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| {{Fortsetzung
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| |vorher=zurück
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| |vorherlink=Funktionen
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| |weiterlink=Lernpfad Lineare Funktionen
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| |übersicht=Kapitelübersicht
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| |übersichtlink=Funktionen}}
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| {{Box
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| |1=1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P
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| |2=
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| Gegeben sind die Gerade <math>f(x) =1,5x -4</math> und der Punkt <math>P(4|2)</math>.
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| | |
| # Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
| |
| # Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
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| # Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden g an, die zur Geraden f parallel verläuft.
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| # Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden h an, die senkrecht zur Geraden f verläuft.
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| {{Lösung versteckt|
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| # <math>f(4) =1,5\cdot 4 -4</math> <br /> <math>2 =6 -4</math> Die Funktion f liefert für den x-Wert <math>x = 4</math> den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.
| |
| # Schnittpunkt mit der y-Achse: <math>(0|-4) </math> <br /> Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): <br /><math>1,5x -4 = 0</math> <math>\Leftrightarrow 1,5x = 4</math> <math>\Leftrightarrow x = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} </math> <math>= 2,6666... </math> <math>= 2,\overline{6} </math> Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: <math>(2,\overline{6} | 0) </math>
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| # Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor <math>m=1,5</math> wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt <math>b=0</math>: <math> g(x) =1,5 x </math>
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| # Formel für den Steigungsfaktor <math>m_h</math> einer Geraden h, die zur Geraden f (mit dem Steigungsfaktor <math> m_f </math>) senkrecht verläuft: <math> m_h = -\frac{1}{m_f} </math>. Um <math> m_h </math> zu erhalten, nimmt man den Kehrwert von <math> m_f </math> und dreht zusätzlich noch das Vorzeichen um. <br /> <math>m_f = 1,5 = \frac{3}{2} </math> <math>\Rightarrow m_h = - \frac{2}{3} </math> <br /> Ergebnis: <math> h(x)= - \frac{2}{3}x </math>
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| | Lösung anzeigen
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| | Lösung verbergen
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| }}
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| |3=Üben}}
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| {{Box
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| |1=2. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P
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| |2=
| |
| Gegeben sind die Gerade <math>f(x) = x +1</math> und der Punkt <math>P(-2|-0,5)</math>.
| |
| # Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
| |
| # Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
| |
| # Bestimme die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden f parallel verläuft und durch den Punkt <math>P(-2|-0,5)</math> geht.
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| # Bestimme die Gleichung der Geraden h, die zur Geraden f senkrecht verläuft und durch den Punkt <math>P(-2|-0,5)</math> geht.
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| {{Lösung versteckt
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| # <math>f(-2) = -2 +1 = -1 </math> Der Punkt <math>P(-2|-0,5)</math> liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.
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| # Schnittpunkt mit y-Achse: <math>(0|1) </math> <br /> Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle): <br /><math>x +1 = 0</math> <math>\Leftrightarrow x = -1 </math> Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet <math>(-1| 0) </math>
| |
| # Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor <math>m=1</math>, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b: <br /> <math>g(x) = x + b </math> <br /> <math> g(-2) = -2 + b = -0,5 \Rightarrow b= 1,5 </math> <br />Die Gerade g hat die Gleichung <math> g(x) =x +1,5 </math>
| |
| # Steigung der Geraden h: <math> m_h = -\frac{1}{1} = -1 </math> <br /> Zwischenlösung: <math>h(x)= -x +b </math> <br /> <math> P(-2|-0,5) </math> einsetzen: <br /> <math> -0,5 = -1 \cdot (-2) + b </math> <math>\Rightarrow b = -2,5 </math> <br /> Ergebnis: <math> h(x) = -x -2,5 </math>
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| | Lösung anzeigen
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| | Lösung verbergen
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| }}
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| |3=Üben}}
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| {{Box
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| |1=3. Aufgabe (Üben) - Gerade und Punkt
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| |2=
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| Die Punkte <math>P(-4| y_P)</math> und <math>Q(x_Q | 0,5)</math> liegen beide auf der Geraden <math>f(x) = -0,75x +2</math>.
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| # Bestimme die fehlenden Koordinaten <math>y_P</math> und <math>x_Q</math> der Punkte.
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| # Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt P geht.
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| {{Lösung versteckt
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| zu 1.
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| | |
| Berechnung von <math>y_P</math>: <br />
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| <math>f(x) = -0,75x +2</math> <br /><math>f(-4) = -0,75 \cdot (-4) + 2 = 5 </math> <br />
| |
| Ergebnis: <math>y_P = 5 </math>
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| | |
| Berechnung von <math>x_Q</math>: <br />
| |
| <math>f(x) = -0,75x +2</math> <br />
| |
| <math>0,5 = -0,75x +2</math> {{!}} <math> -2 </math> <br />
| |
| <math>\Rightarrow-1,5 = -0,75x </math> {{!}} geteilt durch (-0,75) <br />
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| <math>\Rightarrow x = 2 </math> <br />
| |
| Ergebnis: <math>x_Q = 2 </math>
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| | |
| zu 2.
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| | |
| <math> m_f = -0,75 = -\frac{3}{4} </math> <br />
| |
| Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: <math>m_h = -\frac{1}{m_f} </math> (Kehrwert von <math> m_f </math> bilden und Vorzeichen umdrehen) <br />
| |
| <math>m_h = \frac{4}{3} </math> <br />
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| Zwischenergebnis: <math>h(x) = \frac{4}{3} + b</math> {{!}} Koordinaten von <math>P(-4|5)</math> einsetzen: <br />
| |
| <math>5 = \frac{4}{3}\cdot (-4) + b</math> <br />
| |
| <math>\Rightarrow \frac{15}{3} = -\frac{16}{3} + b</math> {{!}} <math> + \frac{16}{3} </math> <br />
| |
| <math>\Rightarrow b = \frac{31}{3} = 10,\overline{3} </math> <br />
| |
| Ergebnis: <math>h(x) = \frac{4}{3}x + \frac{31}{3}</math>
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| | Lösung anzeigen
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| | Lösung verbergen
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| }}
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| |3=Üben}}
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| {{Box
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| |1=4. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q
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| |2=
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| # Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(2|3)</math> und <math>Q(3|5)</math> geht.
| |
| # Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
| |
| # Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt <math>P(2|3)</math> geht.
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| | |
| {{Lösung versteckt
| |
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| |
| zu 1.
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| | |
| Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte <math> P(x_P|y_P) </math> und <math> Q(x_Q|y_Q) </math> geht: <br /> <math> m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q -x_P} </math>
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| | |
| <math>y_P=3 </math> und <math>y_Q=5 </math> <math>\; \Rightarrow \Delta y = y_Q - y_P = 5 -3 = 2</math>
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| | |
| <math>x_P=2 </math> und <math>x_Q=3 </math> <math>\; \Rightarrow \Delta x = x_Q - x_P = 3 - 2 = 1</math>
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| |
| <math> m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{1} = 2 </math>
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| | |
| Zwischenergebnis: <math>f(x) =2 x + b </math>
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| | |
| Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von <math>P(2|3)</math>:
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| | |
| <math> f(2) = 2 \cdot 2 + b </math> <br /><math> \Leftrightarrow 3 = 4 + b </math> <br /><math> \Leftrightarrow b= -1 </math>
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| | |
| Ergebnis: <math> f(x) = 2x -1 </math>
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| | |
| zu 2.
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| | |
| Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet: <math>(0|-1) </math>
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| | |
| Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
| |
| <math> f(x) = 2x -1 </math> <br />
| |
| <math> 0 = 2x -1 </math> {{!}} <math> + 1 </math> <br />
| |
| <math>\Leftrightarrow 1 = 2x </math> {{!}} <math> / 2 </math> <br />
| |
| <math>\Leftrightarrow x = 0,5 </math> (Nullstelle) <br />
| |
| Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet <math> (0,5|0) </math>
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| | |
| zu 3.
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| | |
| Ansatz: <math> h(x) = -\frac{1}{2} x + b </math>
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| | |
| Koordinaten von <math>P(2|3)</math> einsetzen:
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| <math> 3 = -\frac{1}{2} \cdot 2 + b </math> <br />
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| <math> 3 = -1 + b </math> {{!}} <math> + 1 </math> <br />
| |
| <math> b = 4 </math> <br />
| |
| Ergebnis: <math> h(x) = -0,5 x + 4 </math>
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| | Lösung anzeigen
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| | Lösung verbergen
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| }}
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| |3=Üben}}
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| {{Box
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| |1=5. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q
| |
| |2=
| |
| #Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(-3|3)</math> und <math>Q(1|-5)</math> geht.
| |
| # Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
| |
| # Gib die Gleichung der Geraden g an, die parallel zur Geraden f verläuft und durch den Koordinatenursprung geht.
| |
| | |
| {{Lösung versteckt
| |
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| |
| zu 1.
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| | |
| <math> m = \frac{-5 -3}{1 -(-3)} = \frac{-8}{4} = -2 </math>
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| | |
| Zwischenlösung:
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| <math> f(x) =-2x + b </math>
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| | |
| Beispielsweise <math>P(-3|3)</math> einsetzen:
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| | |
| <math> f(-3) = -2 \cdot (-3) + b </math> <br />
| |
| <math> \Rightarrow 3 = 6 + b </math> <br />
| |
| <math> \Rightarrow b = -3 </math>
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| | |
| Ergebnis: <math> f(x) = -2x -3 </math>
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| | |
| | |
| zu 2.
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| Schnittpunkt mit der y-Achse: <math> (0 | -3) </math> <br />
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| Schnittpunkt mit der x-Achse: <br />
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| <math> f(x) = -2x -3 </math> <br />
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| <math> 0 = -2x -3 </math> <br />
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| <math> \Rightarrow 3 = -2x </math> <br />
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| <math> \Rightarrow x = -1,5 </math> <br />
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| Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: <math> (-1,5 | 0) </math>.
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| zu 3.
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| <math> g(x) = -2x </math>
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| | Lösung anzeigen
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| | Lösung verbergen
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| }}
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| |3=Üben}}
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| Die Lösungen können auch mit den beiden folgenden GeoGebra-Applets überprüft werden:
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| ====GeoGebra-Applet für lineare Funktion <math> f(x) =m\;x + b </math>====
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| <ggb_applet width="527" height="671" version="4.2" ggbBase64="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showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
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| ====GeoGebra-Applet für lineare Funktion <math> f(x) =m\;x + b </math> durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>====
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