Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale Änderungsrate

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In diesem Abschnitt werden Sie sich die Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung benötigen Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen steht Ihnen auf der Seite Vorwissen eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.

Der Porsche 918 Spyder

Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion $s(t)=0,2t^2+4,5t^3$ beschreiben.

Zeit (Sekunden)	Strecke (Meter)
0	0
1	4,7
2	19,6
3	45,9
4	84,8
5	137,5
6	205,2
7	289,1
8	390,4
9	510,3

Mittlere Änderungsrate

Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe die mittleren Änderungsraten in diesem Beispiel zuzuordnen ist und wie man diese berechnet. Notieren Sie Ihre Lösung in ihrem Heft.

Aufgabe 1

Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.

a) zwischen Sekunde 1 und 2
b) zwischen Sekunde 2 und 3
c) zwischen Sekunde 3 und 4
Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.

zum Applet

Momentane Änderungsrate

Aufgabe 2

Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinern Sie dieses.
a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest.
zur Tabelle

b) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.
Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.
c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden?

d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?

Tangente

Die Gerade, die den Graphen von $f$ am Punkt $P(x_0|f(x_0))$ berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von $f$ am Punkt $P$.

Der Differentialquotient

Aufgabe 3

a) Schauen Sie sich die Aufgaben zur Intervallverkleinerungen aus Aufgabe 2 erneut an. Notieren Sie wie man die Verkleinerung des Intervalls Differenzenquotienten ausdrücken könnte. Das Ergebnis des neuen Quotienten soll die Steigung der Tangente sein. Hilfe einbauen!