Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest

Beim Signifikanztest sind zwei Fehlentscheidungen möglich. Diese sind nicht zu vermeiden, außer die Zufallswirkung wird ausgeschalten und es erfolgt eine Erhebung der Grundgesamtheit. Da dies allerdings oft nicht möglich ist, muss ein Umgang mit den Fehlern gefunden werden.

Folgende Fehlerarten können beim Signifikanztest auftreten:

Merke: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Der Fehler 1. Art wird oft auch als $\alpha$-Fehler bezeichnet. Diesen Fehler habt ihr bereits kennengelernt. Beim Fehler 1. Art wird eine Nullhypothese fälschlicherweise verworfen. Dieser Fehler wird durch das festgelegte Signifikanzniveau $\alpha$ kontrolliert. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kann also nie größer als das festgelegte Signifkanzniveau $\alpha$ sein.

Der Fehler 2. Art wird oft auch als $\beta$-Fehler bezeichnet. Der Fehler besteht darin, dass eine Nullhypothese irrtümlich nicht verworfen wird. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art lässt sich dieser Fehler nicht kontrollieren.

Die Grafik veranschaulicht beide Fehlerarten.
Wir betrachten wieder dazu unser Klima- Beispiel.
Der blaue Graph ist die Verteilung mit der Wahrscheinlichkeit von 2019 und der rote Graph ist die Verteilung mit der unbekannten Wahrscheinlichkeit von 2020 (Hinweis: Ist ein fiktiver Wert!). Der Fehler 1. Art ist rot markiert und der Fehler 2. Art grün.

Erläuterung der Grafik:
Die Fridays For Future Gruppe will zeigen, dass durch die Fridays For Future Demos der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung sehen, im Vergleich zu 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gestiegen ist. Sie wählen die Hypothesen wie folgt: $H_0:p\leq0,71$ und $H_1:p>0,71$
Der tatsächliche Wert, den die Gruppe natürlich nicht weiß, liegt im Jahr 2020 bei 76%. Welche Fehler können der Gruppe beim Testen unterlaufen?

Fehler 1. Art: Der tatsächliche Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung sehen, beträgt höchtens 71%, durch den Test wird aber fälschlicherweise angenommen, dass der Anteil gestiegen ist.
Fehler 2. Art: Der tatsächliche Anteil liegt über 71% (in dem Fall bei 76%), der Test erkennt dies aber nicht. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.

Übung 1: Fehlerarten bestimmen

Die Partei, die den Klimawandel nicht als Bedrohung sieht, erhofft sich das ihre Argumente im letzten Jahr gegen den Klimawandel bei der Bevölkerung angekommen sind. Die Partei interessiert sich, ob dadurch der Anteil der Menschen, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen im Vergleich zur 2019 (2019 lag der Wert bei 71%) gesunken ist. Sie testen mit folgenden Hypothesen:
$H_0:p\geq0,71$ und $H_1:p<0,71$

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 1. Art im Kausalzusammenhang besteht.

Der Fehler 1. Art besteht daraus, dass mindestens 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, durch den Test aber aber vermutet wird, dass der Anteil gesunken ist.

Beschreibe in Worten, worin der Fehler 2. Art im Kausalzusammenhang besteht.

Der Fehler 2. Art besteht daraus, dass tatsächlich weniger als 71% der Menschen in Deutschland den Klimawandel als Bedrohung ansehen, der Test dies aber nicht erkennt. Das heißt der Test verwirft fälschlicherweise die Nullhypothese nicht.

Übung 2: Kausalzusammenhang

Die Fridays For Future Gruppe konnte durch ihren Signifikanztest zeigen, dass mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%, der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, im Vergleich zu 2019 gestiegen ist. Max, aus der Fridays For Future Gruppe sagt: "Cool! Dann hat der Test ja auch gezeigt, dass unsere Demos bewirkt haben, dass die Menschen in Deutschland ein Bewusstsein für die Klimakrise entwickelt haben."

Nimm Stellung zu dieser Aussage!

Diese Aussage ist nicht korrekt, durch den Signifikanztest könnnen keine Kausualzusammenhänge hergestellt werden. Der Test kann nur zeigen, dass mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% der Anteil, der Menschen die den Klimawandel als Bedrohung ansehen, gestiegen ist. Was allerdings jetzt genau der Auslöser für den Anstieg war, kann durch den Test nicht gezeigt werden.

Klausurtraining - Signifikanztest