Lineare Funktionen/Station 1: Unterschied zwischen den Versionen
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In der Regel treten pro Stunde etwa 120m³ Grundwasser ein, die ständig abgepumpt werden müssen. | In der Regel treten pro Stunde etwa 120m³ Grundwasser ein, die ständig abgepumpt werden müssen. | ||
Plötzlich fallen die Pumpen aus! Die Kumpel werden sichtlich nervös, denn der Aufzug ist langsam und kann immer nur wenige Leute nach oben in Sicherheit bringen. Und jeder weiß, sobald 850m<sup>3</sup> Wasser ins Bergwerk eindringen, fällt der Strom und damit der Aufzug aus. Doch ihr seid kühle Mathematiker könnt herausfinden, wie lange für die Evakuierung noch Zeit bleibt. | Plötzlich fallen die Pumpen aus! Die Kumpel werden sichtlich nervös, denn der Aufzug ist langsam und kann immer nur wenige Leute nach oben in Sicherheit bringen. Und jeder weiß, sobald 850m<sup>3</sup> Wasser ins Bergwerk eindringen, fällt der Strom und damit der Aufzug aus. Doch ihr seid kühle Mathematiker und könnt herausfinden, wie lange für die Evakuierung noch Zeit bleibt. | ||
Um auch sicherzugehen, dass ihr euch nicht verrechnet, wärmt ihr euch zunächst mit ein paar einfachern Aufgaben auf. Es geht ja schließlich um das Leben der Bergleute! | |||
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{{Aufgabe|'''a)''' Wie viel Wasser dringt in einer halben Stunde in das Bergwerk ein? Begründe dein Ergebnis! | |||
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|'''a)''' Wie viel Wasser dringt in einer halben Stunde in das Bergwerk ein? Begründe dein Ergebnis! | |||
Gib eine Zuordnungsvorschrift an, die die Situation beschreibt. | Gib eine Zuordnungsvorschrift an, die die Situation beschreibt. | ||
'''b)''' Berechne in einer Wertetabelle die eingedrungene Wassermenge nach 1,2,5 und 6 Stunden.<br> Bestimme die''' Proportionalitätskonstante m.''' | |||
'''c)''' <u> Nutze den Wert m,</u> um die eingedrungene Wassermenge nach 4h, 5,5h und 1,63h zu berechnen.<br> | |||
Gib eine '''Funktionsgleichung''' bzw. einen '''Funktionsterm''' an,<br> wie man mit der ''Proportionalitätskonstante m'' die Wassermenge zu jeder ''Zeit t'' berechnen kann.}} | |||
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|'''d)''' Nutze die Funktionsgleichung, um die Wassermenge zu den Zeitpunkten 0h, 3h, 1,5h und 8h zu berechnen.<br> | {{Aufgabe|'''d)''' Nutze die Funktionsgleichung, um die Wassermenge zu den Zeitpunkten 0h, 3h, 1,5h und 8h zu berechnen.<br> | ||
Trage diese Punkte in ein Koordinatensystem ein, um den Graphen der Funktion zu zeichnen.<br> | Trage diese Punkte in ein Koordinatensystem ein, um den Graphen der Funktion zu zeichnen.<br> | ||
Ist es sinnvoll, die Punkte zu verbinden? Begründe! | Ist es sinnvoll, die Punkte zu verbinden? Begründe!}} | ||
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|align = "left" width="200"|[[Datei:Communist-154578 1280.png|111px|Flagge]] | |align = "left" width="200"|[[Datei:Communist-154578 1280.png|111px|Flagge]] | ||
|align = "left" |<big>'''Genug aufgewärmt, die Kumpel wollen endlich wissen, wie lange sie noch Zeit haben!!'''</big><br><br> | |align = "left" |<big>'''Genug aufgewärmt, die Kumpel wollen endlich wissen, wie lange sie noch Zeit haben!!'''</big><br><br> | ||
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|Ermittle mithilfe deines gezeichneten Funktionsgraphen ''graphisch'', wann 850m<sup>3</sup> Wasser ins Bergwerk eingedrungen sind und es kein Entrinnen mehr für die Bergleute gibt. | {{Aufgabe|Ermittle mithilfe deines gezeichneten Funktionsgraphen ''graphisch'', wann 850m<sup>3</sup> Wasser ins Bergwerk eingedrungen sind und es kein Entrinnen mehr für die Bergleute gibt. | ||
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|align = "left" |<big>Ah, kein Stress,das ist ja noch genug Zeit. Bis du an der Reihe bist kannst du in aller Ruhe noch eine kleine Aufgabe lösen... </big><br><br> | |align = "left" |<big>Ah, kein Stress,das ist ja noch genug Zeit. Bis du an der Reihe bist kannst du in aller Ruhe noch eine kleine Aufgabe lösen... </big><br><br> | ||
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Nach einem regnerischen Herbstmonat dringen pro Stunde sogar '''240m<sup>3</sup>''' in das Bergwerk ein, in trockenen Sommermontaten hingegen nur '''50m<sup>3</sup>.'''<br> | Nach einem regnerischen Herbstmonat dringen pro Stunde sogar '''240m<sup>3</sup>''' in das Bergwerk ein, in trockenen Sommermontaten hingegen nur '''50m<sup>3</sup>.'''<br> | ||
*Gib für die beiden Fälle eine Funktionsgleichung an, die die Situation richtig beschreibt. <br> | *Gib für die beiden Fälle eine Funktionsgleichung an, die die Situation richtig beschreibt. <br> | ||
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Die Funktion <math>f:x \mapsto m\cdot x</math> mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=m\cdot x</math> beschreibt die '''direkte Proportionalität''' der beiden Variablen x und y.<br> | Die Funktion <math>f:x \mapsto m\cdot x</math> mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=m\cdot x</math> beschreibt die '''direkte Proportionalität''' der beiden Variablen x und y.<br> | ||
Der Graph dieser Funktion <math>f(x)=m\cdot x</math> ist eine '''Gerade durch den Ursprung''' des KS; dabei ist '''m''' die '''Steigung''' dieser Geraden. | Der Graph dieser Funktion <math>f(x)=m\cdot x</math> ist eine '''Gerade durch den Ursprung''' des KS; dabei ist '''m''' die '''Steigung''' dieser Geraden. | ||
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Version vom 7. April 2018, 12:50 Uhr
Station 1: Proportionale Funktionen
Im Bergwerk
In tief gelegene Bergwerke dringt im Betrieb laufend Grundwasser ein. Daher benutzt man große Pumpen, um das Grundwasser wieder aus dem Berkwerk zu befördern und damit den Bergleuten ein Arbeiten im Trockenen zu ermöglichen.
In der Regel treten pro Stunde etwa 120m³ Grundwasser ein, die ständig abgepumpt werden müssen.
Plötzlich fallen die Pumpen aus! Die Kumpel werden sichtlich nervös, denn der Aufzug ist langsam und kann immer nur wenige Leute nach oben in Sicherheit bringen. Und jeder weiß, sobald 850m3 Wasser ins Bergwerk eindringen, fällt der Strom und damit der Aufzug aus. Doch ihr seid kühle Mathematiker und könnt herausfinden, wie lange für die Evakuierung noch Zeit bleibt.
Um auch sicherzugehen, dass ihr euch nicht verrechnet, wärmt ihr euch zunächst mit ein paar einfachern Aufgaben auf. Es geht ja schließlich um das Leben der Bergleute!
a) Wie viel Wasser dringt in einer halben Stunde in das Bergwerk ein? Begründe dein Ergebnis! Gib eine Zuordnungsvorschrift an, die die Situation beschreibt.
b) Berechne in einer Wertetabelle die eingedrungene Wassermenge nach 1,2,5 und 6 Stunden.
Bestimme die Proportionalitätskonstante m.
c) Nutze den Wert m, um die eingedrungene Wassermenge nach 4h, 5,5h und 1,63h zu berechnen.
wie man mit der Proportionalitätskonstante m die Wassermenge zu jeder Zeit t berechnen kann.
<popup name="Lösung">
Aufgrund der direkten Proportionalität gilt: |
<popup name="Tipp">
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<popup name="Lösung">
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Heißt die Proportionalitätskonstante nicht c? <popup name="Erklärung">PS: Wir nennen die Proportionalitätskonstante ab jetzt . Das hat den Hingergrund, dass der Augenmerk in Zukunft weniger bei der Quotientengleichheit liegt, sondern auf einem weiteren Gesichtspunkt, die durch die Proportionalitätskonstante bestimmt wird.</popup> |
<popup name="Tipp">
Wassermenge zur Zeit t: </popup> |
<popup name="Lösung">
allgemeine Funktionsgleichung: oder |
}}
Bei direkt proportionalen Zuordnungen gilt mit konstantem (Proportionalitätskonstante).
Man nennt sie deshalb auch proportionale Funktionen.
d) Nutze die Funktionsgleichung, um die Wassermenge zu den Zeitpunkten 0h, 3h, 1,5h und 8h zu berechnen.
Trage diese Punkte in ein Koordinatensystem ein, um den Graphen der Funktion zu zeichnen.
}}
Genug aufgewärmt, die Kumpel wollen endlich wissen, wie lange sie noch Zeit haben!! Aufgabe
{{{1}}} |
Ah, kein Stress,das ist ja noch genug Zeit. Bis du an der Reihe bist kannst du in aller Ruhe noch eine kleine Aufgabe lösen... Aufgabe
{{{1}}} |
Allgemein:
Die Funktion mit der Funktionsgleichung beschreibt die direkte Proportionalität der beiden Variablen x und y.
Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade durch den Ursprung des KS; dabei ist m die Steigung dieser Geraden.
Super, du hast die erste Station geschafft! Überprüfe in der Übungsstation doch gleich, ob du alles verstanden hast!
Datei:Binoculars-1015267 1920.jpg | ...hier geht es weiter! |