Textaufgaben/Wiederholung - Gleichungen lösen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:KatharinaP_Agent_Tafel.jpg|rechts]]Du sollst in diesem Kapitel noch einmal üben, was Gleichungen sind und wie man diese löst.
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Du sollst in diesem Kapitel noch einmal üben, was Gleichungen sind und wie man diese löst.


==Einführung==


Gleichungen wie
Gleichungen wie
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(x + 4) · 2 = 3x
(x + 4) · 2 = 3x


nennt man lineare Gleichungen.<br />
nennt man lineare Gleichungen.




Zur Bestimmung der Lösung wird die Gleichung äquivalent umgeformt, bis du die Lösung ablesen kannst. Durch äquivalente Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. Solche Umformungen sind Addition und Subtraktion derselben Zahl oder desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung oder Multiplikation und Division beider Seiten mit derselben Zahl.<br />
Zur Bestimmung der Lösung wird die Gleichung äquivalent umgeformt, bis du die Lösung ablesen kannst. Durch äquivalente Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. Solche Umformungen sind Addition und Subtraktion derselben Zahl oder desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung oder Multiplikation und Division beider Seiten mit derselben Zahl.




&nbsp;<br />&nbsp;
[[Datei:ChristinaG_Anschauungsbeispiel_1.png]]




<popup name="Anschauungsbeispiel">
Du siehst, Ziel der Umformungen ist es, so zu sortieren, dass die Terme mit x auf der einen Seite und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Schreibe dir nun das Anschauungsbeispiel und den Merktext in dein Übungsheft.
[[Datei:ChristinaG_Anschauungsbeispiel_1.png]]</popup>


{{Box|Merke|
# Vereinfachen: eventuell Klammern auflösen, ggf. zusammenfassen
# Sortieren: durch äquivalente Umformungen alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen
# x berechnen
# Probe
# Lösungsmenge notieren|Merksatz}}


Du siehst, Ziel der Umformungen ist es, so zu sortieren, dass die Terme mit x auf der einen Seite und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Schreibe dir nun das Anschauungsbeispiel und den Merktext in dein Übungsheft.<br />
{{Merke|1=<br />
1. Vereinfachen: eventuell Klammern auflösen, ggf. zusammenfassen<br />
2. Sortieren: durch äquivalente Umformungen alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen<br />
3. x berechnen<br />
4. Probe<br />
5. Lösungsmenge notieren}}


==Anfänger==




= Anfänger=
{{Box|1=Übung|2=Löse die Aufgaben in deinem Übungsheft. Schreibe die Lösungen anschließend in die Kästchen.
<div class="lueckentext-quiz">
Welche Zahl erfüllt die Gleichung?


==Beispiele==
2 + 4x = 58  '''14 ()'''


{{Übung|Ordne die passenden Gleichungen und Lösungen einander zu.}}
2y + ¼ = ¾ '''0,25 ()'''
<div class="lueckentext-quiz">
 
<big>Zuordnung</big><br>
8 – 2x = 4 '''2 ()'''
Welche Zahl erfüllt die Gleichung?<br />
 
{|
2 + z/5 = 1/2 '''-7,5 ()'''
| 2 + 4x = 58 || '''14 ()'''
 
|-
5z - 7 = -2z '''1 ()'''
| 2y + ¼ = ¾ || '''0,25 ()'''
 
|-
</div>
| 8 – 2x = 4 || '''2 ()'''
|3=Üben}}
|-
| 2 + z/5 = 1/2 || '''-7,5 ()'''
|-
| 5z - 7 = -2z || '''1 ()'''
|}
</div><br />


&nbsp;<br /><br />&nbsp;
{{Box|1=Übung|2=Welche Umformungen sind richtig, welche falsch?<br />Begründe deine Antwort und stelle die falschen Umformungen in deinem Heft richtig.


{{Übung|'''Welche Umformungen sind richtig, welche falsch?'''}}<br />
<quiz display="simple">
<quiz display="simple">
{ 2x – y = r   ->  x – y = r/2 }
{ 2x – y = r <br />  x – y = r/2 }
- Richtig
- Richtig
+ Falsch
+ Falsch


{ w – 3u = s  ->  3u = s – w }
{ w – 3u = s <br />   3u = s – w }
- Richtig
- Richtig
+ Falsch
+ Falsch


{ (x- 2)y = u  -> x – 2 = u/y }
{ (x- 2)y = u  <br />   x – 2 = u/y }
+ Richtig
+ Richtig
- Falsch
- Falsch


{ x + y/3 = w  ->  x + y = 3w }
{ x + y/3 = w  <br />  x + y = 3w }
- Richtig
- Richtig
+ Falsch
+ Falsch
</quiz>
</quiz>


|3=Üben}}
==Fortgeschrittene==
{{Box|Merke|Bei der folgenden Übung musst du zunächst die gleichartigen Ausdrücke ordnen! Dabei können aber leicht Rechenzeichen verloren gehen!! Besser ist es, gleichartige Ausdrücke zu markieren oder zu unterstreichen und gleich zusammenfassen!|Merksatz}}


Begründe deine Antwort und stelle die falschen Umformungen in deinem Heft richtig.<br />
{{Box|1=Übung|2=Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.


= Fortgeschrittene=
7x – 8 – 12 – 3x = 2x
{{Lösung versteckt|<math>x=10</math>}}


==Beispiele==
2y – 3y + 5y – 24 = 0
{{Lösung versteckt|<math>y=6</math>}}


{{Übung|Bei folgender Übung musst du zunächst die gleichartigen Ausdrücke ordnen! Dabei können aber leicht Rechenzeichen verloren gehen!! Besser ist es, gleichartige Ausdrücke zu markieren oder zu unterstreichen und gleich zu verrechnen!}}<br />
4,5a + 12,5 = 7a
{{Lösung versteckt|<math>a=5</math>}}


Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.<br />
2,5x – 14,4 + 1,5x + 9,2 = 1,5x + 24,8
7x – 8 – 12 – 3x = 2x<br />
{{Lösung versteckt|<math>x=12</math>}}
2y – 3y + 5y – 24 = 0<br />
4,5a + 12,5 = 7a<br />
2,5x – 14,4 + 1,5x + 9,2 = 1,5x + 24,8<br />
5x – 14 + 4x + 10 = 5x + 24<br />


5x – 14 + 4x + 10 = 5x + 24
{{Lösung versteckt|<math>x=7</math>}}


|3=Üben}}


{{Aufgabe|Forme die Formel nach der gesuchten Variable um:}}<br />


A = ab/2               b=?<br />
{{Box|1=Aufgabe|2=Forme die Formel nach der gesuchten Variable um:
u = 2a + 2b             b=?<br />
 
x/a – b = c             x=?<br />
A = ab/2   b=?
{{Lösung versteckt|<math>b=2A/a</math>}}
 
u = 2a + 2b b=?
{{Lösung versteckt|<math>b=(U-2a)/2</math>}}
 
x/a – b = c x=?
{{Lösung versteckt|<math>x=(c+b)*a</math>}}
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
==Experten==
 
{{Box|1=Übung|2=Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.
 
<div class="lueckentext-quiz">


4n – 9,1 + 1,1n + 4,3 = 1,2n + 56,5 + 2,3n + 8,7 '''43,75()'''


¼ x – 14 ½ + ½ x + 9 ¼ = ½ x + 24 ½  '''119()'''


= Experten =
10 – 3x +2(5x – 2) = 7(x + 5) – 3x – 5  '''8()'''


==Beispiele==
(x – 6)(x + 6) = x(x + 9)  '''-4()'''


{{Aufgabe|Welche Zahl erfüllt die Gleichung?}}<br />
</div>
4n – 9,1 + 1,1n + 4,3 = 1,2n + 56,5 + 2,3n + 8,7<br />
|3=Arbeitsmethode}}
¼ x – 14 ½ + ½ x + 9 ¼ = ½ x + 24 ½<br />
10 – 3x +2(5x – 2) = 7(x + 5) – 3x – 5<br />
(x – 6)(x + 6) = x(x + 9)<br />




{{Box|1=Aufgabe|2=Drücke die Variable x aus:


{{Aufgabe|Drücke die Variable x aus:}}<br />
(ax + b)/c = d
(ax + b)/c = d<br />
{{Lösung versteckt|<math>x=(cd-b)/a</math>}}
ax/c + b = d<br />


ax/c + b = d
{{Lösung versteckt|<math>x=[(d-b)*c]/a</math>}}


{{Aufgabe|In einer Schule gibt es L Lehrer und K Schüler. Was sagt die Gleichung aus?}}<br />
|3=Arbeitsmethode}}


K = 12 * L


{{Box|1=Aufgabe|2=In einer Schule gibt es L Lehrer und S Schüler. Was sagt die Gleichung aus?


S = 12 * L
{{Lösung versteckt|In dieser Schule gibt es zwölf mal so viele Schüler wie Lehrer}}


|3=Arbeitsmethode}}




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Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:10 Uhr

KatharinaP Agent Tafel.jpg

Textaufgaben

Mathematik-digital.de
KatharinaP Agent Tafel.jpg

Du sollst in diesem Kapitel noch einmal üben, was Gleichungen sind und wie man diese löst.

Einführung

Gleichungen wie

x + 8 = 12

4x - 5 = 3x + 2 oder auch

(x + 4) · 2 = 3x

nennt man lineare Gleichungen.


Zur Bestimmung der Lösung wird die Gleichung äquivalent umgeformt, bis du die Lösung ablesen kannst. Durch äquivalente Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. Solche Umformungen sind Addition und Subtraktion derselben Zahl oder desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung oder Multiplikation und Division beider Seiten mit derselben Zahl.


ChristinaG Anschauungsbeispiel 1.png


Du siehst, Ziel der Umformungen ist es, so zu sortieren, dass die Terme mit x auf der einen Seite und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Schreibe dir nun das Anschauungsbeispiel und den Merktext in dein Übungsheft.

Merke
  1. Vereinfachen: eventuell Klammern auflösen, ggf. zusammenfassen
  2. Sortieren: durch äquivalente Umformungen alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen
  3. x berechnen
  4. Probe
  5. Lösungsmenge notieren


Anfänger

Übung

Löse die Aufgaben in deinem Übungsheft. Schreibe die Lösungen anschließend in die Kästchen.

Welche Zahl erfüllt die Gleichung? 

2 + 4x = 58  14 ()

2y + ¼ = ¾ 0,25 ()

8 – 2x = 4  2 ()

2 + z/5 = 1/2 -7,5 ()

5z - 7 = -2z  1 ()

Übung

Welche Umformungen sind richtig, welche falsch?
Begründe deine Antwort und stelle die falschen Umformungen in deinem Heft richtig.

1 2x – y = r
x – y = r/2

Richtig
Falsch

2 w – 3u = s
3u = s – w

Richtig
Falsch

3 (x- 2)y = u
x – 2 = u/y

Richtig
Falsch

4 x + y/3 = w
x + y = 3w

Richtig
Falsch

Fortgeschrittene

Merke
Bei der folgenden Übung musst du zunächst die gleichartigen Ausdrücke ordnen! Dabei können aber leicht Rechenzeichen verloren gehen!! Besser ist es, gleichartige Ausdrücke zu markieren oder zu unterstreichen und gleich zusammenfassen!

Übung

Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft. 

7x – 8 – 12 – 3x = 2x

2y – 3y + 5y – 24 = 0

4,5a + 12,5 = 7a

2,5x – 14,4 + 1,5x + 9,2 = 1,5x + 24,8

5x – 14 + 4x + 10 = 5x + 24


Aufgabe

Forme die Formel nach der gesuchten Variable um: 

A = ab/2   b=?

u = 2a + 2b  b=?

x/a – b = c  x=?


Experten

Übung

Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft. 

4n – 9,1 + 1,1n + 4,3 = 1,2n + 56,5 + 2,3n + 8,7 43,75()

¼ x – 14 ½ + ½ x + 9 ¼ = ½ x + 24 ½  119()

10 – 3x +2(5x – 2) = 7(x + 5) – 3x – 5  8()

(x – 6)(x + 6) = x(x + 9)  -4()


Aufgabe

Drücke die Variable x aus: 

(ax + b)/c = d

ax/c + b = d


Aufgabe

In einer Schule gibt es L Lehrer und S Schüler. Was sagt die Gleichung aus?

S = 12 * L

In dieser Schule gibt es zwölf mal so viele Schüler wie Lehrer


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