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Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung

Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad Lineare Funktionen erkunden!

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

Deine Ziele (Kompetenzen):

• Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
• Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
• Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.

Benötigtes Material: Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)

Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf)

Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

Aufgabe 1: Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten $y$ in Abhängigkeit von den Minuten $x$.

1. Ergänze die Wertetabelle im Heft.
2. Stelle die Funktionsgleichung auf.

Minuten ($x$)	0	10	20	$x$
Kosten ($y$)	?	?	?	?

💡 Tipp 1: Der Startwert

Wenn du 0 Minuten telefonierst ($x=0$), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).

💡 Tipp 2: Die Änderung

Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung $m$.

✅ Lösung

• Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
• Gleichung: $f(x) = 0,15 \cdot x + 10$

Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b

Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).

Wir betrachten die allgemeine Form $f(x) = m \cdot x + b$ nun als ein Objekt, das wir verändern können.

Merke:

• $b$ (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
• $m$ (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt ($+$) oder fällt ($-$).

Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. $y$ ist die Höhe in cm, $x$ die Zeit in Stunden.

• A: $f(x) = -2x + 15$
• B: $f(x) = -4x + 20$
• C: $f(x) = -1x + 15$

Ordne zu und begründe mathematisch:

1. Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
2. Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
3. Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?

✅ Lösung & Begründung

1. Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt $b=20$ ist der größte Startwert.
2. Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung $|-4|$ ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
3. Kerze A und C waren gleich hoch, da beide $b=15$ haben.

Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen

Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte. Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.

• Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
• Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

Aufgabe 3: Bestimme die Funktionsgleichung $h(t) = m \cdot t + b$, die den Sinkflug beschreibt.

Schritt 1: Steigung m berechnen

Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte $P_1(2|4000)$ und $P_2(5|2500)$: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Berechne $m$ zuerst.

Schritt 2: b bestimmen

Setze dein berechnetes $m$ und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung $y = m \cdot x + b$ ein. Löse dann nach $b$ auf.

✅ Lösung

1. $m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500$ (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
2. Einsetzen: $4000 = -500 \cdot 2 + b$
3. $4000 = -1000 + b \quad | +1000$
4. $5000 = b$
5. Ergebnis: $h(t) = -500t + 5000$

Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)

Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:

• Tarif A: $f(x) = 0,15x + 10$
• Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. $g(x) = 0,25x$

Aufgabe 4: Die Entscheidung

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).

💡 Tipp: Der Ansatz

Wir suchen das $x$, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: Gleichsetzen

$f(x) = g(x)$

✅ Lösung

Gleichsetzen:

$0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x$

$10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10$

$100 = x$

• • Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).

Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen

Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion $f(x) = x + 3$ beschrieben.

Aufgabe 5:

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße (Funktion $g(x)$) absolut parallel zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für $b$.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung $m$ deiner Funktion $g(x)$ so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung $m$ von $g(x)$ haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von $f(x)$ mit der Steigung von $g(x)$. Was fällt dir auf?

Bitte öffnen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2x - 3$.

Aufgabe 5: Gib eine Funktionsgleichung $g(x)$ an, deren Graph...

1. ... parallel zu $f(x)$ verläuft, aber durch den Punkt $P(0|5)$ geht.
2. ... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie $f(x)$, aber fällt statt steigt.

✅ Lösung

1. Wenn man $b$ verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung $m$ muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.

   $g(x) = x + 6$

2. Die Funktion $g(x)$ muss die gleiche Steigung $m$ haben, wie die Funktion $f(x)$ die hat. Somit ist die Steigung $m = 1$

Abschluss: Kannst du das Modellieren?

Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:

• Kannst du aus einem Text $m$ und $b$ herauslesen?
• Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?

((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen

Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben.Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zu stellen.