Terme/Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen

Terme

1. Vorwort
2. Terme und Variablen
3. Aufstellen und Interpretieren von Termen
4. Umformen von Termen
5. Auflösen von Klammern
6. Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen
7. Weitere Aufgaben
8. Grundwissenübersicht - Alles auf einen Blick

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Distributivgesetz der Multiplikation

Aufgabe

Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der anderen Seite zur Seitenlänge s erweitert (siehe Skizze). Wie errechnest du den Flächeninhalt des neuen Rechtecks?

Der Flächeninhalt eines Rechtecks lautet $A_R= l \cdot b$ Die Länge l setzt sich hier aus a+e zusammen, b ist in diesem Fall s.
Also errechnet sich der Flächeninhalt der Figur so:

$A_F = ( a+e ) \cdot s$

Überlege nun, wie du das Produkt in eine Summe umwandeln kannst.

$(a+e) \cdot s = a \cdot s + e \cdot s$

Erklärung

Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert).

$a \cdot(b+c) = a \cdot b+a \cdot c = ab + ac \text{ für alle } a, b, c \in Q$

$a \cdot (b-c) = a \cdot b - a \cdot c = ab - ac \text{ für alle } a, b, c \in Q$

(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation)

Beispiel

$(2-y) \cdot 3 = 2 \cdot 3-y \cdot 3 = 6-3y$

Multipliziere nun folgende Terme aus:

• $(4+m)\cdot 2$

$(4+m)\cdot 2 = 4 \cdot 2 + m \cdot 2 = 8 +2m$

• $(7+z) \cdot (-4)$

$(7+z)\cdot (-4) = 7\cdot (-4) + z\cdot (-4) = -28 - 4z$

• $(\frac{1}{2}+a) \cdot \frac{1}{2}$

$(\frac{1}{2} + a) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + a \cdot \frac{1}{2} =$

$= \frac{1}{4} + \frac{a}{2}$

• $(\frac{1}{3}-k) \cdot \frac{3}{4}$

$(\frac{1}{3}- k) \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} - k \cdot \frac{3}{4} =$

$= \frac{1}{4} - \frac{3k}{4}$

Distributivgesetz der Division

Aufgabe

Anna, Sara und Kerstin haben eine Tüte Bonbons geschenkt bekommen. Die Tüte enthält 9 Waldbeerbonbons und 18 Kirschbonbons. Die drei Freundinnen wollen die Bonbons gerecht untereinander aufteilen. Jede macht einen Vorschlag:

• Anna: "Wir zählen alle Bonbons zusammen und teilen sie dann durch 3."
• Sara: "Wir teilen erst die Waldbeerbonbons durch 3, dann die Kirschbonbons und zählen dann zusammen, wie viele Bonbons jede von uns bekommt."
• Kerstin: "Ist es nicht egal, ob wir erst zusammenzählen und dann teilen oder erst teilen und dann zusammenzählen?"

Was meinst du? Schreibe die beiden Rechenvorschriften als Termen und prüfe, welche der drei Mädchen recht hat.

• Anna: $(9+18):3 = 27:3 = 9$

• Sara: $9:3 + 18:3 = 3+6 = 9$

$\Rightarrow (9+18):3 = 9:3 + 18:3 = 9$

Also haben alle drei Freundinnen recht.

Versuche nun, eine dafür allgemein geltende Rechenregel zu formulieren.

$(a+b):c = a:c + b:c$

Erklärung

Man dividiert eine Summe (oder Differenz) durch einen von null verschiedenen Divisor, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) durch den Divisor teilt und die entstandenen Quotienten addiert (bzw. subtrahiert).

$\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c}+ \frac{b}{c} \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\}$

bzw.:

$(a+b):c = a:c + b:c \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\}$

$\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c} \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\}$

bzw.:

$(a-b):c = a:c - b:c \text{ für a, b } \in Q ; c \in Q \setminus \{0\}$

(Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Division)

Beispiel

$(a+6):8 = \frac{a}{8} + \frac{6}{8} = \frac{a}{8} + \frac{3}{4}$

Dividiere selbst:

• $(z-0,5):2$
• $(m-c):c$
• $(2,8-0,3):a$

• $(z-0,5):2 = \frac{z}{2} - \frac{0,5}{2} = \frac{z}{2}- 0,25$

• $(m-c):c = \frac{m}{c} - \frac{c}{c} = \frac{m}{c} - 1$

• $(2,8-0,3):a = (2,5):a = 2,5:a$

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Aufgabe

Du hast vorhin ein Quadrat berechnet, dessen Seitenlänge a um e erweitert wurde und dessen andere Seitenlänge zu s erweitert wurde. Berechne jetzt den Flächeninhalt für das Rechteck, wenn sich s aus a und f zusammensetzt. (siehe Skizze)

Wie oben:

$A_F = ( a+e ) \cdot s$

für $s = a+f$ einsetzen:

$A_F = ( a+e ) \cdot ( a + f )$

Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du eine Summe mit einem Faktor multiplizieren (bzw. dividieren). Überlege, wie der neue Term für den Flächeninhalt $A_F = (a+e) \cdot (a+f)$ ausmultipliziert werden kann.

$A_F = (a+e) \cdot (a+f) := a(a+f)+e(a+f) = := (a^2+af)+(ae+ef) := a^2+af+ae+ef$

Erklärung

Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz) multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt verwandelt ein Produkt in eine Summe.

$(a+b) \cdot (c+d) = a(c+d) + b(c+d) = (ac+ad) + (bc+bd) = ac + ad + bc + bd$

$(a-b) \cdot (c+d) = a(c+d) - b(c+d) = (ac+ad) - (bc+bd) = ac + ad - bc - bd$

$(a+b) \cdot (c-d) = a(c-d) + b(c-d) = (ac-ad) + (bc-bd) = ac - ad + bc - bd$

$(a-b) \cdot (c-d) = a(c-d) - b(c-d) = (ac-ac) - (bc-bd) = ac - ad - bc + bd$

Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!

Beispiel

$(x+2)(x+5) = x(x+5) + 2(x+5) = (x^2+5x) + (2x+10) = x^2 +5x +2x +10 = x^2+7x+10$

Berechne selbst:

• $(y+7)(3+y)$

• $(y+7)(3+y) = y(3+y) + 7(3+y) = (3y+y^2) + (21+7y)$

$= 3y+y^2 + 21 +7y = y^2 +10y+21$

• $(a-5)(1+a+2)$

• $(a-5)(1+a+2) = a(1+a+2) - 5(1+a+2) = (a+a^2+2a) - (5+5a+10)$

$= a+a^2+2a-5-5a-10 = a^2+a+2a-5a-5-10 = a^2-2a-15$

• $(m+n+o)(m-n-o)$

• $(m+n+o)(m-n-o) = m(m-n-o) + n(m-n-o) + o(m-n-o)$

$= (m^2-mn-mo) + (mn-n^2-no) + (mo-no-o^2)$

$= m^2-mn-mo+mn-n^2-no+mo-no-o^2 = m^2-n^2-2no-o^2$

Aufgabe

Wende das Distributivgesetz an, um aus einer Summe ein Produkt zu machen.

$21x+14y+7$

$21x+14y+7 = 7(3x+2y+1)$

Erklärung

Enthält in einer Summe aus Produkten jedes Produkt einen oder mehrere gemeinsame Faktoren, so kann man diese nach dem Distributivgesetz ausklammern.

Dieser Rechenschritt verwandelt eine Summe in ein Produkt.

$a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d + a \cdot e = a \cdot (b+c+d+e)$

Beispiel

$2a-2b = 2(a-b)$

Berechne selbst:

• $ax+a$
• $6z^2 + 21z$
• $6ab^3 + 9ab^2 - 15ab$

• $ax+a = a(x+1)$
• $6z^2+21z = 3z(2z+7)$
• $6ab^3+9ab^2-15ab = 3ab(2b^2+3b-5)$

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Multipliziere aus und fasse zusammen

• $(m-n)(5n+m)$
• $(2a-3b)(2a-3b)$
• $(5r+2)(3r+2)$

• $(m-n)(5n+m) = m(5n+m) - n(5n+m) = (5mn+m^2) - (5n^2+nm)$

$= 5mn+m^2-5n^2-nm = m^2+4mn-5n^2$

• $(2a-3b)(2a-3b) = 2a(2a-3b) - 3b(2a-3b) = (4a^2-6ab) - (6ab-9b^2)$

$= 4a^2-6ab-6ab+9b^2 = 4a^2-12ab+9b^2$

• $(5r+2)(3r+2) = 5r(3r+2) + 2(3r+2) = (15r^2+10r) + (6r+4)$

$= 15r^2 +10r+6r+4 = 15r^2+16r+4$

Aufgabe 2

Übertrage die Termmauer in dein Heft und rechne sie aus.

Aufgabe 3

Berechne den Flächeninhalt aus den angegebenen Maßen und vereinfache dann so weit wie möglich.

a)

b)

a) $\begin{array}{lcr} A & = & (3x+y) \cdot (3x+y) \\ & = & 3x(3x+y) + y(3x+y)\\ & = & (9x^2+3xy) + (3xy+y^2) \\ & = & 9x^2+3xy+3xy+y^2 \\ &= & 9x^2+6xy+y^2 \end{array}$

b) $A = (2a+3b) \cdot (2a-3b) = 2a(2a-3b) + 3b(2a-3b) = (4a^2-6ab) + (6ab-9b^2)$

$= 4a^2-6ab+6ab-9b^2 = 4a^2-9b^2$

Aufgabe 4

Finde die Lösungen und ziehe sie mit der Maus in das Lösungsfeld.

$(x+2) \cdot (x+3)$	$(x-3) \cdot (x-1)$	$(x-5) \cdot (x+2)$	$(x+4) \cdot (x-2)$	$(x-1) \cdot(x+1)$	$(x+2) \cdot (x+2)$
x2 +5x+6	x2 -4x+3	x2-3x-10	x2+2x-8	x2 -1	x2+4x+4

Super! Den Hauptteil des Lernpfades hast du geschafft!!

Weiteren Aufgaben zum Üben!