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| | [https://ggbm.at/jhAvTrGx GeoGebra Applet "Gerade und schiefe Pyramide"] |
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| Schaue dir zunächst im folgenden Geogebra-Applet an, wie man einen Würfel in '''sechs gleiche, senkrechte Pyramiden''' zerlegt. Bearbeite anschließend die Aufgabe 4 (unten). | | Schaue dir zunächst im folgenden Geogebra-Applet an, wie man einen Würfel in '''sechs gleiche, senkrechte Pyramiden''' zerlegt. Bearbeite anschließend die Aufgabe 4 (unten). |
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| | Ein Würfel kann durch seine Raumdiagonalen in sechs kongruente Pyramiden mit quadratischer Grundfläche zerlegt werden. |
| | (Kantenlänge des Würfels = a) |
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| | [[Datei:Zerlegung-Wuerfel-in-Pyramiden.png|thumb|Zerlegung eines Würfels in sechs kongruente Pyramiden]] |
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| | [https://ggbm.at/PjHyezQf GeoGebra Applet "Zerlegung eines Würfels in sechs gleiche Pyramiden"] |
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| <br><br> | | <br><br> |
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| }} | | }} |
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| | [https://ggbm.at/Apn9fRCu GeoGebra Applet "Volumenvergleich zweier Pyramiden mit unterschiedlicher Grundflächenform"] |
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| Zeichne auf deinem Laufzettel jeweils passend zur Aufgabe die benötigten Hilfsdreiecke in die quadratische Pyramide ein. Stelle immer erst die entsprechende Formel auf und setze erst anschließend die Werte ein!}} | | Zeichne auf deinem Laufzettel jeweils passend zur Aufgabe die benötigten Hilfsdreiecke in die quadratische Pyramide ein. Stelle immer erst die entsprechende Formel auf und setze erst anschließend die Werte ein!}} |
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| | [https://ggbm.at/eHGeCfCe GeoGebra Applet "Berechnungen an einer quadratischen Pyramide"] |
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| <br><br> | | <br><br> |
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| zu Aufgabe 11 b)<br> | | zu Aufgabe 11 b)<br> |
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| | [https://ggbm.at/ZwRVhV8A GeoGebra Applet "Berechnungen an einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide"] |
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Version vom 17. Oktober 2016, 13:28 Uhr
Vorlage:Lernpfad Inhalt und Drumherum
Bauwerke des Menschen
Die Pyramiden von Gizeh
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Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris
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Die Pyramide auf dem Marktplatz von Karlsruhe (Grabmal des Stadtgründers Karl Wilhelm von Baden-Durlach und das Wahrzeichen der Stadt)
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Eigenschaften einer Pyramide
- Vorlage:Arbeiten
Pyramiden können also jedes beliebige n-Eck als Grundfläche haben. Die Anzahl der Seitenflächen ist gleich der Anzahl der Ecken!
Hier siehst du drei Beispiele von Pyramiden mit verschiedenen Grundflächen:
Pyramiden können sich aber nicht nur in ihrer Grundfläche und somit in der Anzahl der Seitenflächen unterscheiden. Man differenziert auch zwischen geraden (bzw. senkrechten) und schiefen Pyramiden.
GeoGebra Applet "Gerade und schiefe Pyramide"
- Vorlage:Arbeiten
Vorlage:Kasten blau
Volumen der Pyramide
Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Pyramide
- Vorlage:Arbeiten
Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Pyramide aufgestellt. Im Experiment hast du allerdings das Ergebnis nur für die verwendete Pyramide überprüfen können.
Im Folgenden muss nun gezeigt werden, dass die von dir gefundene Volumenformel tatsächlich gilt und zwar nicht nur für eine bestimmte Pyramide, sondern für alle Arten von Pyramiden!
Dazu geht man schrittweise vor:
Zunächst leitet man die Volumenformel für eine spezielle Pyramide her und zeigt anschließend, dass dies auch für andere Pyramiden gilt.
Herleitung der Volumenformel für eine spezielle Pyramide
Schaue dir zunächst im folgenden Geogebra-Applet an, wie man einen Würfel in sechs gleiche, senkrechte Pyramiden zerlegt. Bearbeite anschließend die Aufgabe 4 (unten).
Ein Würfel kann durch seine Raumdiagonalen in sechs kongruente Pyramiden mit quadratischer Grundfläche zerlegt werden.
(Kantenlänge des Würfels = a)
Zerlegung eines Würfels in sechs kongruente Pyramiden
GeoGebra Applet "Zerlegung eines Würfels in sechs gleiche Pyramiden"
- Vorlage:Arbeiten
Weiteres Beispiel
Man kann einen Würfel auch in drei kongruente, schiefe Pyramiden zerlegen (s. Fotos). Dauraus folgt für das Volumen einer der Pyramiden ebenfalls .
Die Spitzen der Pyramiden zeigen alle in die gleiche Ecke des Würfels.
Du kannst dir das Modell, welches auch auf den Fotos abgebildet ist, vorne am Pult anschauen oder drei der selbst gebastelten Pyramiden verwenden.
Von der speziellen zur allgemeinen Pyramide
Du hast die Gültigkeit der Formel nun für eine quadratische Pyramide mit gezeigt, als auch im Modell für eine quadratische Pyramide mit überprüfen können.
Jetzt muss gezeigt werden, dass diese Formel auch für das Volumen einer beliebigen n-seitigen Pyramide gilt. Dazu muss folgender Satz bewiesen werden:
Vorlage:Kasten rot
Das klingt stark nach dem Satz von Cavalieri! Allerdings fehlt hierzu noch ein Kriterium. Nach Cavalieri sind zwei Körper volumengleich, wenn der Grundflächeninhalt und die Höhe gleich sind, als auch alle zur Grundfläche parallelen Schnittflächen in gleicher Höhe den gleichen Flächeninhalt haben. Es muss also gezeigt werden, dass Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe auf jeder Höhe (parallel zur Grundfläche) gleich große Schnittflächen besitzen!
- Vorlage:Arbeiten
GeoGebra Applet "Volumenvergleich zweier Pyramiden mit unterschiedlicher Grundflächenform"
Beweis:
Versuche erst einmal selbst einen Beweis zu führen! Falls du nicht weiter kommst, nutze zuerst die Tipps und versuche es nochmal, bevor du dir die Lösung anschaust!
Tipp (1): Vorlage:Tipp versteckt
Tipp (2):Vorlage:Tipp versteckt
Voraussetzung: G1 = G2
S1 und S2 sind Streckzentren einer zentrischen Streckung von G1 auf G1' bzw. von G2 auf G2'. Der Streckfaktor ist jeweils .
G1 ist also ähnlich zu G1' und G2 ist ähnlich zu G2'.
G1' = k2G1 und G2' = k2G2
Da nach Voraussetzung G1 = G2
G
1' = G
2'
Nun bist du endlich am Ziel und du kannst eine allgemeine Formel zur Berechnung des Pyramidenvolumens aufstellen, welche auch wirklich für jede beliebige Pyramide gilt!
Übungsaufgaben zur Berechnung des Pyramidenvolumens
Zur Berechnung des Pyramidenvolumens benötigt man die Maße der Pyramidengrundfläche und der Höhe. Diese sind allerdings nicht immer direkt gegeben und müssen erst aus den angegebenen Seitenlängen berechnet werden. Bei der Berechnung muss man mit sogenannten Hilfsdreiecken arbeiten. Bei den Hilfsdreiecken handelt es sich um rechtwinklige Dreiecke, wobei bereits zwei der Seiten gegeben sind. Die dritte Seite lässt sich dann einfach durch Anwendung des Satzes von Pythagoras berechnen!
- Vorlage:Arbeiten
GeoGebra Applet "Berechnungen an einer quadratischen Pyramide"
Ausführliche Lösung zu Aufgabe 6
Mantelfläche und Mantelflächeninhalt
- Vorlage:Arbeiten
Oberfläche und Oberflächeninhalt
Körpernetz einer Pyramide
Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das Netz der Pyramide.
Ebenso kann man eine Pyramide entlang von Seiten- und Grundkanten aufschneiden und in die Grundflächenebene klappen, um ein Körpernetz zu erhalten. Dabei muss man beachten, dass keine Dreicksfläche komplett abgetrennt wird! Das Netz eines Körpers ist immer eine zusammenhängende Fläche, die wieder zu dem vollständigen Körper gefaltet werden kann!
Das folgende Beispiel zeigt ein Körpernetz einer quadratischen Pyramide, welche entlang zweier Seiten- und zweier Grundkanten aufgeschnitten wurde:
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Als Hilfestellung kannst du die Holzpyramiden vorne am Pult verwenden!
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Zur Überprüfung eurer Ergebnisse stehen auch zwei Modelle von Körpernetzen zur Verfügung:
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Zusammenfassung
Vorlage:Kasten rot
Übungsaufgaben: Berechnungen rund um die Pyramide
- Vorlage:Arbeiten
Lösung zu Aufgabe 10
- Vorlage:Arbeiten
zu Aufgabe 11 b)
Ausführliche Lösung zu Aufgabe 11
Abschlusstest: Multiple-Choice-Quiz
- Vorlage:Arbeiten