Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Wiederholung Binomialverteilung

Hier wiederholst du nochmal kurz die wichtigsten Inhalte der Binomialverteilung.

Übung 1: Grundlagen der Binomialverteilung

Fülle den Lückentext aus!

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treffer und Niete) nennt man Bernoulli-Experiment. Wird solch ein Experiment n-mal wiederholt, und sind die Versuche unabhängig voneinander, erhält man eine Bernoulli-Kette der Länge n. Ist p die Trefferwahrscheinlichkeit und X eine Zufallsvariable, welche die Anzahl k der Treffer angibt, dann kann die Wahrscheinlichkeit für k Treffer durch die Formel von Bernoulli ($P(X=k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$) berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Neben der Binomialverteilung benötigt man auch häufig die zugehörige Verteilungsfunktion, für deren Wahrscheinlichkeit die Schreibweise $P(X\leq k)$ üblich ist. Die kumulierten Wahrscheinlichkeiten werden wie folgt berechnet: $P(X\leq k)=\sum_{i=0}^k B_{n,p}(i)$

Vor allem der Umgang mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten und die grafische Anschauung der Binomialverteilung sind wichtig für die Durchführung eines Signifikanztests. Prüfe und wiederhole dein Können dazu in Übung 2.

Übung 2: Grafische Anschauung und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Es werden 1000 Menschen in Deutschland befragt, ob sie den Klimawandel als Bedrohung ansehen.

a) Skizziere die Binomialverteilung für das Umfrageergebnis, wenn 71% der Menschen in Deutschland sich durch den Klimawandel bedroht fühlen.

Bereche die Wahrscheinlichkeit dafür,...

b) dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen.

Nutze die Formel von Bernoulli!
Gib im Taschenrechner die Funktion binompdf(n,p,k)ein.
n ist die Anzahl der Versuche(Befragungen), p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und k die Anzahl der Treffer.

$P(X=710)=\tbinom{1000}{710}\cdot 0,71^{710}\cdot0,29^{290}$$=0,0278$.
In den Taschrenrechner wurde zur Berechnung folgende Funktion eingegeben: binomcdf (1000, 0.71, 710).

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,78 %.

c) Das höchstens 680 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.

Höchtes heißt, es können 1,2,3, ...680 der Befragten den Klimawandel als Bedrohung ansehen.

Nutze zur Berechnung die Formel für die kumulierten Wahrscheinlichkeit (siehe Übung 1).
Im Taschenrechner kannst du die kumulierte Wahrscheinlichkeiten über die Funktion binomcdf(n,p,k)berechnen.

$P(X\leq680)=\sum_{i=0}^{680} B_{1000,0,71} (i) = 0,0206$
In den Taschenrechner wurde zur Berechnung die Funktion binomcdf(1000, 0.71, 680) eingegeben.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe höchstens 680 der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,06. %

d) Das mindestens 740 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.

Mindestwahrscheinlichkeiten werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:
P(mindestens k)= 1 - P(höchstens k - 1)
Die Wahrscheinlichkeit für höchstens kannst du wieder mit der Funktion binomcdf(n,p,k)berechnen.

$P(X\geq740) = 1-P(X\leq739)=0,0191$
Im Taschenrechner berechnest du es wie folgt: 1- binomcdf(1000, 0.71, 739)

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens 740 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 1,91 %.

Super gemacht! Dann geht es jetzt weiter mit dem Signifikanztest!

Grundidee vom Signifikanztest