Benutzer:Cloehner/Stochastik Einführungsphase NRW/Vierfeldertafeln und bedingte Wahrscheinlichkeiten

Übergreifende Aufgabe

Erstelle auf Basis der Ergebnisse aller Aufgaben dieser Seite ein Produkt, aus dem die Bedeutung der eingeführten Fachbegriffe sowie die Vorgehensweise zur Berechnung neu eingeführter Werte hervorgeht. Entscheide selbst, in welcher Form du die Inhalte aufbereiten möchtest (z.B. in Textform, als Sketchnote, als Präsentation, ...). Zentrale Begriffe sind: Vierfeldertafel, umgekehrtes Baumdiagramm (Vorgehensweise!), bedingte Wahrscheinlichkeit

Du darfst diese Aufgabe alleine oder in einer Gruppe von maximal vier Personen bearbeiten.

Auf den folgenden Seiten wirst du dich weniger mit Glücksspielen beschäftigen. Stattdessen geht es in erste Linie um verschiedene Ereignisse bei Alltagsphänomenen, deren Wahrscheinlichkeiten häufig in einem Zusammenhang stehen.

Übermäßiger Alkoholkonsum

Im Jahr 2014 konsumierten die Deutschen, die älter als 15 Jahre waren im Schnitt ca. 11 Liter reinen Alkohol. Damit lag Deutschland leicht über dem europaweiten Durchschnitt.

Bei dieser Zahl ist es nicht verwunderlich, dass der Alkoholkonsum bei vielen Deutschen im riskanten Bereich liegt. Der Anteil der Männer, die riskante Mengen Alkohol zu sich nehmen, lag 2017 bei 18 Prozent. Bei den Frauen ist dieser Anteil mit 14 Prozent etwas geringer.

Daten in einem Baumdiagramm visualisieren

Aufgabe 1

Nach Informationen des statistischen Bundesamtes teilt sich die Bevölkerung von ca. 83 Mio. Bundesbürgern in ca. 41 Mio. Männer und 42 Mio. Frauen auf. Erstelle auf Basis dieser Zahlen und der o.g. Angaben zum übermäßigen Alkoholkonsum der Bevölkerung ein Baumdiagramm mit den Ereignissen männlich ($m$) und weiblich ($w$) in der ersten Stufe und übermäßiger Alkoholkonsum ($A$) und kein übermäßiger Alkoholkonsum ($\bar A$) in der zweiten Stufe.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähler Einwohner weiblich ist, beträgt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle P(w)=\frac{42}{83}\approx 0,506=50,6 %} , mit einer Wahrscheinlichkeit von ca Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle P(m)\approx 49,4 %} ist ein zufällig ausgewählter Bundesbürger männlich.

Vom Baumdiagramm zur Vierfeldertafel

Im folgenden Video wird erklärt, wie man aus den Daten in einem Baumdiagramm eine Vierfeldertafel erstellt und welche Informationen darin enthalten sind.

Vierfeldertafel

Bearbeite mit Hilfe des Erklärvideos die folgenden Aufgaben:

Diabetestest

„Blutspenden werden auf Diabetes untersucht, das mit 8% in der Bevölkerung verbreitet ist. Dabei werden an Diabetes Erkrankte mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erkannt, während 2% als Diabetiker eingestuft werden, obwohl sie es nicht sind.”

Aufgabe 2.1

Stelle die Angaben zum Diabetestest in einem Baumdiagramm dar. Verwende zur besseren Vergleichbarkeit die Formelzeichen

$D$ (Person hat Diabetes)

$\bar D$ (Person hat kein Diabetes)

$T$ (Person wird durch den Test als Diabeteker eingestuft) und

$\bar T$ (Person wird durch den Test nicht als Diabeteker eingestuft)

Verwende für die erste Stufe das Merkmal Diabeteserkrankung und für die zweite Stufe das Merkmal Testergebnis. Warum ist diese Reihenfolge bei den gegebenen Daten sinnvoll?

Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Testergebnisse davon abhängen, ob eine Diabeteserkrankung vorliegt oder nicht.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person kein Diabetiker ist und gleichzeitig durch den Test auch nicht als Diabetiker eingestuft wird, beträgt 90,16 %. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person Diabetiker ist und durch den Test auch so eingestuft wird, beträgt 7,6 %.

Aufgabe 2.2

Erstelle auf Basis deines Baumdiagramms eine Vierfeldertafel zum beschriebenen Zusammenhang.

Zur Kontrolle kannst du die Werte in mit der folgenden Tabelle überprüfen:

	$D$	$\bar D$	$\sum$
$T$	7,6() %	1,84() %	9,44() %
$\bar T$	0,4() %	90,16() %	90,56() %
$\sum$	8() %	92() %	100() %

Von der Vierfeldertafel zum Baumdiagramm - bedingte Wahrscheinlichkeiten

Umgekehrtes Baumdiagramm - bedingte Wahrscheinlichkeiten

Manchmal ist es sinnvoll, die Reihenfolge der Merkmale (1. und 2. Stufe) im Baumdiagramm zu vertauschen. Wie das mithilfe einer Vierfeldertafel gelingt erfährst du durch das folgende Video. Achte beim sehen des Videos besonders darauf, was man unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht!

Anmerkung: In manchen Materialien findet man für die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist, die Schreibweise $P(A|B)$. Diese Schreibweise ist gleichbedeutend mit der im Video eingeführten Schreibweise $P_B (A)$.

Aufgabe 3.1

Bleiben wir zunächst beim Kontext des Alkohokonsums. Beschreibe die inhaltliche Bedeutung der bedingten Wahrscheinlichkeiten

$P_{\bar A} (w)$

$P_m (\bar A)$

$P_w (A)$

in Worten. Verdeutliche dabei genau, welches Ereignis bereits eingetreten (bzw. bekannt) ist.

Orientiere dich an den „Denkblasen” im Video.

Aufgabe 3.2

Zeichne das umgekehrte Baumdiagramm zum Diabetestest aus Aufgabe 2.

In deinem Baumdiagramm sollten die folgenden Wahrscheinlichkeiten auftauchen: 0,44 %; 9,44 %; 19,49 %; 80,51 %; 90,56 %; 99,56 %

Aufgabe 3.3

Gib zu den folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten das Formelzeichen und den Wert an:

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person, bei der der Test positiv ausfällt, tatsächlich Diabetes hat?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer Person, die an Diabetes erkrankt ist, dennoch negativ ausfällt?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt, obwohl die Person kein Diabetes hat?

Alle Wahrscheinlichkeiten findest du in einem der beiden Baumdiagramme, die du zur Situation erstellt hast.

Vierfeldertafeln mit absoluten Häufigkeiten

Eine Vierfeldertafel kann auch mit absoluten Häufigkeiten der beiden Merkmale und derer Kombinationen gefüllt werden. Im Feld unten rechts kommt man dann nicht auf den Wert 1 bzw. 100 %, sondern auf die Gesamtgröße der betrachteten Stichprobe. In den inneren Feldern werden nicht die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass eine bestimmte Merkmalskombination eintritt, notiert, sondern die Anzahl der Personen oder Ojekte, auf die diese Merkmalskombination zutrifft notiert. Auch bei diesen Vierfeldertafeln ergeben sich die Werte in den äußeren Feldern aus der Summe der beiden inneren Felder, die sich daneben bzw. darüber befinden.

Aufgabe 4

Betrachte zur Verdeutlichung des beschriebenen Zusammenhangs die folgende Beispielaufgabe: http://de.serlo.org/69316

Zufallsgrößen - Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Erwartungswerte

Stochastische Unabhängigkeit