Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Wiederholung Binomialverteilung

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Hier wiederholst du nochmal die wichtigsten Inhalte der Binomialverteilung. Falls du dich sicher mit der Binomialverteilung fühlst, kannst du diese Seite auch überspringen.

Übung 1

Fülle den Lückentext aus!

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treffer und Niete) nennt man Bernoulli-Experiment. Bei n – maliger Wiederholung eines solchen Zufallsexperiment  erhält man eine Bernoulli-Kette der Länge n. Ist p die Trefferwahrscheinlichkeit und X eine Zufallsvariable, welche die Anzahl k der Treffer angibt, dann kann die Wahrscheinlichkeit für k Treffer durch die Formel von Bernoulli berechnet werden. Die zu X gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Neben der Binomialverteilung benötigt man auch häufig die zugehörige Verteilungsfunktion, für deren Wahrscheinlichkeit die Schreibweise P(x$\lneq$k) üblich ist.

Merke

Formel von Bernoulli: $P(X=k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Erwartungswert: $E(X) = n\cdot p$

Varianz: $V(X) =n\cdot p \cdot (1-p)$

kumulierte Wahrscheinlichkeiten: $F(n;p;k)= P(X\leq k)=\sum_{i=0}^k B_{n,p}(i)$

Vor allem die grafische Interpretation und die Berechnung der kumuliertern Wahrscheinlichkeiten sind wichtig für das Verständnis und die Durchführung eines Signifikanztests. Also frischt euer Wissen dazu nochmal auf!

Übung 2

Wir wollen die Aussage "71 % der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als Bedrohung an" überprüfen. Dazu werden 1000 Menschen in Deutschland befragt. Da eine Bernoulli - Kette vorliegt (Befragte fühlen sich durch den Klimawandel bedroht oder nicht), darf die Binomialverteilung angenommen werden. Bei wahrer Aussage erhalten wir folgende Verteilung. Berechen folgende Wahrscheinlichkeiten!
a) Wie wahrscheinlich ist es, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen?

Nutze die Formel von Bernoulli

$P(X=710)=\tbinom{1000}{710}\cdot 0,71^{710}\cdot0,29^{290}$=0,0278.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,78 %.

b) Wie wahrscheinlich ist es, dass höchstens 680 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen?

Nutze die Formel für die kumulierte Wahrscheinlichkeit.
Zur Berechnung nutze deinen Taschenrechner.

$P(X\leq680)=\sum_{i=0}^{680} B_{1000,0,71} (i) = 0,0206$

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe höchstens 680 der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,06 %

c) Wie wahrscheinlich ist, es dass mindestens 740 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen?

$P(X\geq740)=1-P(X\leq739)$

$P(X\geq740)=1-P(X\leq739)=0,0191$ Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens 740 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 1,91 %.

Aufbau eines Signifikanztests