Flächeninhalt des Rechtecks

Lernpfad

Zielsetzung:

• Schüler entdecken Schritt für Schritt die Formel des Flächeninhalts und lernen damit zu rechnen.

Altersstufe:

• 5. Jahrgangsstufe am Gymnasium

Zeitbedarf:

• ca. 70 Minuten

Materialen:

• Computer (mit Java und GeoGebra) und Heft.

Arbeitsaufträge

Kästchen zählen

Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren.

Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen.

Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt, aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen.

Für diese Aufgabe habt ihr 3 Minuten Zeit!

1. Rechteck

Hast du richtig gezählt?

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Das Rechteck besteht aus ...

	16 Kästchen.
	18 Kästchen.
	20 Kästchen.

2. Rechteck

Hast du richtig gezählt?

Das Rechteck besteht aus ...

	8 Kästchen.
	6 Kästchen.
	7 Kästchen.

3. Rechteck

Hast du richtig gezählt?

Das Rechteck besteht aus ...

	8 1/2 Kästchen.
	9 Kästchen.
	8 Kästchen.

Vorsicht: Hier müsst ihr auch die halben Kästchen zählen!!!

Zeichnen

Zeichnet ein Rechteck in eurem Heft mit Flächeninhalt 16 Kästchen.

Ihr seht im nächsten Bild 3 verschiedene Rechtecke abgebildet:

Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!

Wie ihr leicht sehen könnt, besteht das Rechteck R1 aus 6 Kästchen. Gleichzeitig sind die Seitenlängen des Rechtecks a = c = 3cm und b = d = 2cm.

Das Rechteck R2 besteht aus 2 Kästchen. Wie sind denn hier die Seitenlängen?

Das Rechteck R3 besteht aus 12 Kästchen. Könnt ihr auch hier die Seitenlängen angeben?

Was fällt euch dabei auf?

Arbeit im Heft

Übertragt die Rechtecke auf vorherigen Aufgabe in euer Heft. Schreibt dabei unter jedes Rechteck die Seitenlängen und den Flächeninhalt.

Aus unseren Beobachtungen sehen wir, dass die Anzahl der Kästchen eines Rechtecks

immer gleich des Produkts der beiden Seitenlängen ist.

Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!

Wir notieren:

Im Rechteck R1 haben wir die Seitenlängen a = 2 und b = 3 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 3 = 6

Im Rechteck R2 haben wir die Seitenlängen e = 2 und f = 1 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 1 = 2

Im Rechteck R3 haben wir die Seitenlängen i = 4 und j = 3 und der Flächeninhalt beträgt 4 x 3 = 12

Daher übertragen wir noch folgenden Satz in unserer Heft

Satz

Flächeninhalt des Rechtecks

1. Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen.
2. Es gilt also: $F = a \cdot b$

Das F steht hier für Flächeninhalt!!!

Ein anschauliches Beispiel

Zum Schluss könnt ihr nun noch beobachten, wie sich der Flächeninhalt eines Rechtecks ändert, wenn man die Seitenlängen verändert. Wenn ihr die Punkte der Schieberegler e und f nach links und rechts bewegt, ändert sich auch der Flächeninhalt des Rechtecks.

Andere geometrische Figuren

Wie könnte man den Flächeninhalt von diesen Figuren berechnen ohne die Kästchen zu zählen?

Für diese Aufgabe habt ihr 8 Minuten Zeit!

Maßeinheiten

Bisher haben wir uns nur mit der Angabe des Flächeninhalt durch Kästchen beschäftigt.

Nun wollen wir uns mit den Maßeinheiten bei Flächenberechnung beschäftigen.

Dazu wollen wir aber erst einmal die Maßeinheiten der Streckenmessung wiederholen.

Nehmt euch zum Durchlesen der Wiederholung und des Abschnitts "Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks" 8 Minuten Zeit!

Wiederholung

Ihr kennt bereits:

Einheit	kurz	Umrechnung	Grafische Darstellung
Millimeter	mm
Zentimeter	cm	1 cm = 10 mm
Dezimter: dm	dm	1 dm = 10 cm = 100 mm
Meter	m	1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
Kilometer	km	1 km = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm

Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks

Betrachten wir nur eine Fläche, zum Beispiel unser lilafarbenes Rechteck von oben.

Die Seite a ist 2 cm lang (ebenso die Seite c) Die Seite b ist 4 cm lang (ebenso die Seite d)

Aus unserer Formel $F = a \cdot b$ wissen wir, dass hier gilt F = 2 x 4 = 8. Aber welche Einheit ordnen wir nun unserem Rechteck zu?

Die Seiten a und b (bzw. c und d) können wir in cm angeben. Aber das Ergebnis, eine Fläche, lässt sich nicht durch cm ausdrücke, da eine Fläche nicht gleich einer Strecke ist!!!

Verdeutlichen wir uns das anhand einer Zeichnung.

Hier seht ihr eine Strecke der Länge 8 cm und ein Rechteck mit Flächeninhalt 8 __ .

An diesem Beispiel könnt ihr erkennen dass die Steckeneinheit "cm" nicht zu der Fläche des Rechtecks passt. Schließlich multiplizieren wir bei einer Fläche ja eine Seitenlänge mit der anderen und rechnen somit auch mm x mm, bzw. cm x cm oder dm x dm ... Daher brauchen wir für die Fläche die Maßeinheiten wie mm², sprich Quadratmillimeter, da wir mm mit mm multiplizieren.

Man kann nur Seitenlängen mit gleicher Einheit miteinander muliplizieren!!!

Es funktioniert also 5cm x 7cm = 35 cm² zu rechnen. Will man hingegen 4cm x 25 mm berechnen, so muss man eine der beiden Einheiten umwandeln.

Es bieten sich hier also folgende 2 Möglichkeiten an: 4cm x 25mm = 40mm x 25mm = 1000mm² oder 4cm x 2,5cm = 10cm²

Die Umrechnungsgrößen sind nicht die gleichen wie bei Streckenlängen!!!

Am obigen Beispiel seht ihr sehr gut, dass das Ergebnis des Produkts der Seitenlängen 4cm und 25mm gleich 1000mm² bzw. 10cm² ist. Die Tabelle oben zeigt, dass 1cm = 10mm ist. Somit ist 1cm² = 1 (cm x cm) = 1x (10mm x 10mm) = 100mm². Ebenso gilt für beispielsweise 2dm² = 2 x (dm x dm) = 2 x (10cm x 10cm) = 2 x (100cm²) = 200 cm² und hierfür gilt wiederum: 200 cm² = 200 x (cm x cm) = 200 x (10mm x 10mm) = 200 x (100mm²) = 20000mm²

Verdeutlichen wir und dies nochmal anhand einer Tabelle:

Einheit bei Flächen	Produkt	Umrechnung
Quadratmillimeter	mm x mm = mm²	1mm²
Zentimeter	cm x cm = cm²	1cm² = 100mm²
Dezimter: dm	dm x dm = dm²	1dm² = 100cm² = 10000mm²
Meter	m x m = m²	1m² = 100dm² = 10000cm² = 1000000mm²
Kilometer	km x km = km²	1km² = 1000000m² = 100000000dm² = 10000000000cm² = 1000000000000mm²

Aufgaben

Für diese drei Aufgaben habt ihr 10 Minuten Zeit!

1. Aufgabe

Verwandle in die in Klammern angegebene Einheit.

a) 8 dm² ( cm² )

b) 27 m² ( dm² )

c) 43 km² ( m² )

d) 18 cm² ( mm² )

2. Aufgabe

Drücke in der in Klammern angegebenen Einheit aus.

a) 3800 cm² ( dm² )

b) 5900 dm² ( m² )

c) 470000 m² ( km² )

d) 25 km² ( cm² )

3. Aufgabe

Berechne jeweils den Flächeninhalt der Rechtecke in einer geeigneten Einheit.

a) b = 5 cm, c = 70 dm

b) a = 1200 mm, b = 9 dm

c) c = 5 km, d = 3000 m

d) a = 50 cm, d = 200 mm

e) a = 1200 dm, b = 15 m (Gib hier den Flächeninhalt in cm² an.)

f) b = 5 m, c= 200 cm (Gib hier den Flächeninhalt in dm² an.)

Weitere Arbeitsaufträge

Anwendungsaufgabe Kinderzimmer

Nora und Paul besichtigen die neue Wohnung, in die sie umziehen wollen.

Paul misst die beiden Kinderzimmer aus: Das erste ist 5 m lang und 4 m breit, das zweite 6 m lang und 3 m breit.

Nora sagt: "Beide Zimmer sind gleich groß, denn 5 plus 4 ist 9 und 6 plus 3 ist auch 9."

Was meinst du? Fertigt für eure Lösung im Heft eine Skizze an.

Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!

Check dein Wissen

Für diese drei Aufgaben habt ihr 5 Minuten Zeit!

Vorsicht: Ab Frage 7 auch auf Einheiten achten!

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1 Wie verändern sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man eine Seitenlänge verdoppelt?

	Der Flächeninhalt bleibt gleich.
	Der Flächeninhalt verdoppelt sich
	Das Rechteck ist dann viermal so groß.

2 Der Umfang eines Rechtecks bleibt gleich wenn man eine beliebige Seitenlängen a verdoppelt und die andere Seitenlänge halbiert

	wahr
	falsch

3 Der Flächeninhalt eines Rechtecks bleibt gleich wenn man eine beliebige Seitenlängen a verdoppelt und die andere Seitenlänge halbiert

	wahr
	falsch

4 Die Werte von Flächeninhalt und Umfang sind beim Quadrat gleich groß

	wahr
	falsch

5 Der Umfang eines Rechtecks bleibt gleich, wenn man eine Seite um 2cm verkleinert, die andere Seite dafür aber um 2 cm verlängert. (Wichtig: Wir betrachten hier nur Rechtecke, bei denen beide Seiten mindestens 3 cm lang sind!!!)

	wahr
	falsch

6 Der Flächeninhalt eines Rechtecks bleibt gleich, wenn man eine Seite um 2cm verkleinert, die andere Seite dafür aber um 2 cm verlängert. (Wichtig: Wir betrachten hier nur Rechtecke, bei denen beide Seiten mindestens 3 cm lang sind!!!)

	wahr
	falsch

7 Die folgenden vier Fragen beziehen sich auf folgenden Sachverhalt: Ein Rechteck ist 4m lang und 9m breit. Welche Aussagen sind richtig?

Der Flächeninhalt beträgt 32m²

	wahr
	falsch

8 Der Umfang beträgt 26 cm²

	wahr
	falsch

9 Man kann 18 kleinere Rechtecke mit Flächeninhalt 2m² einbauen.

	wahr
	falsch

10 Ein Quadrat mit Seitenlänge 6m hat den gleichen Umfang.

	wahr
	falsch

Für die ganz Schnellen bzw. für zu Hause

Klickt auf den folgenden Link und bearbeitet die Aufgaben zum Flächeninhalt:

• Umfang und Flächeninhalt vom Rechteck

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