Element der natürlichen Zahlen. ==
=== Gerade Potenzen ===
Wir betrachten also jetzt die Potenzfunktionen mit negativen Exponenten.
<br>
<br>
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="5_xminusn.ggb" />


<br><br>
'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
 
# Verändere mit dem Schiebregler den Wert von n. Beschreibe das Verhalten der jeweiligen Graphen!
{| cellspacing="10"
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die vom Übergang von n = -4 zu n = -6 usw.!
|- style="vertical-align:top;"
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die vom Übergang von n = -3 zu n = -5 usw.!
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-4</sup> zu f(x) = x<sup>-6</sup> usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\frac 1k</math>-facht. <br>
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac 1k \cdot f(x)</math>.
}}
}}
<br>
}}<br>
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_xn.ggb" />
|}
 
=== Ungerade Potenzen ===
 
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''


<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
{| <!--class="prettytable sortable" -->
filename="6_axminusnc.ggb" />
|-  style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"  
filename="3_ungerade_xn.ggb" />  
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
}}
|}


<br><br>
=== Teste dein Wissen ===
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=  
# Wir betrachten die Graphen zu f(x) = a*x<sup>-2</sup> + c. Beschreibe die Veränderung des Graphen bei der Veränderung der Parameter a und c!
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a*x<sup>-n</sup> + c bei der Veränderung der Parameter a und c!
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
!
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
:{{Lösung versteckt|
:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f \left( 1,5 \right ) = 2^3 = 3,375</math>.
}}
}}
}}
== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR ==
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
{| <!--class="prettytable sortable"-->
|-  style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_axn.ggb" />
|}
{| <!--class="prettytable sortable"-->
|-  style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_axn_test.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
:{{Lösung versteckt|
: 1. <math>a = -0.5, n = 3</math><br>
: 2. Es gibt keine Lösung, denn ...}}
}}<br>
|}
=== Teste Dein Wissen ===
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]

Version vom 15. Januar 2009, 18:46 Uhr

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, n IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

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Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

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Teste dein Wissen

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Die Graphen von f(x) = a*xn, mit a IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*xn, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n IN, a IR .

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