Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Aufbau und Durchführung eines Signifikanztests: Unterschied zwischen den Versionen
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Liegt das Stichprobenergebnis im Verwerfungsbereich, so kann die Nullhypothese <math>H_0</math> zugunsten der Gegenhypothese <math>H_1</math> verworfen werden. Die Irrtumswahrscheinlichkeit für diese Schlussfolgerung ist kleiner | Liegt das Stichprobenergebnis im Verwerfungsbereich, so kann die Nullhypothese <math>H_0</math> zugunsten der Gegenhypothese <math>H_1</math> verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit für diese Schlussfolgerung ist kleiner als das Signifikanzniveau <math>\alpha</math>. Liegt das Stichprobenergebnis nicht im Verwerfungsbereich kann die Nullhypothese nicht zugunsten von <math>H_1</math> verworfen werden. Es ist keine statistische Aussage zur wahren Verteilung möglich. <br><br> | ||
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Version vom 9. März 2020, 10:59 Uhr
Die Grundidee vom Signifikanztest hast du bereits verstanden. Auf dieser Seite lernst du nun den Aufbau und die Begrifflichkeiten eines Signifikanztests kennen.
Ein Signifikanztest besteht aus vier Schritten.
Im Folgenden werden die einzelnen Schritte ausführlich beschrieben. Lies dir die Beschreibungen aufmerksam durch, im Anschluss gibt es zwei Übungen, in denen du eigenständig einen Signifikanztest durchführst.
Vorüberlegung:
Skizziere die Binomialverteilung für die Stichprobe mit der bisher geltenden Wahrscheinlichkeit . Kläre die Frage, ob durch bestimmte Einflüsse vermutet wird, dass die bisherige Wahrscheinlichkeit gesunken bzw. gestiegen ist. Falls die Vermutung vorliegt, dass die Wahrscheinlichkeit gesunken ist, liegt ein linksseitiger Test vor, so markiere den linken Rand der Binomialverteilung. Liegt der Verdacht vor, dass die Wahrscheinlichkeit gestiegen ist, so handelt es sich um einen rechtsseitigen Test und es ist der rechte Rand der Verteilung zu markieren.
1. Schritt: Wahl der Nullhypothese und der Gegenhypothese
Die Nullhypothese beschreibt die Wahrscheinlichkeit , die bisher für die Grundgesamtheit galt: . Durch bestimmte Einflüsse wird vermutet, dass gesunken bzw. gestiegen ist. Diese Vermutung wird durch die Gegenhypothese ausgedrückt. lautet also entweder oder . Das Ziel des Signifikanztests ist es, die Nullhypothese zu verwerfen. Kann die Nullhypothese verworfen werden, so ist mit einer großen statistischen Sicherheit gezeigt, dass die Gegenhypothese gilt.
2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus
Der Stichprobenumfang n und das Signifikanzniveau sind meistens in der Aufgabenstellung angegeben. Diese Größen musst du also einfach nur aus dem Aufgabentext herausschreiben. Das Signifikanzniveau legt die Irrtumswahrscheinlichkeit fest, eine Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen. Die Höhe des Signifikanzniveaus legt der Auftragsgeber vor der Durchführung des Tests fest. Ein üblicher Wert ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
. Manchmal wird aber auch ein strenges Niveau von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=1%}
gewählt.
3. Schritt: Definition der Zufallsvariable X und angeben der Verteilung wenn stimmt
Die Zufallsvariable X der zugrundeliegenden Verteilung (also bei uns immer die Binomialverteilung) muss definiert werden. Zudem muss noch die konkrete Verteilung angegeben werden (die Verteilung deiner Skizze), also die Verteilung unter der Voraussetzung das stimmt.
4. Schritt: Entscheidungsregel angeben
In diesem Schritt wird der Verwerfungsbereich für die Zufallsvariable X angegeben. Der Verwerfungsbereich ist der Bereich, der in deiner Skizze markiert ist. Es ist also der Bereich, in dem man aussagen kann, dass mit einer großen statistischen Sicherheit gesunken bzw. gestiegen ist und die Nullhypothese verworfen wird. Der Verwerfungsbereich wird durch den kritischer Wert k festgelegt, bis zu diesem Wert k (linksseitiger Test) beziehungsweise ab diesem Wert k (rechtsseitiger Test) wird die Nullhypothese verworfen.
Hinweis zur Ermittlung des kritischen Wertes k:
Linksseitiger Test:
Zur Bestimmung des kritischen Wertes k erstellt man eine Tabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung. Der kritische k-Wert ist der Wert, bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau ist. Bis zu diesem Wert wird die Nullhypothese verworfen.
Rechtsseitiger Test:
Mindestwahrscheinlichkeiten werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet. Es folgt . Durch Umformen der Gleichung erhält man
Durch Erstellen einer Tabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten für die Binomialverteilung kann der k-Wert abgelesen werden, bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit zum ersten Mal über 1- liegt. Dies ist der kritische Wert k-1. Diesen Wert rechnet man dann noch plus 1 und erhält somit den kritischen Wert. Ab diesem kritischen Wert wird die Nullhypothese verworfen.
Liegt das Stichprobenergebnis im Verwerfungsbereich, so kann die Nullhypothese zugunsten der Gegenhypothese verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit für diese Schlussfolgerung ist kleiner als das Signifikanzniveau . Liegt das Stichprobenergebnis nicht im Verwerfungsbereich kann die Nullhypothese nicht zugunsten von verworfen werden. Es ist keine statistische Aussage zur wahren Verteilung möglich.
Versuche jetzt im Folgenden, eigenständig einen Signifikanztest durchzuführen! Hast du Probleme bei einzelnen Schritten, so lies dir die Informationen oben nochmal genau durch!
Eine Partei sieht den Klimawandel nicht als Bedrohung an. Diese Partei hat ihre Argumente gegen die Bedrohung des Klimawandels im Jahr 2019 in vielen Debatten ausführlich erläutert. Die Partei interessiert sich, ob daher der Anteil der Menschen, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen im Vergleich zu 2019, wo der Wert bei 71% lag, gesunken ist. Sie beschließt in einer Umfrage zufällig 1000 Menschen zu befragen und das Ergebnis anschließend mit einem Signifikanztest zu beurteilen. Das Signifikanzniveau legen sie auf 5% fest.
Führe einen passenden Signifikanztest durch.
Vorüberlegung: Skizze zeichnen
Markiere in der Skizze den Bereich, in dem die Partei mit einer großen statistischen Sicherheit zeigen kann, dass der Anteil gesunken ist.
Um welche Art von Test handelt es sich?
1. Schritt: Wahl der Nullhypothese und der Gegenhypothese
2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus
3. Schritt: Definition der Zufallsvaraible X und angeben der Verteilung wenn stimmt
X ist die Anzahl der 1000 Befragten, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen.
4. Schritt: Entscheidungsregel angeben
Durch Ablesen der Tabelle erhalten wir den kritischen Wert 685. Bis zu diesem Wert wird die Nullhypothese abgelehnt. Es ergibt sich folgender Verwerfungsbereich:{0, ...685}
In der Umfrage kommt raus, dass sich 750 Menschen von den 1000 Befragten durch den Klimawandel bedroht fühlen. Was kann die Partei mit diesem Ergebnis aussagen?
Eine Umweltgruppe will raus finden, ob durch die hohe Öffentlichkeit des Klimawandel-Themas 2019 - unter anderem auch ausgelöst durch die Fridays For Future Demos - der Anteil der Menschen in Deutschland, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen im Vergleich zu 2019, wo der Wert bei 71% lag, gestiegen ist. Sie beschließt, in einer Umfrage zufällig 1000 Menschen zu befragen und das Ergebnis anschließend mit einem Signifikanztest zu beurteilen. Das Signifikanzniveau legen sie auf 5% fest.
Führe einen passenden Signifikanztest durch.
Vorüberlegung : Skizze zeichnen
Um welche Art von Test handelt es sich?
1. Schritt: Wahl der Nullhypothese und der Gegenhypothese
2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus
3. Schritt: Definition der Zufallsvariable X und angeben der Verteilung wenn stimmt
X ist die Anzahl der 1000 Befragten, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen.
4. Schritt: Entscheidungsregel angeben
Erinnere dich daran, wie du Mindestwahrscheinlichkeiten berechnen kannst.
Mindestwahrscheinlichkeiten werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet, es folgt . Durch Umformen der Gleichung erhält man . Man liest also den Wert ab, bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit zum ersten mal größer gleich 0,95 ist. In diesem Fall 733. Da dies der kritische Wert minus 1 ist, rechnet man noch plus 1 und erhält somit den kritischen Wert, in dem Fall 734. Es ergibt sich folgender Verwerfungsbereich: {734,...1000}.
In der Umfrage kommt raus, dass 748 Menschen von den 1000 Befragten sich durch den Klimawandel bedroht fühlen. Wie können die Schüler*innen dieses Ergebnis interpretieren?
Zweiseitiger Signifikanztest:
Neben dem links- und rechtsseitigen Test gibt es auch noch den zweiseitigen Test. Bei dieser Art des Tests will der Auftragsgeber zeigen, dass eine Aussage falsch ist. Der Auftragsgeber weiß allerdings noch nicht, ob der tatsächliche Wert nach links oder rechts abweicht. Die Durchführung des Tests erfolgt sehr ähnlich zum links- und rechtsseitigen Test, aber mit folgenden Unterschieden:
1.) Die Gegenhypothese ist die Gegenaussage zur Nullhypothese .
2.) Das Signifikanzniveau wird halbiert und auf beide Ränder der Binomialverteilung aufgeteilt. Der Verwerfungsbereich besteht somit aus der Vereinigung von zwei Intervallen.
Führe in der nächsten Übung einen zweiseitigen Signifikanztest durch.
2019 wurde veröffentlicht, dass sich 71% der Menschen in Deutschland durch den Klimawandel bedroht fühlen. Journalisten einer Zeitung hinterfragen diesen Wert. Sie wollen also diesen Wert mit einem zweiseitigen Signifikanztest überprüfen. Ihnen geht es hierbei nur um den Wahrheitsgehalt, aber nicht ob der Wert größer oder kleiner ist. Sie beschließen zufällig 1000 Menschen zu befragen. Das Signifikanzniveau legen sie auf 10% fest.
Führe den zweiseitigen Signifikanztest durch.
Vorüberlegung : Skizze zeichnen
Um welche Art von Test handelt es sich?
1. Schritt: Wahl der Nullhypothese und der Gegenhypothese
2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus
3. Schritt: Definition der Zufallsvariable X und angeben der Verteilung wenn stimmt
X ist die Anzahl der 1000 Befragten, die den Klimawandel als Bedrohung ansehen.
4. Schritt: Entscheidungsregel angeben
1.) Aus Ablesen in der Tabelle erhält man den kritischen Wert 685.
2.) Aus Ablesen in der Tabelle erhält man den kritischen Wert 734.
In der Umfrage kommt raus, dass sich 745 Menschen von den 1000 Befragten durch den Klimawandel bedroht fühlen. Wie können die Journalisten dieses Ergebnis interpretieren?