Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Wiederholung Binomialverteilung

Hier wiederholst du nochmal kurz die wichtigsten Inhalte der Binomialverteilung.

Übung 1: Grundlagen der Binomialverteilung

Fülle den Lückentext aus!

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treffer und Niete) nennt man Bernoulli-Experiment. Wird solch ein Experiment n-mal wiederholt, und sind die Versuche unabhängig voneinander, erhält man eine Bernoulli-Kette der Länge n. Ist p die Trefferwahrscheinlichkeit und X eine Zufallsvariable, welche die Anzahl k der Treffer angibt, dann kann die Wahrscheinlichkeit für k Treffer durch die Formel von Bernoulli ($P(X=k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$) berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Neben der Binomialverteilung benötigt man auch häufig die zugehörige Verteilungsfunktion, für deren Wahrscheinlichkeit die Schreibweise $P(X\leq k)$ üblich ist. Die kumulierten Wahrscheinlichkeiten werden wie folgt berechnet: $P(X\leq k)=\sum_{i=0}^k B_{n,p}(i)$

Vor allem der Umgang mit kumuliertern Wahrscheinlichkeiten und die grafische Anschauung der Binomialverteilung sind wichtig für die Durchführung eines Signifikanztests. Prüfe und wiederhole dein Können dazu in Übung 2.

Übung 2: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und grafische Anschauung

Es soll die Aussage "71 % der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als Bedrohung an" überprüft werden. Dazu werden 1000 Menschen in Deutschland befragt. a) Skizziere die zugehörige Binomialverteilung.

$P(X=710)=\tbinom{1000}{710}\cdot 0,71^{710}\cdot0,29^{290}$$=0,0278$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,78 %.

Bereche folgende Wahrscheinlichkeiten!

b) Das in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen.

Nutze die Formel von Bernoulli!
Nutze im Taschenrechner die Funktion binompdf(n,p,k)

$P(X=710)=\tbinom{1000}{710}\cdot 0,71^{710}\cdot0,29^{290}$$=0,0278$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,78 %.

c) Das höchstens 680 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.

Nutze die Formel für die kumulierte Wahrscheinlichkeit.
Zur Berechnung nutze in deinem Taschenrechner die Funktion binomcdf(n,p,k).

$P(X\leq680)=\sum_{i=0}^{680} B_{1000,0,71} (i) = 0,0206$

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe höchstens 680 der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,06 %

d) Das mindestens 740 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.

P(mindestens k)=1 - P(höchstens k - 1)
Nutze in deinem Taschenrechner die Funktion binomcdf(n,p,k)

$P(X\geq740)= 1-P(X\leq739)=0,0191$
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens 740 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 1,91 %.

Super gemacht! Dann geht es jetzt weiter mit dem Signifikanztest!

Grundidee vom Signifikanztest