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Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung

In diesem Lernpfad wirst du lineare Funktionen nicht nur berechnen, sondern als Werkzeuge nutzen, um die Realität zu beschreiben (Modellieren).

Deine Ziele (Kompetenzen):

• 🎯 Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
• 📈 Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
• 🛠️ Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.

Benötigtes Material: Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf)

Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

Aufgabe 1: Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten $y$ in Abhängigkeit von den Minuten $x$.

1. Ergänze die Wertetabelle im Heft.
2. Stelle die Funktionsgleichung auf.

Minuten ($x$)	0	10	20	$x$
Kosten ($y$)	?	?	?	?

💡 Tipp 1: Der Startwert

Wenn du 0 Minuten telefonierst ($x=0$), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).

💡 Tipp 2: Die Änderung

Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung $m$.

✅ Lösung

• Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
• Gleichung: $f(x) = 0,15 \cdot x + 10$

Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und n

Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).

Wir betrachten die allgemeine Form $f(x) = m \cdot x + b$ nun als ein Objekt, das wir verändern können.

Merke:

• $b$ (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
• $m$ (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt ($+$) oder fällt ($-$).

Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. $y$ ist die Höhe in cm, $x$ die Zeit in Stunden.

• A: $f(x) = -2x + 15$
• B: $f(x) = -4x + 20$
• C: $f(x) = -1x + 15$

Ordne zu und begründe mathematisch:

1. Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
2. Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
3. Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?

✅ Lösung & Begründung

1. Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt $b=20$ ist der größte Startwert.
2. Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung $|-4|$ ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
3. Kerze A und C waren gleich hoch, da beide $b=15$ haben.

Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen

Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte. Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.

• Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
• Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

Aufgabe 3: Bestimme die Funktionsgleichung $h(t) = m \cdot t + b$, die den Sinkflug beschreibt.

Schritt 1: Steigung m berechnen

Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte $P_1(2|4000)$ und $P_2(5|2500)$: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Berechne $m$ zuerst.

Schritt 2: b bestimmen

Setze dein berechnetes $m$ und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung $y = m \cdot x + b$ ein. Löse dann nach $b$ auf.

✅ Lösung

1. $m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500$ (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
2. Einsetzen: $4000 = -500 \cdot 2 + b$
3. $4000 = -1000 + b \quad | +1000$
4. $5000 = b$
5. Ergebnis: $h(t) = -500t + 5000$

Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)

Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:

• Tarif A: $f(x) = 0,15x + 10$
• Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. $g(x) = 0,25x$

Aufgabe 4: Die Entscheidung

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).

💡 Tipp: Der Ansatz

Wir suchen das $x$, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: Gleichsetzen

$f(x) = g(x)$

✅ Lösung

Gleichsetzen:

$0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x$

$10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10$

$100 = x$

• • Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).

Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen

Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2x - 3$.

Aufgabe 5: Gib eine Funktionsgleichung $g(x)$ an, deren Graph...

1. ... parallel zu $f(x)$ verläuft, aber durch den Punkt $P(0|5)$ geht.
2. ... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie $f(x)$, aber fällt statt steigt.

✅ Lösung

1. Parallel bedeutet: Die Steigung $m$ muss gleich sein. Punkt $(0|5)$ bedeutet $b=5$.

   $g(x) = 2x + 5$

2. Gleicher Abschnitt bedeutet $b = -3$. Fallen bedeutet $m$ muss negativ sein (Zahl beliebig, z.B. -1).

   $g(x) = -1x - 3$ (Beispiel)

Abschluss: Kannst du das Modellieren?

Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:

• Kannst du aus einem Text $m$ und $b$ herauslesen?
• Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?

[Hier optional: Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P]