Lernpfad 8a - Volumina und Flächen/Kreisumfang

Info

Auf dieser Seite erkundest du den Umfang eines Kreises, erfährst was der Kreis mit der Zahl π zu tun hat und lernst, wie man diesen berechnet.

Erste Erkundungen

Jannis und Paula überlegen, wie sie den Umfang eines Kreises berechnen können.

Aufgabe 1

Beschreibe Jannis und Paulas Ideen in eigenen Worten. Zeichne einen Kreis mit einem Radius von 5cm in dein Heft unter der Überschrift "1 Umfang und Flächeninhalt eines Kreises - 1.1 Umfang eines Kreises". Berechne den Kreisumfang näherungsweise mit beiden Vorgehensweisen. Benenne Vor- und Nachteile von Jannis' und Paulas Methode.

Welche erste Abschätzung für den Kreisumfang lässt sich aus den beiden Vorgehensweisen erkennen? Kreuze alle richtigen Antwortmöglichkeiten an.

Der Umfang ist größer als (1x Durchmesser) (2x der Durchmesser) (3x der Durchmesser) (!4x der Durchmesser)

Der Umfang ist kleiner als (!1x der Durchmesser) (!2x der Durchmesser) (!3x der Durchmesser) (4x der Durchmesser)

Forscherauftrag

Kreise begegnen uns vielfach im Alltag. Suche dir mindestens fünf kreisrunde Gegenstände. Bestimme den Durchmesser und den Umfang dieser Gegenstände, indem du geeignete Messinstrumente verwendest (z.B. Lineal, Faden, Maßband).

Halte deine Ergebnisse in einer Tabelle in deinem Heft unter der Überschrift fest.

Gegenstand	Durchmesser d (in cm)	Umfang U (in cm)
...	...	...

Erkundung

Betrachte die Messergebnisse in der Tabelle. Kannst du eine Regelmäßigkeit erkennen?

Untersuche, welcher Zusammenhang zwischen dem Durchmesser d und dem Umfang U des Kreises besteht. Notiere deine Vermutungen.

Pia hat folgende Messergebnisse. Sie schaut sich das Verhältnis von Umfang und Durchmesser $\frac{U}{d}$ an und ergänzt ihre Tabelle.

Welches Muster lässt sich hier erkennen? Überprüfe deine Vermutung an deinen eigenen Messwerten.

Überprüfe deine Vermutung mithilfe des Applets. Du kannst die Genauigkeit deiner Messungen kontrollieren und weitere Daten sammeln. Sollte das Applet nicht richtig laden, klicke [1].

Der Kreisumfang

Merke

Der Umfang U eines Kreises ist ungefähr dreimal so groß wie sein Durchmesser d. Genauer beschreibt die Kreiszahl $\pi\approx 3,14$ das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser: Für einen Kreis mit dem Radius $r$ und dem Durchmesser $d=2r$ gilt

$U= d \cdot \pi = 2 \cdot r \cdot \pi$.

Ergänze deinen Hefteintrag um eine Skizze und ein Beispiel.

Die Kreiszahl π

Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang U und Durchmesser d ist immer gleich.

Dieses Verhältnis wird Kreiszahl π genannt.  = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie. π ist also kein Element der rationalen Zahlen.

Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden, schaus' dir an:

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Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:

• eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
• Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
• mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
• Mittlerweile (2021) von Schweizer Forschern auf ca. 62,8 Billionen Dezimalstellen berechnet
• beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:

π =  = 3,14159...

• Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.

Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:

Aufgabe 2

Berechne den Kreisumfang. Runde auf zwei Nachkommastellen.

1. Der Radius des Kreises beträgt $r=3$cm.
2. Der Radius des Kreises beträgt $r=5$mm.
3. Der Radius des Kreises beträgt $d=12$cm.
4. Der Radius des Kreises beträgt $d=8$m.

Lösungen:

1. $U=2\cdot 3cm \cdot \pi \approx 18,85cm$
2. $U=2\cdot 5mm \cdot \pi \approx 31,42mm$
3. $U=12cm \cdot \pi \approx 37,7cm$
4. $U=8m \cdot \pi \approx 25,13cm$

Aufgabe 3

Bestimme die Länge der Strecke, die ein Fahrrad mit einem 26-Zoll-Reifen bei einer Radumdrehung zurück legt.

Hinweis: 1 Zoll entspricht 2,54cm

Der Raddurchmesser beträgt 26 Zoll und damit 66,04 cm. Es gilt $U= 66,04 cm \cdot \pi \approx 207,47 cm$.

Mit einer Umdrehung legt das Fahrrad 207,47 cm zurück.

Die Kreisfläche erkunden