Benutzer:Cloehner/Formeln in Figuren und Körpern/Die Pyramide

Das Volumen einer Pyramide

Mit dem folgenden GeoGebra-Applet sollst du herausfinden, wie man das Volumen einer Pyramide berechnet, indem du den Zusammenhang zwischen einem Quader und einer Pyramide erkundest. Verändere dazu Grundflächen und Höhen mit den Schiebereglern.

Aufgabe 1

a) Protokolliere mindestens 5 Einstellungen von Pyramide und Quader. Wähle dazu eine geeignete tabellarische Übersicht! (Tipp: Du musst nur die 4 folgenden Größen bei beiden Körpern protokollieren: a, h, G und V.)

b) Werte die von dir protokollierten Daten aus, indem du jeweils die Volumina von Pyramide und Quader bei jeder deiner 5 protokollierten Einstellungen miteinander vergleichst. Findest du einen Zusammenhang?

c) Formuliere eine allgemeine Formel für das Volumen einer Pyramide.

Formuliere zunächst eine Formel für das Volumen des Quaders in der Form $V=G\cdot \ ?$, wobei $G$ die Grundfläche des Quaders ist.

$V_{Quader}=G\cdot h$

$V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Du bist nicht von selbst auf die Lösung gekommen? Betrachte nun noch einmal deine Tabelle aus Aufgabenteil a). Wo findet man hier den Faktor $\frac{1}{3}$ wieder?

Aufgabe 2

Notiere die Formel für das Volumen der Pyramide in deiner Formelsammlung.

Oberfläche und Mantelfläche einer quadratischen Pyramide

Information

Bei vielen Körpern wird zwischen der Oberfläche und der Mantelfläche unterschieden. Während zur Oberfläche alle Seitenflächen eines Körpers gehören, wir bei der Mantelfläche die Grundfläche nicht miteinbezogen.

Aufgabe 3

Das Ziel dieser Aufgabe ist es Formeln für den Inhalt der Mantelfläche und der Oberfläche einer quadratischen Pyramide aufzustellen und auf eine Pyramide mit konkreten Werten anzuwenden.

a) Formuliere sowohl für die Mantelfläche $M$ als auch für die Oberfläche $O$ jeweils eine Formel. In den Formeln dürfen die Variablen $M,\ O,\ G,\ h,\ h_{s}$ und $a$ benutzt werden. Du wirst vermutlich nicht alle Variablen benötigen.

Beachte die obenstehende Information zum Unterschied zwischen $M$ und $O$.

b) Berechne den Inhalt der Mantel- und der Oberfläche für eine quadratische Pyramide mit $a=4\ cm$ und $h=5\ cm$

Du kannst dazu das folgende GeoGebra-Applet zu Hilfe nehmen, versuche es aber zunächst ohne Hilfe!

Aufgabe 4

Notiere die Formeln, die du in Aufgabe 3 entdeckt und angewendet hast, in deiner Formelsammlung.

Übung

Bearbeite schriftlich Aufgabe 2 auf Seite 89 im Mathebuch.

Für Schnelle: Der Volumenformel auf den Grund gehen

Arbeitsauftrag

Du siehst unten zwei GeoGebra-Applets, die geeignet sind die Volumenformel der Pyramide zu beweisen. Erkläre für beide Applets die Gedankengänge, die den Darstellungen zugrunde liegen, mit Worten und/oder geeigneten Formel.

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Der Kegel