Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> | ||
[[Potenzfunktionen|Start]] -[[Potenzfunktionen_Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen_1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_5. Stufe|5. Stufe]] | |||
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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>∈</small> IN == | |||
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n | === Gerade Potenzen === | ||
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< | '''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...''' | ||
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | |||
# | {| cellspacing="10" | ||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die | |- style="vertical-align:top;" | ||
# | | {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | ||
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf | |||
#* Symmetrie | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | |||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-4</sup> zu f(x) = x<sup>-6</sup> usw.! | |||
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\frac 1k</math>-facht. <br> | |||
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} = \frac 1k \cdot f(x)</math>. | |||
}} | }} | ||
<br> | }}<br> | ||
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="3_gerade_xn.ggb" /> | |||
|} | |||
=== Ungerade Potenzen === | |||
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..''' | |||
<ggb_applet height=" | {| <!--class="prettytable sortable" --> | ||
filename=" | |- style="vertical-align:top;" | ||
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="3_ungerade_xn.ggb" /> | |||
|| | |||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= | |||
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf | |||
#* Symmetrie | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre> | |||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.! | |||
}} | |||
|} | |||
=== Teste dein Wissen === | |||
{{Arbeiten|NUMMER= | {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | ||
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl | |||
# | # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)? | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)? | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br> | |||
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f \left( 1,5 \right ) = 2^3 = 3,375</math>. | |||
}} | |||
}} | }} | ||
== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>n</sup>, mit a <small>∈</small> IR == | |||
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .''' | |||
{| <!--class="prettytable sortable"--> | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | |||
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | |||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. | |||
}} | |||
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="4_axn.ggb" /> | |||
|} | |||
{| <!--class="prettytable sortable"--> | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="4_axn_test.ggb" /> | |||
|| | |||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | |||
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl | |||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben. | |||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
: 1. <math>a = -0.5, n = 3</math><br> | |||
: 2. Es gibt keine Lösung, denn ...}} | |||
}}<br> | |||
|} | |||
=== Teste Dein Wissen === | |||
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!] | |||
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!] | |||
Version vom 15. Januar 2009, 18:46 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
| Vorlage:Arbeiten |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste dein Wissen
Die Graphen von f(x) = a*xn, mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*xn, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
| Vorlage:Arbeiten | Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
