Benutzer:Cloehner/Integralrechnung/Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Bereits in Abschnitt 4 hast du einen Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen und den Funktionswerten der entsprechenden Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen erkannt. Dieser Zusammenhang lässt sich für beliebige Stammfunktionen verallgemeinern.

Merke: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktionktion zu f, so gilt im Intervall [a;b]:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$

Für die Differenz der Funktionswerte schreibt man auch kurz: $F(b)-F(a)=[F(x)]_{a}^{b}$

Beispiel

Aufgabe

Berechne das Integral $\int_{2}^{8} (x^2-4x)\ dx$.

Lösung

$\int_{2}^{8} (x^2-4x) \ dx = [\frac{1}{3} x^3-2x^2]_{2}^{8} =\frac{8^3}{3}-2\cdot 8^2 - (\frac{2^3}{3}-2\cdot 2^2) =\frac{512}{3}-128-(\frac{8}{3}-8) =48$

Aufgabe 1

Erläutere die Lösungsschritte im Beispiel mit eigenen Worten.

Aufgabe 2

Berechne analog zum Beispiel $\int_{1}^{5}2x^3-5x \ dx$ und $\int_{-2}^{4} 6x^2-5 \ dx$.