Benutzer:Cloehner/Integralrechnung/Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Beispiel|
{{Box|Beispiel|
{{Aufgabe|Berechne das Integral <math>\int_{2}^{8} (x^2-4x) dx</math>.}}
{{Aufgabe|Berechne das Integral <math>\int_{2}^{8} (x^2-4x)\ dx</math>.}}




{{Box|Lösung|<math>\int_{2}^{8} (x^2-4x) dx = [\frac{1}{3} x^3-2x^2]_{2}^{8}
{{Box|Lösung|<math>\int_{2}^{8} (x^2-4x) \ dx = [\frac{1}{3} x^3-2x^2]_{2}^{8}


=\frac{8^3}{3}-2\cdot 8^2 - (\frac{2^3}{3}-2\cdot 2^2)
=\frac{8^3}{3}-2\cdot 8^2 - (\frac{2^3}{3}-2\cdot 2^2)
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{{Aufgaben|1|Erläutere die Lösungsschritte im Beispiel mit eigenen Worten.}
{{Aufgaben|1|Erläutere die Lösungsschritte im Beispiel mit eigenen Worten.}}




{{Aufgaben|2|Berechne analog zum Beispiel <math>\int_{1}^{5}2x^3-5x dx</math> und <math>\int_{-2}^{4} 6x^2-5</math>.}}
{{Aufgaben|2|Berechne analog zum Beispiel <math>\int_{1}^{5}2x^3-5x \ dx</math> und <math>\int_{-2}^{4} 6x^2-5 \ dx</math>.}}

Version vom 13. Januar 2019, 16:30 Uhr

Bereits in Abschnitt 4 hast du einen Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen und den Funktionswerten der entsprechenden Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen erkannt. Dieser Zusammenhang lässt sich für beliebige Stammfunktionen verallgemeinern.


Merke: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktionktion zu f, so gilt im Intervall [a;b]:


Für die Differenz der Funktionswerte schreibt man auch kurz:


Beispiel
Aufgabe
Berechne das Integral .


Lösung


Aufgabe 1
Erläutere die Lösungsschritte im Beispiel mit eigenen Worten.


Aufgabe 2
Berechne analog zum Beispiel und .