Benutzer:Cloehner/Stochastik Einführungsphase NRW/Zufallsgrößen - Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Erwartungswerte: Unterschied zwischen den Versionen
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==Grundlagen== | |||
{{Box|1=Grundlagen|2=Im Erklärvideo werden wesentliche Grundbegriffe erklärt, die dir auf dieser Seite wieder begegnen werden. Sieh dir zuerst das Video an, bevor du weiter liest. | |||
[[Datei:Erklärvideo Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert.mp4|500px|links]] | |||
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Klara bietet auf einem Straßenfest ein Glücksspiel an. Das abgebildete Glücksrad wird dreimal gedreht. Wird bei jeder Drehung ein graues Feld getroffen, so verliert man seinen Einsatz von 1,00 €. Wenn bei den drei Drehungen genau einmal ein rotes Feld getroffen wird, | Klara bietet auf einem Straßenfest ein Glücksspiel an. Das abgebildete Glücksrad wird dreimal gedreht. Wird bei jeder Drehung ein graues Feld getroffen, so verliert man seinen Einsatz von 1,00 €. Wenn bei den drei Drehungen genau einmal ein rotes Feld getroffen wird, werden 1,50 € ausgezahlt, bei zweimal „rot” werden 2,50 € ausgezahlt und bei dreimal „rot” beträgt die Auszahlungssumme 5 €. | ||
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{{Aufgaben|1=3|2= | {{Aufgaben|1=3|2=Stelle in deinem Ergebnis aus Aufgabe 2 einen Bezug zu den Begriffen ''Zufallsgröße'' und ''Wahrscheinlichkeitsverteilung'' her.}} | ||
==Welcher Gewinn ist zu erwarten?== | |||
Auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gewinnsummen können wir nun herausfinden, mit welchem Gewinn jemand, der das Glücksspiel spielt, rechnen kann. | |||
{{Aufgaben| | {{Aufgaben|4|Angenommen das Glücksspiel wird 1000-mal durchgeführt. Wie oft sind die verschiedenen Gewinnsummen dabei im Idealfall zu erwarten? | ||
Berechne auf Basis der vorhergesagten absoluten Häufigkeiten das arithmetische Mittel der Gewinnsummen. | Berechne auf Basis der vorhergesagten absoluten Häufigkeiten das arithmetische Mittel der Gewinnsummen. | ||
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{{Lösung versteckt|Nach 1000 Runden können als Schätzwert für die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Gewinnsummen die Wahrscheinlichkeiten aus Aufgabe 2 verwendet werden. Berechne daraus die gesuchten absoluten Häufigkeiten.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|Nach 1000 Runden können als Schätzwert für die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Gewinnsummen die Wahrscheinlichkeiten aus Aufgabe 2 verwendet werden. Berechne daraus die gesuchten absoluten Häufigkeiten.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt|Mit folgender Formel lässt sich das arithmetische Mittel berechnen: | ||
<math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>|Tipp 3 anzeigen|Tipp 3 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|Nach 1000 Versuchen hat man im Schnitt ein Gewinn von rund -0,14 € (genauer Wert: -0,144 €) - also ein Verlust von 0,14 € - gemacht.|Kontrolllösung anzeigen|Kontrolllösung ausblenden}} | |||
}} | |||
{{Aufgaben|5|Berechne nun den ''Erwartungswert'' der Gewinnsumme mithilfe deiner Ergebnisse aus Aufgabe 2 und der Informationen aus dem Video. Sieh dir ggf. den Ausschnitt zum Erwartungswert noch einmal an. Was fällt auf?}} | |||
{{Box|1=Artihmetisches Mittel vs. Erwartungswert|2= | {{Box|1=Artihmetisches Mittel vs. Erwartungswert|2= | ||
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{{!}} '''Erwartungswert''' | {{!}} '''Erwartungswert <math>\mu</math> bzw. <math>E(X)</math>''' | ||
{{!-}} | {{!-}} | ||
{{!}} | {{!}} | ||
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{{!)}} | {{!)}} | ||
|3=Merksatz}} | |3=Merksatz}} | ||
==Handelt es sich um ein faieres Spiel?== | |||
{{Aufgaben|6|Formuliere Bedingungen, unter denen du ein Glücksspiel als fair bezeichnen würdest.}} | |||
In der Stochastik liefert uns der Erwartungswert eine Möglichkeit, die Fairness eines Spiels zu beurteilen. Die Zufallsgröße <math>X</math> soll weiterhin den Gewinn beschreiben. | |||
{{Aufgaben|7|Was muss für den Erwartungswert <math>E(x)</math> gelten, damit das Spiel sowohl aus Sicht des Spielers als auch aus Klaras Sicht als fair bezeichnet werden kann? Überlege zunächst selbst, recherchiere anschließend! | |||
Entscheide auf Basis dieser Bedingung, ob Klaras Glücksspiel fair ist.}} | |||
Überprüfe deine Einschätzung: | |||
<div class="multiplechoice-quiz"> | |||
Ist das Spiel fair? (!Ja) (!Nein, Klara wird benachteiligt.) (Nein, der Spieler wird benachteiligt.) | |||
</div> | |||
==Die Auszahlungssummen werden verändert.== | |||
Klara passt die Auszahlungsbeträge folgendermaßen an: Bei dreimal „grau” ist der Einsatz von einem € verloren, bei einmal „rot” werden 1,50 € ausgezahlt, bei zweimal „rot” werden 4 € ausgezahlt und bei dreimal „rot” beträgt die Auszahlungssumme 10 €. | |||
{{Aufgaben|8|Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße <math>Y</math>, durch die die neuen Gewinnbeträge beschrieben werden, auf und berechne den Erwartungswert.}} | |||
Überprüfe deine Ergebnisse: | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
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| style="padding:5px" |'''<nowiki>-1,00|-1()</nowiki>''' € | |||
| style="padding:5px" |'''<nowiki>0,50|0,5()</nowiki>''' € | |||
| style="padding:5px" |'''<nowiki>3,00|3()</nowiki>''' € | |||
| style="padding:5px" |'''<nowiki>9,00|9()</nowiki>''' € | |||
|- | |||
| style="padding:5px" |Wahrscheinlichkeit: | |||
| style="padding:5px" |'''<nowiki>0,512|64/125()</nowiki>''' | |||
| style="padding:5px" |'''<nowiki>0,384|48/125()</nowiki>''' | |||
| style="padding:5px" |'''<nowiki>0,096|12/125()</nowiki>''' | |||
| style="padding:5px" |'''<nowiki>0,008|1/125()</nowiki>''' | |||
|} | |||
</div> | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
<math>E(Y)=</math> '''0,04()''' € | |||
</div> | |||
{{Aufgaben|9|Berechne den Einsatz, den Klara verlangen müsste, damit es sich mit den neuen Auszahlungssummen um ein faires Spiel handelt. | |||
{{Lösung versteckt|Der Einsatz muss genau so groß sein, wie die durchschnittlich zu erwartende ''Auszahlungssumme''.|Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße <math>Z</math>, die statt des Gewinns die Auszahlungssumme beschreibt.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|Der Einsatz muss 1,04 € betragen.|Kontrollösung anzeigen|Kontrollösung ausblenden}} | |||
}} | |||
{{Fortsetzung|vorher=Baumdiagramme und Pfadregeln|vorherlink=Stochastik Einführungsphase NRW/Baumdiagramme und Pfadregeln|weiter=Vierfeldertafeln und bedingte Wahrscheinlichkeiten|weiterlink=Stochastik Einführungsphase NRW/Vierfeldertafeln und bedingte Wahrscheinlichkeiten}} | |||
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}} | |||
[[Kategorie:Lernpfad]] | |||
[[Kategorie:Sekundarstufe 2]] | |||
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]] |
Aktuelle Version vom 23. April 2022, 19:34 Uhr
Erstelle auf Basis der Ergebnisse aller Aufgaben dieser Seite ein Produkt, aus dem die Bedeutung der eingeführten Fachbegriffe sowie die Vorgehensweise zur Berechnung neu eingeführter Werte hervorgeht. Entscheide selbst, in welcher Form du die Inhalte aufbereiten möchtest (z.B. in Textform, als Sketchnote, als Präsentation, ...)
Du darfst diese Aufgabe alleine oder in einer Gruppe von maximal vier Personen bearbeiten.
Grundlagen
Im Erklärvideo werden wesentliche Grundbegriffe erklärt, die dir auf dieser Seite wieder begegnen werden. Sieh dir zuerst das Video an, bevor du weiter liest.
Gewinnmöglichkeiten beim Glücksrad
Klara bietet auf einem Straßenfest ein Glücksspiel an. Das abgebildete Glücksrad wird dreimal gedreht. Wird bei jeder Drehung ein graues Feld getroffen, so verliert man seinen Einsatz von 1,00 €. Wenn bei den drei Drehungen genau einmal ein rotes Feld getroffen wird, werden 1,50 € ausgezahlt, bei zweimal „rot” werden 2,50 € ausgezahlt und bei dreimal „rot” beträgt die Auszahlungssumme 5 €.
Die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Gewinnsummen
Gewinnsumme: | -1,00|-1() € | 0,50|0,5() € | 1,50|1,5() € | 4,00|4() € |
Wahrscheinlichkeit: | 0,512|64/125() | 0,384|48/125() | 0,096|12/125() | 0,008|1/125() |
Welcher Gewinn ist zu erwarten?
Auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gewinnsummen können wir nun herausfinden, mit welchem Gewinn jemand, der das Glücksspiel spielt, rechnen kann.
Angenommen das Glücksspiel wird 1000-mal durchgeführt. Wie oft sind die verschiedenen Gewinnsummen dabei im Idealfall zu erwarten?
Berechne auf Basis der vorhergesagten absoluten Häufigkeiten das arithmetische Mittel der Gewinnsummen.
Mit folgender Formel lässt sich das arithmetische Mittel berechnen:
Arithmetisches Mittel | Erwartungswert bzw. |
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Handelt es sich um ein faieres Spiel?
In der Stochastik liefert uns der Erwartungswert eine Möglichkeit, die Fairness eines Spiels zu beurteilen. Die Zufallsgröße soll weiterhin den Gewinn beschreiben.
Was muss für den Erwartungswert gelten, damit das Spiel sowohl aus Sicht des Spielers als auch aus Klaras Sicht als fair bezeichnet werden kann? Überlege zunächst selbst, recherchiere anschließend!
Entscheide auf Basis dieser Bedingung, ob Klaras Glücksspiel fair ist.
Überprüfe deine Einschätzung:
Ist das Spiel fair? (!Ja) (!Nein, Klara wird benachteiligt.) (Nein, der Spieler wird benachteiligt.)
Die Auszahlungssummen werden verändert.
Klara passt die Auszahlungsbeträge folgendermaßen an: Bei dreimal „grau” ist der Einsatz von einem € verloren, bei einmal „rot” werden 1,50 € ausgezahlt, bei zweimal „rot” werden 4 € ausgezahlt und bei dreimal „rot” beträgt die Auszahlungssumme 10 €.
Überprüfe deine Ergebnisse:
Gewinnsumme: | -1,00|-1() € | 0,50|0,5() € | 3,00|3() € | 9,00|9() € |
Wahrscheinlichkeit: | 0,512|64/125() | 0,384|48/125() | 0,096|12/125() | 0,008|1/125() |
0,04() €
Berechne den Einsatz, den Klara verlangen müsste, damit es sich mit den neuen Auszahlungssummen um ein faires Spiel handelt.