Alles rund um Quadratische Funktionen

Info

In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.

Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei Anwendungsaufgaben, in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.

In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.

Scheitelpunktform

1. Die Scheitelpunktform

Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Wir schauen uns die Funktion $g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$ an. Funktionen dieser Art heißen quadratische Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parabel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Scheitelpunkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt $S$ direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter $d$ ist die $x$-Koordinate und der Parameter $e$ ist die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts. $\Rightarrow S(d|e)$.
Ist der Parameter $a$ kleiner als Null ($a<0$), dann ist der Graph der Funktion $g$ nach unten geöffnet.
Ist $a$ größer als Null ($a>0$), dann ist der Graph von $g$ nach oben geöffnet.
Ist $a$ größer als Eins ($a>1$) oder kleiner als minus Eins ($a<-1$), dann sieht der Graph von $g$ schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt $a$ zwischen minus Eins und Eins ($-1<a<1$), dann sieht der Graph von $g$ breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.

Ist $d$ größer als Null ($d>0$), dann wird der Graph von $g$ nach rechts verschoben.
Ist $d$ kleiner als Null ($d<0$), dann wird der Graph von $g$ nach links verschoben.

Ist $e$ kleiner als Null ($e<0$), dann wird der Graph von $g$ nach unten verschoben.
Ist $e$ größer als Null ($e>0$), dann wird der Graph von $g$ nach oben verschoben.

Entdecke

Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Scheitelpunktform $a, d, e$ auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von $f$ verändert.

2.WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?

Gegeben seien die Funktion $f(x)=\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2$ und die Punkte

$A=(4|0),$

$B=(0|2),$

$C=(-\frac{1}{2}| \frac{9}{8}),$

$D=(\frac{7}{3}|\frac{20}{3})$ und

$E=(2|-2)$.

a) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte $A, B, C, D$ und $E$ auf dem Graphen von $f$ liegen.

Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen $y$-Wert

Die Punkte $A, C$ und $E$ liegen auf dem Graphen, die Punkte $B$ und $D$ nicht.

b) Zeichne den Graphen der Funktion $f$ und die Punkte $A-E$ in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung

Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.

Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen.

Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter $a$ an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst".

Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht:

3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?

Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.

Betrachtet man die Funktionsgleichung $j(x)=a\cdot (x-d)^2+e$, so steht $d$ für die Verschiebung in $x$-Richtung. Ist das Vorzeichen vor dem $d$ dabei negativ, so verschiebt man den Graphen nach rechts und wenn es positiv ist nach links. Das $e$ steht für die Verschiebung in $y$-Richtung nach oben, falls $e$ positiv ist und nach unten wenn es negativ ist.

Betrachtet man die Funktionsgleichung $j(x)=a\cdot (x-d)^2+e$, so beschreibt $a$ die Streckung (falls $a>1$) oder die Stauchung (falls $a<1$). Man geht vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um $a$ Einheiten nach oben (falls $a$ negativ ist nach unten).

Falls $a<1$ ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel $\frac{2}{3}$ nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also $3$ einzusetzen. Somit erhält man $3^2=9$. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren $9*\frac{2}{3}=6$. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts ($3$) und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben ($6$), oder nach unten falls $a$ negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für $a$. Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)

Beispiele sind:

$f(x)=(x-3)^2+2$ hat ihren Scheitelpunkt bei $(3| 2)$

$g(x)=(x+0)^2-4$ hat ihren Scheitelpunkt bei $(0| -4)$

4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen

Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus (Du musst in der App runterscrollen).

Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise. Du kannst dir auch nochmal das GeoGebra-Applet (oben) anschauen und die Schieberegler bewegen um zu sehen wie sich der Graph und die Funktionsgleichung verändert.

Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung $g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$. Für den Scheitelpunkt gilt: $S=(d|e)$. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter $a$ bestimmen. Achte beim Einsetzen von $d$ in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.

Um den Parameter $a$ zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Möglichkeit 1: Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt $(x|y)$ aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach $a$ auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.

Möglichkeit 2: Alternativ kannst du den Parameter $a$ auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht $a$ der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.

Falls $a<1$ ist kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel $\frac{2}{3}$ nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also $3$ einzusetzen. Somit erhält man $3^2=9$. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren $9\cdot\frac{2}{3}=6$. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts ($3$) und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben ($6$), oder nach unten falls $a$ negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für $a$. Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)

5. Funktionsgleichung gesucht!

Im folgenden sind je der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf (im Heft).

a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten $S(2|1)$ und $P(3|5)$?

b) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten $S(-\frac{1}{3}|-2)$ und $P(-3|0)$?

c) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten $S(3|2)$ und $P(0|-\frac{5}{6})$?

Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung $g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$. Überlege dir, was die einzelnen Parameter beschreiben (schaue evtl. Aufgabe 1 nochmal an).

Für den Scheitelpunkt gilt: $S=(d|e)$. Wenn du also den Scheitelpunkt in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter $a$ bestimmen. Achte beim Einsetzen von $d$ in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.

Um den Parameter $a$ zu bestimmen musst du den Punkt $P$ in die Funktionsgleichung einsetzen und nach $a$ auflösen.

$g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$

Setze $S(2|1)$ ein: $g(x)=a\cdot(x-2)^2+1$

Setze $P(3|5)$ ein: $5=a\cdot(3-2)^2+1 \leftrightarrow 5=a\cdot 1^2+1 \leftrightarrow 5=a\cdot 1+1 \leftrightarrow 4=a$

Somit ergibt sich: $g(x)=4\cdot(x-2)^2+1$

$g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$

Setze $S(-\frac{1}{3}|-2)$ ein: $g(x)=a\cdot(x+\frac{1}{3})^2-2$

Setze $P(-3|0)$ ein: $0=a\cdot(-3+\frac{1}{3})^2-2 \leftrightarrow 0=a\cdot (-\frac{8}{3})^2-2 \leftrightarrow 0=a\cdot \frac{64}{9}-2 \leftrightarrow 2=\frac{64}{9}\cdot a \leftrightarrow \frac{9}{32}= a$

Somit ergibt sich: $g(x)=\frac{9}{32}\cdot(x+\frac{1}{3})^2-2$

$g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$

Setze $S(3|2)$ ein: $g(x)=a\cdot(x-3)^2+2$

Setze $P(0|-\frac{5}{6})$ ein: $-\frac{5}{6}=a\cdot(0-3)^2+2 \leftrightarrow -\frac{5}{6}=a\cdot (-3)^2+2 \leftrightarrow -\frac{5}{6}=a\cdot 9+2 \leftrightarrow -\frac{17}{6}=9\cdot a \leftrightarrow -\frac{17}{54}=a$

Somit ergibt sich: $g(x)=-\frac{17}{54}\cdot(x-3)^2+2$

6. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins

• 

Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion $g(x)=-\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2}$ beschreiben, wobei $x$ die Entfernung des Steins vom Ufer und $g(x)$ die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt.

a) Nach wie vielen Metern erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?

Da die Funktion eine negative Steigung besitzt, erreicht der Stein seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.

Der Scheitelpunkt der Funktion ist $S=(3|\frac{5}{2})$. Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also nach $3$ Metern.

b) Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft.

Zu Erinnerung: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat die Form $g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$. Um die Flugbahn zeichnen zu können, musst du die Parameter $a,d$ und $e$ der gegebenen Funktionsgleichung identifizieren.

Zeichne zunächst den Scheitelpunkt $S=(d|e)$ ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen hilft dir der Parameter $a$. Da $a=-\frac{1}{10}<1$ ist, ist dies etwas schwieriger. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten.

Der Scheitelpunkt liegt bei $S=(3|\frac{5}{2})$. Für $a=-\frac{1}{10}$ ist es sinnvoll den Nenner, also $10$ in $x^2$ einzusetzen. Somit erhält man $10^2=100$. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren $100\cdot(-\frac{1}{10})=-10$. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts ($10$) und um die am Ende erhaltene Zahl nach unten ($10$), da die Zahl negativ war. Da somit die Zeichnung recht groß wird, kann man sich auch überlegen eine niedrigere Zahl in $x^2$ einzusetzen. Dies sollte am besten ein Teiler vom Nenner sein, z.B. $5$. Das Vorgehen ist identisch: $5^2=25 \rightarrow 25\cdot (-\frac{1}{10})=-2,5$.

Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf die Wasseroberfläche endet. Auf der $x$-Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der $y$-Achse die Höhe des Steins in Meter.

c)* In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?

Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 9. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. In jedem Fall solltest du für die Rechenschritte dein Heft benutzen.

Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion $g(x)$ bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.

$\begin{array}{rlll} && g(x) &&=&& 0 \\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2} &\mid \cdot(-10)\\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-3)^2-25 &\mid +25 \\ &\Leftrightarrow& 25 &&=&& (x-3)^2 &\mid \sqrt{} \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow&(x_1-3) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-3)=5\\ \end{array}$

Also folgt $x_1=-2$ und $x_2=8$. Damit haben wir zwei Nullstellen.

Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite $8 m$.

Zusammenfassung zur Scheitelpunktform

1. Die allgemeine Scheitelpunktform lautet $f(x)=a\cdot (x-d)^2+e$.
2. Der Parameter $d$ ist der $x$-Wert des Scheitelpunktes, wobei man hier immer das Vorzeichen in der Klammer umkehren muss.
3. Der Parameter $e$ ist der $y$-Wert des Scheitelpunktes.
4. $S(d|e)$ ist der Scheitelpunkt der Funktion.
5. Der Parameter $a$ wird als Streckungsfaktor bezeichnet.
   • Ist $a>1$ wird die Funktion gestreckt, ist $a<1$ wird die Funktion gestaucht.
   • Ist $a$ positiv so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist $a$ negativ so ist sie nach unten geöffnet.
   • Wenn man den Streckungsfaktor $a$ zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um $a$ Einheiten nach oben (falls $a$ negativ ist nach unten). Falls $a<1$ ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls $a$ negativ ist.
6. Hat man nur den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form $f(x)=a\cdot (x-d)^2+e$. Hier kann man den Scheitelpunkt einfach einsetzen für $d$ und $e$. Als nächstes setzt man den anderen Punkt für $x$ und $y$ ein und formt nach $a$ um.

Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform

Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Diese lautet $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

• Um die Scheitelpunktform in die Normalform zu überführen benötigst du die ersten beiden Binomischen Formeln.
• Um die Normalform in die Scheitelpunktform zu überführen benötigst du die Methode der quadratischen Ergänzung.
  
  

Die ersten beiden Binomischen Formeln

1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. Binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ Somit gilt: $f(x)=a\cdot (x-d)^2+e=a\cdot (x^2-2\cdot d\cdot x + d^2)+e=a\cdot x^2-a\cdot 2\cdot d\cdot x + a\cdot d^2+e=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

(mit $b=-a\cdot 2\cdot d$ und $c=a\cdot d^2+e$).

quadratische Ergänzung

Sei $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$:

1. Klammere $a$ aus: $f(x)=a\cdot (x^2+\frac{b}{a}|\cdot x+\frac{c}{a})$.
2. Teile den Vorfaktor von $x$ (also $\frac{b}{a}$) durch $2$, also $\frac{b}{2\cdot a}$. Dieser Wert ist unser $d$ also $f(x)=a\cdot (x^2+2\cdot d \cdot x+\frac{c}{a})$.
3. Wir erhalten also für unsere Klammer in der Scheitelpunktform $(x+d)^2$. Da $(x+d)^2=x^2+2\cdot x+d^2$ ist müssen wir in der Normalform einmal $d^2$ addieren und wieder subtrahieren: $f(x)=a\cdot ((x^2+2\cdot d \cdot x+d^2)-d^2+\frac{c}{a})$.
4. Wir fassen die Klammer zur binomischen Formel zusammen und setzten $a\cdot (-d^2+\frac{c}{a})=e$. Somit erhalten wir $f(x)=a\cdot (x+d)^2+e$. (Das Vorzeichen von $d$ wird hier nicht umgekehrt sondern so übernommen wie es berechnet wurde.)

7. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform

Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.

8. Finde die Paare*

Wandle die Funktionen $g, f, o, m, p$und $n$ in deinem Heft in die Normalenform um und die Funktionen $j, l, k, i$und $h$ in die Scheitelpunktform. Verbinde anschließend die Paare. Hinweis: Drei Funktionen haben keinen Partner.

9. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**

Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.

Die zum Lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.

Die binomischen Formeln lauten:

$(a+b)^2=a^2+2 \cdot ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2 \cdot ab+b^2$

$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$

Die Normalenform

10. Die Normalenform

Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Wir schauen uns die Funktion $g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ an. Diese Funktionsgleichung liegt in der Normalenform vor. In dieser Form kann der $y$-Achsenabschnitt direkt abgelesen werden, es ist nämlich der Parameter $c$. Ist der Parameter $a$ kleiner als Null ($a<0$), dann ist der Graph der Funktion $g$ nach unten geöffnet.
Der Parameter $a$ wird als Streckungsfaktor bezeichnet, wie auch in der Scheitelpunktform. Ist $a$ größer als Null ($a>0$), dann ist der Graph von $g$ nach oben geöffnet.
Ist $a$ größer als Eins ($a>1$) oder kleiner als minus Eins ($a<-1$), dann sieht der Graph von $g$ schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt $a$ zwischen minus Eins und Eins ($-1<a<1$), dann sieht der Graph von $g$ breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.

Entdecke

Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Normalenform $a, b, c$ auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von $f$ verändert.

11. Funktionsgleichung gesucht!

Im folgenden sind je drei Punkte einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Normalenform auf (im Heft).

a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten $P(3|2), Q(-1|0)$ und $R(0|7)$?

b) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten $P(4|3), Q(6|14)$ und $R(9|-4)$?

Die Normalenform hat die Funktionsgleichung $g(x)=a\cdot x^2+ b\cdot x+c$. Überlege dir wie du die Punkte in diese Funktion einfügen kannst.

Setze die Punkte jeweils einzeln in die Funktionsgleichung ein (den ersten Wert für das $x$ und den zweiten Wert für das $y$). Du hast nun drei verschiedene Gleichungen. Überlege dir wie du dieses lineare Gleichungssystem lösen kannst (evtl. hast du hier bereits einen Wert für $c$ den du in die anderen Gleichungen einsetzten kannst).

Du musst nun die Gleichungen so von einander subtrahieren oder addieren, sodass eine der Variablen dabei wegfallen. Dafür musst du zuerst dafür sorgen, sodass die Vorfaktoren dieser Variablen in beiden Gleichungen identisch sind. Hast du nun nur noch eine Variable in der entstandenen Gleichung kannst du nach dieser Variablen auflösen. Hast du noch zwei Variablen musst du erneut eine der Gleichungen mit einer anderen verrechnen um eine weitere Gleichung mit den beiden Variablen zu erhalten. Diese beiden musst du abermals so verrechnen, dass eine der beiden Variablen wegfällt.

Die ausgerechnete Variable kannst du nun in eine der Gleichungen einsetzen wo noch eine weitere Variable vorkommt. Jetzt kannst du erneut umstellen und die zweite Variable berechnen. Wiederhole das Verfahren, falls du $c$ noch berechnen musst.

$g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Setze $P(3|2)$ ein: $2=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=a\cdot 9+b\cdot 3+c$

Setze $Q(-1|0)$ ein: $0=a\cdot(-1)^2+b\cdot (-1) +c=a-b+c$

Setze $R(0|7)$ ein: $7=a\cdot0^2+b\cdot 0 +c=c$

Setze den erhaltenen Wert für $c$ in die ersten beiden Gleichungen ein:

1. $2=a\cdot 9+b\cdot 3+7 \leftrightarrow -5=a\cdot 9+b\cdot 3$
2. $0=a-b+7 \leftrightarrow -7=a-b$

Bringe den Vorfaktor von $b$ der beiden Gleichungen auf den selben Wert, z.B. $3$, indem du die zweite Gleichung mit $3$ multiplizierst:

$-7\cdot 3=a\cdot 3-b\cdot 3 \leftrightarrow -21=3\cdot a-3\cdot b$

Addiere nun die Gleichungen $-5=9\cdot a+3\cdot b$ und $-21=3\cdot a-3\cdot b$ und stelle nach $a$ um:

$-5+(-21)=(9+3)\cdot a \leftrightarrow -26=12\cdot a \leftrightarrow -\frac{13}{6}=a$

Setze nun $a$ in eine der Gleichungen ein, z.B. in $-7=a-b$:

$-7=-\frac{13}{6}-b \leftrightarrow \frac{29}{6}=b$

Somit ergibt sich: $g(x)=-\frac{13}{6}\cdot x^2+\frac{29}{6}\cdot x+7$.

$g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Setze $P(4|3)$ ein: $3=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c=a\cdot 16+b\cdot 4+c$

Setze $Q(6|14)$ ein: $14=a\cdot 6^2+b\cdot 6 +c=a\cdot 36+b\cdot 6+c$

Setze $R(9|-4)$ ein: $-4=a\cdot 9^2+b\cdot 9 +c=a\cdot 81+b\cdot 9+c$

Subtrahiere nun die Gleichungen $3=a\cdot 16+b\cdot 4+c$ und $14=a\cdot 36+b\cdot 6+c$:

$3-14=(16-36)\cdot a+ (4-6)\cdot b \leftrightarrow -11=-20\cdot a-2\cdot b$

Subtrahiere nun die Gleichungen $14=a\cdot 36+b\cdot 6+c$ und $-4=a\cdot 81+b\cdot 9+c$ :

$14-(-4)=(36-81)\cdot a+ (6-9)\cdot b \leftrightarrow 18=-45\cdot a-3\cdot b$

Bringe den Vorfaktor von $b$ der beiden erhaltenen Gleichungen auf den selben Wert, z.B. auf $6$, indem du die erste Gleichung mit $3$ und die zweite mit $2$ multiplizierst:

$-11\cdot 3=-20\cdot 3\cdot a-2\cdot 3 \cdot b \leftrightarrow -33=-60\cdot a-6\cdot b$

$18\cdot 2=-45\cdot 2\cdot a-3\cdot 2 \cdot b \leftrightarrow 36=-90\cdot a-6\cdot b$

Subtrahiere nun die Gleichungen $-33=-60\cdot a-6\cdot b$ und $36=-90\cdot a-6\cdot b$ und stelle nach $a$ um:

$-33-36=(-60-(-90))\cdot a \leftrightarrow -69=30\cdot a \leftrightarrow -2.3=a$

Setze nun $a$ in eine der Gleichungen ohne $c$ ein, z.B. in $-11=-20\cdot a-2\cdot b$:

$-11=-20\cdot (-2.3)-2\cdot b \leftrightarrow -17.5=b$

Setze nun $a$ und $b$ in eine der Gleichungen mit $c$ ein, z.B. in $3=a\cdot 16+b\cdot 4+c$:

$3=-2.3\cdot 16+(-17.5)\cdot 4+c \leftrightarrow 109.8=c$

Somit ergibt sich: $g(x)=-2.3\cdot x^2-17.5\cdot x+109.8$.

Zusammenfassung zur Normalform

1. Die allgemeine Normalform lautet $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$.
2. Der Parameter $c$ ist der $y$-Achsenabschnitt.
3. Der Parameter $a$ wird als Streckungsfaktor bezeichnet.
   • Ist $a>1$ wird die Funktion gestreckt, ist $a<1$ wird die Funktion gestaucht.
   • Ist $a$ positiv so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist $a$ negativ so ist sie nach unten geöffnet.
   • Wenn man den Streckungsfaktor $a$ zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um $a$ Einheiten nach oben (falls $a$ negativ ist nach unten). Falls $a<1$ ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls $a$ negativ ist.
4. Hat man drei Punkte gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$. Hier setzt man alle drei Punkte jeweils für $x$ und $y$ ein und erhält so drei Gleichungen. Nun löst man das lineare Gleichungssystem.
5. Man gelangt von der Normalenform ($f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$) zur Scheitelpunktform ($f(x)=a\cdot (x-d)^2+e$) mittels Quadratischer Ergänzung.
6. Man gelangt von der Scheitelpunktform ($f(x)=a\cdot (x-d)^2+e$) zur Normalenform ($f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$) durch Ausmultiplizieren der Klammer.

Nullstellen

Eine Parabel kann entweder $2, 1$ oder keine Nullstellen besitzen.

1. Sie hat $2$ Nullstellen, falls:
   • sie nach oben geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen negativen $y$-Wert (kleiner als $0$) hat.
   • sie nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen positiven $y$-Wert (größer als $0$) hat.
2. Sie hat $1$ Nullstelle, falls ihr Scheitelpunkt den $y$-Wert $0$ hat (also die $x$-Achse berührt).
3. Sie hat keine Nullstellen, falls:
   • sie nach oben geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen positiven $y$-Wert (größer als $0$) hat.
   • sie nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen negativen $y$-Wert (kleiner als $0$) hat.

Entdecke!

Verändere die Parabel mit Hilfe der Schieberegler und beobachte die Nullstellen $N_1$ und $N_2$. Wann sind sie unterschiedlich, wann gleich und wann nicht vorhanden?

Im folgenden Abschnitt werden die verschiedenen Methoden zur Nullstellenberechnung wiederholt.

Methode 1: Wurzelziehen

Gegeben sei eine Gleichung der Form $0=a\cdot x^2-c$.

Bei dieser Form ist die Bedingungen fürs Wurzelziehen erfüllt: Es gibt keinen Term der Form $b\cdot x$.

Nun muss noch umgeformt werden:

1. Wir bringen $c$ auf die andere Seite: $c=a\cdot x^2$.
2. Wir teilen durch $a$ (sodass der Vorfaktor zu $1$ wird) : $\frac{c}{a}=x^2$.
3. Da jetzt $x^2$ alleine steht kann die Wurzel gezogen werden: $\sqrt{\frac{c}{a}}=\sqrt{x^2}$.
   • Beachte, dass $\frac{c}{a}$ positiv sein muss um die Wurzel ziehen zu können.
   • Beachte, dass beim Wurzelziehen zwei Lösungen entstehen (mit positivem und negativem Vorzeichen).
4. Wir erhalten also $x_1=\sqrt{\frac{c}{a}}$ und $x_2=-\sqrt{\frac{c}{a}}$.

Methode 2: Ausklammern

Gegeben sei eine Gleichung der Form $0=a\cdot x^2+b\cdot x$.

Bei dieser Form ist die Bedingungen fürs Ausklammern erfüllt: Es gibt keinen Term der Form $c$, also keine Zahl ohne ein $x$.

Nun muss noch umgeformt werden:

1. Wir teilen durch $a$ (sodass der Vorfaktor zu $1$ wird) : $0=x^2+\frac{b}{a} \cdot x$.
2. Da jetzt $x^2$ alleine steht können wir $x$ ausklammern: $0=x\cdot (x+\frac{b}{a})$.
   • Wir haben nun ein Produkt. Dieses ist genau dann $0$, wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist:
     • Also ist entweder $x=0$ oder $x+\frac{b}{a}=0 \leftrightarrow x=-\frac{b}{a}$.
3. Wir erhalten also $x_1=0$ und $x_2=-\frac{b}{a}$.

Methode 3.1: p-q Formel

Gegeben sei eine Gleichung der Form $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$.

Bei dieser Form muss man entweder die p-q Formel oder quadratische Ergänzung anwenden.

Es muss umgeformt werden:

1. Wir teilen durch $a$ (sodass der Vorfaktor zu $1$ wird) : $0=x^2+\frac{b}{a} \cdot x+ \frac{c}{a}$.
2. Da jetzt $x^2$ alleine steht können wir in die p-q Formel einsetzten.
   • Die p-q Formel lautet: $x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$.
     • Das $p$ ist der Vorfaktor vor dem $x$, also $\frac{b}{a}$
     • Das $q$ ist die Zahl, also $\frac{c}{a}$
3. Wir erhalten also $x_1=-\frac{\frac{b}{a}}{2}+ \sqrt{(\frac{\frac{b}{a}}{2})^2-\frac{c}{a}}$ und $x_2=-\frac{\frac{b}{a}}{2}- \sqrt{(\frac{\frac{b}{a}}{2})^2-\frac{c}{a}}$.

Methode 3.2: quadratische Ergänzung

Gegeben sei eine Gleichung der Form $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$.

Bei dieser Form muss man entweder die p-q Formel oder quadratische Ergänzung anwenden.

Es muss umgeformt werden:

1. Wir teilen durch $a$ (sodass der Vorfaktor zu $1$ wird) : $0=x^2+\frac{b}{a} \cdot x+ \frac{c}{a}$.
2. Wir teilen nun $\frac{b}{a}$ durch $2$, also $\frac{b}{2\cdot a}$.
3. Diesen Wert quadrieren wir: $(\frac{b}{2\cdot a})^2$.
4. Wir erhalten somit $0=(x+\frac{b}{2\cdot a})^2 -(\frac{b}{2\cdot a})^2+ \frac{c}{a}$.
   • Fühlst du dich hier unsicher scrolle noch einmal hoch zur Quadratischen Ergänzung.
   • Befindet sich die Funktion bereits in der Scheitelpunktform kannst du dir die vorigen Schritte sparen und kannst hier einsteigen (du musst allerdings vorher noch durch $a$ teilen).
5. Bringe $-(\frac{b}{2\cdot a})^2+ \frac{c}{a}$ auf die andere Seite: $+(\frac{b}{2\cdot a})^2- \frac{c}{a}=(x+\frac{b}{2\cdot a})^2$.
6. Ziehe nun die Wurzel: $\pm \sqrt{(\frac{b}{2\cdot a})^2- \frac{c}{a}}=x+\frac{b}{2\cdot a}$.
7. Bringe $+\frac{b}{2\cdot a}$ auf die andere Seite: $-\frac{b}{2\cdot a}\pm \sqrt{(\frac{b}{2\cdot a})^2- \frac{c}{a}}=x$
8. Wir erhalten also $x_1=-\frac{\frac{b}{a}}{2}+ \sqrt{(\frac{\frac{b}{a}}{2})^2-\frac{c}{a}}$ und $x_2=-\frac{\frac{b}{a}}{2}- \sqrt{(\frac{\frac{b}{a}}{2})^2-\frac{c}{a}}$.

12. Erkennen der schnellsten Methode zum Nullstellen berechnen.

Ordne zu.

13. Nullstellen berechnen.

Löse die folgenden Gleichungen mit der jeweils schnellsten Methode.

a) $-3=\frac{3}{4}\cdot x^2-9$

b) $4\cdot x^2=8\cdot x$

c) $\frac{1}{3}\cdot x^2-2\cdot x=8$

Mache dir klar welche Methode du jeweils anwenden kannst. Falls du dir unsicher bist scrolle hoch zu den Erklärungen der Methoden.

Überlege dir wie du die Gleichungen umstellen musst um die passende Form zu erhalten. Beachte ob ein Vorfaktor vor dem $x^2$ steht und bringe ihn auf $1$.

Da hier kein Term der Form $b\cdot x$ vorkommt, kann die Methode Wurzelziehen angewandt werden:

Bringe die Zahlen auf die eine Seite und das $x^2$ auf die andere, indem du auf beiden Seiten $+9$ rechnest: $3=\frac{3}{4}\cdot x^2$.

Bringe nun die Vorfaktor von $x^2$ auf $1$, indem du $\cdot \frac{4}{3}$ rechnest: $4=x^2$.

Ziehe nun die Wurzel:$\sqrt{4}=\sqrt{x^2} \rightarrow \pm2=x \rightarrow x_1=2$ v. $x_2=-2$.

$g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$

Setze $S(-\frac{1}{3}|-2)$ ein: $g(x)=a\cdot(x+\frac{1}{3})^2-2$

Setze $P(-3|0)$ ein: $0=a\cdot(-3+\frac{1}{3})^2-2 \leftrightarrow 0=a\cdot (-\frac{8}{3})^2-2 \leftrightarrow 0=a\cdot \frac{64}{9}-2 \leftrightarrow 2=\frac{64}{9}\cdot a \leftrightarrow \frac{9}{32}= a$

Somit ergibt sich: $g(x)=\frac{9}{32}\cdot(x+\frac{1}{3})^2-2$

$g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$

Setze $S(3|2)$ ein: $g(x)=a\cdot(x-3)^2+2$

Setze $P(0|-\frac{5}{6})$ ein: $-\frac{5}{6}=a\cdot(0-3)^2+2 \leftrightarrow -\frac{5}{6}=a\cdot (-3)^2+2 \leftrightarrow -\frac{5}{6}=a\cdot 9+2 \leftrightarrow -\frac{17}{6}=9\cdot a \leftrightarrow -\frac{17}{54}=a$

Somit ergibt sich: $g(x)=-\frac{17}{54}\cdot(x-3)^2+2$

Ordne zu.

Ordne den Funktionsgleichungen die zugehörigen Nullstellen zu. Berechne diese dafür in deinem Heft.