Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest

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Beim Signifikanztest sind zwei Fehlerarten möglich. Diese sind nicht zu vermeiden, außer wenn die Grundgesamtheit erfasst wird und somit die Zufallswirkung ausgeschalten wird. Da die Erfassung der Grundgesamtheit allerdings oft nicht möglich ist oder zu aufwenig ist muss ein Umgang mit den Fehlern gefunden werden.

Folgende Fehler können beim Signifikanztest auftreten:

1. Die fälschliche Ablehung der Nullhypothese: Fehler 1. Art
2. Die fälschliche Beibehehaltung der Nullhypothese: Fehler 2. Art

Zur Veranschaulichung betrachten wir unser Beispiel:
Es soll die Aussage "71% der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als große Bedrohung an" überprüft werden.
Dafür werden folgende Hypothesen aufgestellt:

$H_0:p\leq0,71$
$H_1:p>0,71$

Der Fehler 1. Art würde darin bestehen wenn tatsächlich weniger als 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen durch den Test aber vermutet wird, dass mehr als 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung sehen.

Der Fehler 2. Art ist, wenn der wahre Wert tatsächlich größer ist als 71%, aber durch den Test angenommen wird, dass weniger als 71% der Menschen den Klimwandel als Bedrohung ansehen.

Den Fehler 1. Art, hast du bereits in dem Lernpfad kennen gelernt. Er wird durch das Signifikanuniveau $\alpha$ kontrolliert.

In den folgenden Übungen, kannst du dein Vertändnis und die Berechnung der beiden Fehler trainieren.
Los geht´s !

Übung 3: zweiseitiger Test

Mia und Pia haben gehört, dass beim Trampen jedes 10te Auto anhält. Sie beschließen diese Aussage mit einem zweiseitigen Signifikanztest zu überprüfen. Dafür halten sie bei 100 Autos den Daumen raus und schauen wie viele Autos anhalten. Das Signifikanzniveau legen sie auf 5% fest. Es halten 30 Autos an. Führe einen passenden Signifkanztest durch, was kann durch den Test gezeigt werden ?

1. Schritt: Wahl der Nullhypothese $H_0$ und der Gegenhypothese $H_1$

$H_0:p=0,1$ und $H_1:p\neq0,1$

2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus $\alpha$

n=100 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}

3. Schritt: Definition der Zufallsvaraible X und angeben derer Verteilung wenn $H_0$ stimmt

X ist die Anzahl von den 100 Autos die anhalten

X ist

4. Schritt: Entscheidungsregel angeben

Die Ermittlung der kritischen Werte erfolgt analog zum links- und rechtsseitigen Test. Du musst nur das Signifikanzniveau halbieren und auf die linke und rechte Seite aufteilen. Als Verwerfungsbereich erhälst du eine Vereinigung aus zwei Intervallen

$P(X\leq kr)\leq0,025 \Rightarrow kr=4$ und
$P(X\geq kr)\leq0,025\Rightarrow P(X\leq kr-1)\geqq 0,975$
Aus Ablesen in der Tabelle erhält man für k-1=16 also k =17.

Verwerfungsbereich:{ 0..4}$\cup$ {17, ...100}, Annahmebereich: {5...16}

5. Schritt: Entscheiden aufgrund des Ergebnisses der Stichprobe

Da 30 im Verwerfungsbereich liegt ist mit großer statitischen Sicherheit gezeigt, dass mehr als 10% der Autos anhalten .

Klausurtraining - Signifikanztest