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Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung

Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad Lineare Funktionen erkunden!

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen zu erkennen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

Deine Ziele (Kompetenzen):

• Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
• Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
• Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.

Benötigtes Material: Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)

Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf)

Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

Aufgabe 1: Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten $y$ in Abhängigkeit von den Minuten $x$.

1. Ergänze die Wertetabelle im Heft.
2. Stelle die Funktionsgleichung auf.

Minuten ($x$)	0	10	20	$x$
Kosten ($y$)	?	?	?	?

💡 Tipp 1: Der Startwert

Wenn du 0 Minuten telefonierst ($x=0$), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).

💡 Tipp 2: Die Änderung

Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung $m$.

✅ Lösung

• Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
• Gleichung: $f(x) = 0,15 \cdot x + 10$

Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und n

Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).

Wir betrachten die allgemeine Form $f(x) = m \cdot x + b$ nun als ein Objekt, das wir verändern können.

Merke:

• $b$ (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
• $m$ (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt ($+$) oder fällt ($-$).

Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. $y$ ist die Höhe in cm, $x$ die Zeit in Stunden.

• A: $f(x) = -2x + 15$
• B: $f(x) = -4x + 20$
• C: $f(x) = -1x + 15$

Ordne zu und begründe mathematisch:

1. Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
2. Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
3. Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?

✅ Lösung & Begründung

1. Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt $b=20$ ist der größte Startwert.
2. Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung $|-4|$ ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
3. Kerze A und C waren gleich hoch, da beide $b=15$ haben.

Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen

Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte. Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.

• Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
• Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

Aufgabe 3: Bestimme die Funktionsgleichung $h(t) = m \cdot t + b$, die den Sinkflug beschreibt.

Schritt 1: Steigung m berechnen

Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte $P_1(2|4000)$ und $P_2(5|2500)$: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Berechne $m$ zuerst.

Schritt 2: b bestimmen

Setze dein berechnetes $m$ und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung $y = m \cdot x + b$ ein. Löse dann nach $b$ auf.

✅ Lösung

1. $m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500$ (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
2. Einsetzen: $4000 = -500 \cdot 2 + b$
3. $4000 = -1000 + b \quad | +1000$
4. $5000 = b$
5. Ergebnis: $h(t) = -500t + 5000$

Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)

Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:

• Tarif A: $f(x) = 0,15x + 10$
• Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. $g(x) = 0,25x$

Aufgabe 4: Die Entscheidung

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).

💡 Tipp: Der Ansatz

Wir suchen das $x$, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: Gleichsetzen

$f(x) = g(x)$

✅ Lösung

Gleichsetzen:

$0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x$

$10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10$

$100 = x$

• • Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).

Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen

Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2x - 3$.

Aufgabe 5: Gib eine Funktionsgleichung $g(x)$ an, deren Graph...

1. ... parallel zu $f(x)$ verläuft, aber durch den Punkt $P(0|5)$ geht.
2. ... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie $f(x)$, aber fällt statt steigt.

✅ Lösung

1. Parallel bedeutet: Die Steigung $m$ muss gleich sein. Punkt $(0|5)$ bedeutet $b=5$.

   $g(x) = 2x + 5$

2. Gleicher Abschnitt bedeutet $b = -3$. Fallen bedeutet $m$ muss negativ sein (Zahl beliebig, z.B. -1).

   $g(x) = -1x - 3$ (Beispiel)

Abschluss: Kannst du das Modellieren?

Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:

• Kannst du aus einem Text $m$ und $b$ herauslesen?
• Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?

[Hier optional: Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P]

Geogebra-Aufgabe

Y-Achsenabschnitt b und Steigung m

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