Terme/Terme und Variablen: Unterschied zwischen den Versionen

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= <span style="color: green">Terme und Variablen</span> =
{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Terme}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
==<span style="color: green">Termbegriff </span> ==


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''<br />
__NOTOC__
==Termbegriff==


[[Bild:bild_zug_einstiegsaufgabe.jpg]]<br /><br />Eine Klasse macht am Wandertag einen Ausflug in den Zoo mit dem Zug. Der Zug hat folgende Maße:<br />Lokomotive: 15,5 m ; Wagon jeweils 20,25 m.
[[Bild:bild_zug_einstiegsaufgabe.jpg|center]]
 
Eine Klasse macht am Wandertag einen Ausflug in den Zoo mit dem Zug. Der Zug hat folgende Maße:<br />Lokomotive: 15,5 m ; Waggon jeweils 20,25 m.
 
*Wie lang ist der Zug (1 Lokomotive, 2 Waggons)?
*Wie lang ist der Zug mit 3, 5, 9, Waggons?
*Wie kannst du die verschiedenen Längen des Zuges am einfachsten berechnen?


* Wie lang ist der Zug (1 Lokomotive, 2 Wagons)?
* Wie lang ist der Zug mit 3, 5, 9, Wagons?
* Wie kannst du die verschiedenen Längen des Zuges am einfachsten berechnen?
<br />
<br />
<popup name="Lösung">


* Der Zug setzt sich zusammen aus 1 Lokomotive und 2 Wagons. Die Lokomotive ist 15,5 m lang und die 2 Wagons jeweils 20,25 m. Also ist die Länge des Zuges:<br /> 15,5 m + 20,25 m +20,25 m  = 56 m
{{Lösung versteckt|1=
*  
* Der Zug setzt sich zusammen aus 1 Lokomotive und 2 Waggons. Die Lokomotive ist 15,5 m lang und die 2 Waggons jeweils 20,25 m. Also ist die Länge des Zuges:<br /> 15,5 m + 20,25 m +20,25 m  = 56 m
# Länge des Zuges mit 3 Wagons:<br />15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 76,25 m
 
# Länge des Zuges mit 5 Wagons:<br />15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 116,75 m
*Länge des Zuges mit 3 Waggons:<br />15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 76,25 m
# Länge des Zuges mit 9 Wagons:<br />15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 197,75 m  
*Länge des Zuges mit 5 Waggons:<br />15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 116,75 m
*Länge des Zuges mit 8 Waggons:<br />15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m= 197,75 m  


* In den Rechnungen oben hat sich die Anzahl der Wagons verändert. Um möglichst schnell und einfach viele verschiedene Wagonsanzahlen auszurechnen, ist es sinnvoll sich zu überlegen, welche Zahlen sich verändern und welche nicht.<br />Die Lokomotive bleibt immer gleich, sie ist "fest". Die Anzahl der Wagons verändert sich, sie "variiert". Also kannst du diese Rechnung auch so schreiben: <math>15,5m + \Box*(20,25m)</math><br />und für <math> \Box</math> die verschiedenen Zahlen einsetzen.
* In den Rechnungen oben hat sich die Anzahl der Waggons verändert. Um möglichst schnell und einfach viele verschiedene Waggonsanzahlen auszurechnen, ist es sinnvoll sich zu überlegen, welche Zahlen sich verändern und welche nicht.<br />Die Lokomotive bleibt immer gleich, sie ist "fest". Die Anzahl der Waggons verändert sich, sie "variiert". Also kannst du diese Rechnung auch so schreiben: <math>15,5m + \Box*(20,25m)</math><br />und für <math> \Box</math> die verschiedenen Anzahlen der Waggons einsetzen.
</popup> </div>
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}




<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />Den oben verwendeten Rechenausdruck nennt man '''Term'''. Ein Term kann neben Zahlen auch Größen enthalten, die veränderbar sind. Diese Größen nennt man '''Variable''', zum Beispiel <math>\Box</math>  oder Buchstaben wie a, b, c, n oder x, y, z. Sie halten den Platz für verschiedene Einsetzungen frei.</div>
===Erklärung===


{{Box|1=Term und Variable|2=
Den oben verwendeten Rechenausdruck nennt man '''Term'''. Ein Term kann neben Zahlen auch Größen enthalten, die veränderbar sind. Diese Größen nennt man '''Variable''', zum Beispiel  <math>\Box</math>  oder Buchstaben wie a, b, c, n oder x, y, z. Sie halten den Platz für verschiedene Einsetzungen frei.
|3=Merksatz}}


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel 1:</span>'''T(n)=4•n (lies "T von n gleich vier mal n")<br />Dieser Term beschreibt alle Vielfachen von 4, wenn man für n der Reihe nach alle natürlichen Zahlen einsetzt.


===Beispiel 1===
<br /><math>T(n)=4\cdot n</math> (lies "T von n gleich vier mal n")
<br />Dieser Term beschreibt alle Vielfachen von 4, wenn man für n der Reihe nach alle natürlichen Zahlen einsetzt.
{{{!}} class="wikitable center"
{{!}}-
!n!!1!!2!!3!!4!!5!!6
{{!}}-
{{!}}<math> T(n)</math>{{!}}{{!}}<math> T(1)=4 \cdot 1=4 </math>{{!}}{{!}}<math> T(2)=4 \cdot 2=8  </math>{{!}}{{!}}<math> T(3)  </math>{{!}}{{!}}<math>  T(4)  </math>{{!}}{{!}}<math>  T(5)  </math>{{!}}{{!}}<math> T(6) </math>
{{!}}}


{| class="wikitable center"
Vervollständige die Tabelle in deinem Heft.
! n
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
|-
| T(n)
| T(1)=4•1=4
| T(2)=4•2=8
| T(3)
| T(4)
| T(5)
| T(6)
|}


<br />Vervollständige die Tabelle in deinem Heft.
{{Lösung versteckt|1=
<br /><popup name="Lösung">
{{{!}} class="wikitable center"
{{!}}-
! n !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6
{{!}}-
{{!}}  <math>T(n)</math> {{!}}{{!}} <math> T(1)=4 \cdot 1=4 </math> {{!}}{{!}} <math> T(2)=4 \cdot 2=8  </math> {{!}}{{!}} <math> T(3)=4 \cdot 3=12 </math>  {{!}}{{!}} <math> T(4)=4 \cdot 4=16 </math> {{!}}{{!}}  <math>T(5)=4 \cdot 5=20 </math> {{!}}{{!}}  <math>T(6)=4 \cdot 6=24  </math>  
{{!}}}


{| class="wikitable "
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
! n
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
|-
| T(n)
| T(1)=4•1=4
| T(2)=4•2=8
| T(3)=4•3=12
| T(4)=4•4=16
| T(5)=4•5=20
| T(6)=4•6=24
|}
</popup> </div>




<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel 2:</span>'''T(x)=x<sup>2</sup> (lies "T von x gleich x hoch 2")
===Beispiel 2===
Dieser Term beschreibt alle Quadratzahlen, wenn man für x der Reihe nach alle natürlichen Zahlen einsetzt. Fertige wie in <span style="color: blue">Beispiel 1</span> eine Tabelle in deinem Heft an.
<br /><math>T(x)=x^2</math> (lies "T von x gleich x hoch 2")
<br />Dieser Term beschreibt alle Quadratzahlen, wenn man für x der Reihe nach alle natürlichen Zahlen einsetzt. Fertige wie in Beispiel 1 eine Tabelle in deinem Heft an.


{| class="wikitable center"
{| class="wikitable center"
! x
!x
! 1
!1
! 2
!2
! 3
!3
! 4
!4
! 5
!5
! 6
!6
|-
|-
| T(x)
|<math>T(x)</math>
|  
|
|  
|
|  
|
|  
|
|  
|
|  
|
|}
|}
{{Lösung versteckt|1=
{{{!}} class="wikitable center"
{{!}}-
! x !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6
{{!}}-
{{!}}  <math>T(x)</math> {{!}}{{!}}<math> T(1)=1^2=1</math> {{!}}{{!}} <math>T(2)=2^2=4</math> {{!}}{{!}} <math> T(3)=3^2=9</math> {{!}}{{!}} <math> T(4)=4^2=16</math> {{!}}{{!}}  <math>T(5)=5^2=25</math> {{!}}{{!}}  <math> T(6)=^2=36</math>
{{!}}}
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}




<popup name="Lösung">
==Rechenregeln==


{| class="wikitable center"
! x
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
|-
| T(x)
| T(1)=1<sup>2</sup>=1
| T(2)=2<sup>2</sup>=4
| T(3)=3<sup>2</sup>=9
| T(4)=4<sup>2</sup>=16
| T(5)=5<sup>2</sup>=25
| T(6)=6<sup>2</sup>=36
|}
</popup> </div>
<br /><br />
==<span style="color: green">Rechenregeln </span> ==


===Erklärung===


<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />
{{Box|1=Definitionsmenge und Termwert|2=
Die Schreibweise T(n) bzw. T(x) beschreibt, dass n bzw. x die Variable ist.
Die Schreibweise T(n) bzw. T(x) beschreibt, dass n bzw. x die Variable ist.
Die Zahlen, die für die Variable in einen Term eingesetzt werden dürfen und zu einer sinnvollen Aussage führen, nennt man '''Definitionsmenge <math>D</math>'''. Setzt du für die Variable eine Zahl aus der Definitionsmenge <math>D</math> ein, so errechnest du den zugehörigen '''Termwert'''.
Die Zahlen, die für die Variable in einen Term eingesetzt werden dürfen und zu einer sinnvollen Aussage führen, nennt man '''Definitionsmenge <math>D</math>'''. Setzt du für die Variable eine Zahl aus der Definitionsmenge <math>D</math> ein, so errechnest du den zugehörigen '''Termwert'''.
In der 6. Klasse hast du bereits gelernt, dass es verschiedene '''Termarten''' gibt. (Falls du dich nicht mehr erinnern kannst, klicke [[Facharbeit Lernpfad Terme/Terme und Variablen/Termarten|<u>'''hier'''</u>]])
In der 6. Klasse hast du bereits gelernt, dass es verschiedene '''Termarten''' gibt. (Falls du dich nicht mehr erinnern kannst, klicke [[Terme/Terme und Variablen/Termarten|'''hier''']])
|3=Merksatz}}




{{Box|1=Konvention|2=


<span style="color: orange">Vereinbarung:</span>
Vereinbarung:


1. Malpunkte zwischen einer Zahl (oder Variablen) und einer Variablen oder einer Klammer können weggelassen werden  
1. Malpunkte zwischen einer Zahl (oder Variablen) und einer Variablen oder einer Klammer können weggelassen werden  
: Beispiel:
: Beispiel:
:: 3•x=3x
:: <math>3\cdot x=3x</math>
:: a•b=ab
:: <math>a\cdot b=ab</math>
:: 5•(a<sup>2</sup>+b)=5(a<sup>2</sup>+b)
:: <math>5\cdot(a^2+b)=5(a^2+b)</math>
 
2. '''Vorrangregel:''' Klammern zuerst, Potenz vor Punkt, Punkt vor Strich!
2. '''Vorrangregel:''' Klammern zuerst, Potenz vor Punkt, Punkt vor Strich!


3. <span style="color:  red"><u>'''Achtung'''</u></span> : 3•7+2•a=3•7+2a
3. Es gilt:  <math>3\cdot 7+2 \cdot a=3 \cdot 7+2a </math>
::Den Malpunkt zwischen zwei '''Zahlen''' darfst du  <span style="color: red"><u>nicht</u></span> weglassen!
::Den Malpunkt zwischen zwei '''Zahlen''' darfst du  nicht weglassen! Ist mindestens ein Faktor eine Variable dann kannst du ihn weglassen!
</div>
|3=Merksatz}}
 


<br />


==<span style="color: green">Übungsaufgaben</span> ==
==Übungsaufgaben==


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' Gib zu jedem der Terme die Termart (oben) und das Ergebnis (unten) an, indem du die Felder in die Kästchen ziehst:
{{Box|1=Aufgabe 1|2=Gib zu jedem der Terme die Termart (oben) und das Ergebnis (unten) an, indem du die Felder in die Kästchen ziehst:
|3=Arbeitsmethode}}


<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable center"
{| class="wikitable center"
|-  
|-  
|T<sub>1</sub>(x)=10•x-12   ||   T<sub>2</sub>(x)=10•(x-12)   ||   T<sub>3</sub>(x)=10•x+(-12)   ||   T<sub>4</sub>(x)=(x+x):3   ||   T<sub>5</sub>(x)=(x+3)•x  ||   T<sub>6</sub>(x)=x+(3+x)
|<math>T_1(x)=10\cdot x-12</math>||<math> T_2(x)=10\cdot(x-12)</math>||<math> T_3(x)=10\cdot x+(-12)</math>||<math>T_4(x)=(x+x):3</math>||<math>T_5(x)=(x+3)\cdot x</math>||<math>T_6(x)=x+(3+x)</math>
|-  
|-  
| <strong>  Differenz </strong> || <strong> Produkt </strong> || <strong>  Summe </strong> || <strong> Quotient </strong> || <strong> Produkt </strong> || <strong> Summe </strong>  
|<strong>  Differenz </strong>||<strong> Produkt </strong>||<strong>  Summe </strong>||<strong> Quotient </strong>||<strong> Produkt </strong>||<strong> Summe </strong>
|-
|-
| <strong> 10x-12 </strong> || <strong> 10x-120 </strong> || <strong> 10x-12 </strong> || <strong> 2x:3 bzw.<math>\frac{2x}{3}</math>  </strong> || <strong> x<sup>2</sup>+3x </strong> || <strong> 3+2x </strong>
|<strong> 10x-12 </strong>||<strong> 10x-120 </strong>||<strong> 10x-12 </strong>||<strong> 2x:3 bzw.<math>\frac{2x}{3}</math>  </strong>||<strong> x<sup>2</sup>+3x </strong>||<strong> 3+2x </strong>
|}</div>
|}</div>




{{Box|1=Aufgabe 2|2= Monika,Felix und Katrin berechnen den Wert des Terms T(x) = 3x+2x<sup>2</sup> für x=5. Monika erhält als Ergebnis T(5) = 115, Felix erhält T(5) = 625 und Katrin erhält T(5) = 65.
<quiz display="simple">
{a) Wer hat das richtige Ergebnis errechnet?}
- Monika
+ Katrin
- Felix


{b) Welchen Fehler haben die anderen beiden gemacht?
Sie haben das/die ... missachtet}
+ Vorrangregel
- Distributivgesetz
- Kommutativgesetz


{c) Welche Änderungen ergeben die Termwerte von den anderen Kindern?}
+ <math>3x+(2x)^2</math>
- <math>-(3x)+(2x^2)</math>
+ <math>(3x+2x)^2</math>
</quiz>
|3=Arbeitsmethode}}


 
{{Fortsetzung|weiter=Aufstellen und Interpretieren von Termen|weiterlink=Terme/Aufstellen und Interpretieren von Termen}}
 
[[Kategorie:Variable]]
 
[[Kategorie:Terme]]
 
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
 
[[Kategorie:R-Quiz]]
 
 
 
 
 
</div>
 
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' Monika,Felix und Katrin berechnen den Wert des Terms T(x) = 3x+2x<sup>2</sup> für x=5. Monika erhält als Ergebnis T(5) = 115, Felix erhält T(5) = 625 und Katrin erhält T(5) = 65.
a) Wer hat das richtige Ergebnis errechnet?
 
b) Welchen Fehler haben die anderen beiden gemacht?
 
c) Ändere bei denen, die falsch gerechnet haben, den Term T(x) jeweils durch Klammersetzen so um, dass sich die angegebenen Termwerte beim Einsetzen von x=5 ergeben.
 
<popup name="Lösung">
a) Es gilt die '''Vorrangregel''': Zuerst die Potenz ausrechnen, dann die Produkte und die Summe.
:: Also: T(5) 3•5+2•5<sup>2</sup> = 3•5+2•25 = 15+50 = 65
:: Somit ist das Ergebnis von Katrin richtig.
b) Monika und Felix haben die '''Vorrangregel''' missachtet.
 
c) Monikas Ergebnis T(5)=115 erhält man durch Klammersetzen um die Potenz: 3x+(2x<sup>2</sup>)
::: T(5)= 3•5+(2•5)<sup>2</sup> = 3•5+(10)<sup>2</sup> = 15+100 = 115
Felix Ergebnis T(5)=625 erhält man durch Klammersetzen um den gesamten Term: (3x+2x)<sup>2</sup>
::: T(5)= (3•5+2•5)<sup>2</sup> = (15+10)<sup>2</sup> = (25)<sup>2</sup> = 625
 
</popup> </div>
<br /><br />
[[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Aufstellen und Interpretieren von Termen|Weiter]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:01 Uhr

Termgliederungsbaum2.1.jpg

Terme

  1. Vorwort
  2. Terme und Variablen
  3. Aufstellen und Interpretieren von Termen
  4. Umformen von Termen
  5. Auflösen von Klammern
  6. Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen
  7. Weitere Aufgaben
  8. Grundwissenübersicht - Alles auf einen Blick
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Termbegriff

Bild zug einstiegsaufgabe.jpg

Eine Klasse macht am Wandertag einen Ausflug in den Zoo mit dem Zug. Der Zug hat folgende Maße:
Lokomotive: 15,5 m ; Waggon jeweils 20,25 m.

  • Wie lang ist der Zug (1 Lokomotive, 2 Waggons)?
  • Wie lang ist der Zug mit 3, 5, 9, Waggons?
  • Wie kannst du die verschiedenen Längen des Zuges am einfachsten berechnen?


  • Der Zug setzt sich zusammen aus 1 Lokomotive und 2 Waggons. Die Lokomotive ist 15,5 m lang und die 2 Waggons jeweils 20,25 m. Also ist die Länge des Zuges:
    15,5 m + 20,25 m +20,25 m = 56 m
  • Länge des Zuges mit 3 Waggons:
    15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 76,25 m
  • Länge des Zuges mit 5 Waggons:
    15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 116,75 m
  • Länge des Zuges mit 8 Waggons:
    15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m= 197,75 m
  • In den Rechnungen oben hat sich die Anzahl der Waggons verändert. Um möglichst schnell und einfach viele verschiedene Waggonsanzahlen auszurechnen, ist es sinnvoll sich zu überlegen, welche Zahlen sich verändern und welche nicht.
    Die Lokomotive bleibt immer gleich, sie ist "fest". Die Anzahl der Waggons verändert sich, sie "variiert". Also kannst du diese Rechnung auch so schreiben:
    und für die verschiedenen Anzahlen der Waggons einsetzen.


Erklärung

Term und Variable
Den oben verwendeten Rechenausdruck nennt man Term. Ein Term kann neben Zahlen auch Größen enthalten, die veränderbar sind. Diese Größen nennt man Variable, zum Beispiel oder Buchstaben wie a, b, c, n oder x, y, z. Sie halten den Platz für verschiedene Einsetzungen frei.


Beispiel 1


(lies "T von n gleich vier mal n")
Dieser Term beschreibt alle Vielfachen von 4, wenn man für n der Reihe nach alle natürlichen Zahlen einsetzt.

n 1 2 3 4 5 6

Vervollständige die Tabelle in deinem Heft.

n 1 2 3 4 5 6


Beispiel 2


(lies "T von x gleich x hoch 2")
Dieser Term beschreibt alle Quadratzahlen, wenn man für x der Reihe nach alle natürlichen Zahlen einsetzt. Fertige wie in Beispiel 1 eine Tabelle in deinem Heft an.

x 1 2 3 4 5 6
x 1 2 3 4 5 6


Rechenregeln

Erklärung

Definitionsmenge und Termwert

Die Schreibweise T(n) bzw. T(x) beschreibt, dass n bzw. x die Variable ist. Die Zahlen, die für die Variable in einen Term eingesetzt werden dürfen und zu einer sinnvollen Aussage führen, nennt man Definitionsmenge . Setzt du für die Variable eine Zahl aus der Definitionsmenge ein, so errechnest du den zugehörigen Termwert.

In der 6. Klasse hast du bereits gelernt, dass es verschiedene Termarten gibt. (Falls du dich nicht mehr erinnern kannst, klicke hier)


Konvention

Vereinbarung:

1. Malpunkte zwischen einer Zahl (oder Variablen) und einer Variablen oder einer Klammer können weggelassen werden

Beispiel:

2. Vorrangregel: Klammern zuerst, Potenz vor Punkt, Punkt vor Strich!

3. Es gilt:

Den Malpunkt zwischen zwei Zahlen darfst du nicht weglassen! Ist mindestens ein Faktor eine Variable dann kannst du ihn weglassen!


Übungsaufgaben

Aufgabe 1
Gib zu jedem der Terme die Termart (oben) und das Ergebnis (unten) an, indem du die Felder in die Kästchen ziehst:
Differenz Produkt Summe Quotient Produkt Summe
10x-12 10x-120 10x-12 2x:3 bzw. x2+3x 3+2x


Aufgabe 2

Monika,Felix und Katrin berechnen den Wert des Terms T(x) = 3x+2x2 für x=5. Monika erhält als Ergebnis T(5) = 115, Felix erhält T(5) = 625 und Katrin erhält T(5) = 65.

1 a) Wer hat das richtige Ergebnis errechnet?

Monika
Katrin
Felix

2 b) Welchen Fehler haben die anderen beiden gemacht? Sie haben das/die ... missachtet

Vorrangregel
Distributivgesetz
Kommutativgesetz

3 c) Welche Änderungen ergeben die Termwerte von den anderen Kindern?

Aufstellen und Interpretieren von Termen
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