Einführung in die Automatentheorie/2. Stunde

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Zustände und Übergänge

Automaten kann man sich als eine Art "Maschine" vorstellen, die stur einem festgelegtem Schema folgt, so wie zum Beispiel eine Kaffeemaschine. Eine Kaffeemaschine kann sich in verschiedenen Zuständen befinden (warten, Kaffe kochen, Kaffee warm halten). Das festgelegte Schema sagt ihr, dass sie, wenn sie angeschaltet wird, Kaffee kochen soll. Wenn sie damit fertig ist, soll sie den Kaffee warm halten, solange, bis sie ausgeschaltet wird.

Im Allgemeinen haben alle Automaten ein solches festes vorgegebenes Schema wie eine Kaffeemaschine.

Wie wir bereits gesehen haben, setzt sich ein Automat aus Zuständen und Übergängen zusammen. Ein festgelegtes Schema gibt vor, wann ein Automat von einem Zustand in einen anderen übergeht.

Definition

Zu jedem Zeitpunkt befindet sich ein Automat in genau einem Zustand. Übergänge werden anhand einer Übergangsfunktion beschrieben. Eine Übergangsfunktion gibt an, mit welchem Zeichen von einem bestimmten Zustand in einen anderen gewechselt werden kann.

Schauen wir uns hierzu nochmal den Parkscheinautomat an.

Beschriften wir die Zustände und Übergänge ein wenig anders, sieht das ganze so aus:

Dieser Automat hat folgende Zustände:

• z₀: Der Automat wartet auf eine Eingabe. Wartezustnd

• z₁: Der Automat merkt sich, wie viel Geld eingeworfen wurde.

• z₂: Der Automat druckt das Parkticket und gibt es aus.

Außerdem hat der Automat folgende Übergänge:

• v₁: Geld wird eingeworfen.
  => Der Automat wechselt von z₀ nach z₁.

• v₂: Es wird mehr Geld eingeworfen.
  => Der Automat bleibt in z₁ und zählt die Minuten.

• v₃: Der Knopf "Parkschein ausgeben" wird gedrückt.
  => Der Automat wechselt in z₂.

• v₄: Der Parkschein wird entnommen.
  => Der Automat wechselt zurück in den Zustand z₀.

Diese Abstraktion hat den Vorteil, dass nun eine gewisse Vergleichbarkeit mit anderen Automaten geschaffen wird und so generelle Aussagen und allgemeine Betrachtungen möglich sind.

Aufgabe 2.1

Eine einfache Supermarktkasse funktioniert folgendermaßen:

• Wird ein Preis eingegeben, addiert die Kasse diesem zum Gesamtpreis.

• Drückt jemand auf die Taste "Kassieren", wird der Gesamtpreis angezeigt und die Geldlade geöffnet.

• Wird die Geldlade geschlossen, wartet die Kasse darauf, dass erneut ein Preis eingegeben wird.

Ordne die verschiedenen Zustände der Kasse und die Aktionen des Kassenbetreibers den Zuständen und Übergängen der Skizze zu.

z0	Die Kasse wartet auf die Eingabe eines Preises
z1	Ein Preis wurde eingegeben	und der Knopf "Kassieren" wurde allerdings noch nicht gedrückt
z2	Der Gesamtpreis wird angezeigt	und die Geldlade ist geöffnet
v1	Der erste Preis eines Artikels wird eingegeben
v2	Ein weiterer Preis wird eingeben
v3	Der Knopf "Kassieren" wird gedrückt
v4	Die Geldlade wird geschlossen

Besondere Zustände

Auf den Zustand mit dem Startpfeil sind wir ja schon eingegangen, dieser Zustand heißt Startzustand.

Jeder andere Zustand hat noch einen anderen "besonderen" Zustand, einen Endzustand. der Endzustand wird im Allgemeinen durch einen doppelten Kreis gekennzeichnet. Ein Automat kann auch mehrere Endzustände haben. Dazu aber später mehr.

In unserem Beispiel ist der Startzustand gleich dem Endzustand.

Eingaben

Ein Automat reagiert auf Aktionen. So wechselt der Parkscheinautomat zum Beispiel beim Einwurf von einer Geldmünze den Zustand. Eine Folge von Aktionen wird Eingabe genannt. So ist z.B. [20 ct - 10ct - 10ct - 20ct - Tickettaste drücken - Ticket entnehmen] eine Eingabe.

Ein Automat verarbeitet eine Eingabe, indem er die einzelnen Aktionen der Reihe nach betrachtet und entsprechend reagiert.

Reagieren heißt hier:

Der Automat sucht einen Übergang, der vom aktuellen Zustand ausgeht und mit der Aktion, die an der Reihe ist, beschriftet ist.

Eingaben können unterschiedlich aussehen, es können sowohl Folgen von Zahlen, Wörtern, Zeichen oder Buchstaben sein. Bei realen Automaten sind dies Knöpfe, Münzen, Auswahltasten usw.

Um Automaten strukturiert und übersichtlich darstellen zu können, verwendet man oft Kürzel an den Übergängen. Diese Standardisierung ermöglicht uns außerdem die Analyse der Eigenschaften von Automaten.

Aufgabe 2.2

Betrachte folgenden Automaten.

Fülle den Lückentext aus.

Start bei z0.
Wechsel von z0 nach z2 mit c.
Wechsel von z2 nach z3 mit a.
Der Automat bleibt im Zustand z3 mit a.
Nach der Eingabe caa befindet sich der Automat also in Zustand z3.

Die Eingabe bbb hingegen kann der Automat nicht verarbeiten, da es vom Zustand z2 aus keinen Übergang gibt, der mit b markiert ist.

Aufgabe 2.3

Betrachte den Automaten aus Aufgabe 2.2.

Gegeben sind verschiedene Eingaben. Setze in die entsprechenden Lücken die passenden Zustände ein (z.B. "z0-z1-z2" oder schreibe "kein Endzustand". Du must deine Antwort genau so eingeben wie hier im Beispiel, nur ohne die Anführungszeichen).

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Fülle die Lücken!

bbaaa

aa

aab

caaaa

Wie bereits erwähnt, können Eingaben sehr unterschiedlich sein. Deswegen ist es nötig, zu jedem Automaten anzugeben, aus welchen "Buchstaben" die "Sprache" besteht, die er versteht.

Die Menge dieser "Buchstaben" wird Eingabealphabet genannt. So ist das Eingabealphabet des Automaten aus dem Beispiel oben {a,b,c}.

Das Eingabealphabet muss natürlich nicht aus wirklichen Buchstaben bestehen, es kann genauso aus den ganzen Wörtern, Sätzen oder Zahlen bestehen.

Definition

Das Eingabealphabet eines Automaten, ist die Menge an Zeichen, Wörtern oder Symbolen, auf die der Automat reagieren kann.

Übungsaufgaben

Aufgabe 2.4

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Fülle folgenden Lückentest aus!

Ein Automat setzt sich aus und zusammen. Dabei hat jeder Automat zwei besondere Zustände: Einen und mindestens einen . Der Startzustand wird stets mit einem gekennzeichnet. Die Endzustände werden durch einen markiert.

Ein festgelegtes Schema gibt vor, wann ein Automat von einem in einen anderen übergeht. Allgemein sagt man, dass der Automat eine aus dem verarbeitet.

Aufgabe 2.5

Versuche einen Lachautomaten mit dem Eingabealphabet {h,a} zu konstruieren, der nur die Eingaben ha, haha, hahaha usw. akzeptiert.

Aufgabe 2.6

Versuche einen Automaten mit dem Eingabealphabet {a,b} zu konstruieren, der nur die Eingaben aaab, aaabaaab, aaabaaabaaab usw. akzeptiert.