Alles rund um Quadratische Funktionen

Info

In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich quadratischer Funktionen zu vertiefen.

Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur Scheitelpunktform, der Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform sowie zur Berechnung von Nullstellen bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei Anwendungsaufgaben, in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.

In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.

Scheitelpunktform

1. Die Scheitelpunktform

Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Wir schauen uns die Funktion $g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$ an. Funktionen dieser Art heißen quadratische Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parabel. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt Scheitelpunkt. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt $S$ direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter $d$ ist die $x$-Koordinate und der Parameter $e$ ist die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts. $\Rightarrow S(d|e)$.
Ist der Parameter $a$ kleiner als Null ($a<0$), dann ist der Graph der Funktion $g$ nach unten geöffnet.
Ist $a$ größer als Null ($a>0$), dann ist der Graph von $g$ nach oben geöffnet.
Ist $a$ größer als Eins ($a>1$) oder kleiner als minus Eins ($a<-1$), dann sieht der Graph von $g$ schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt $a$ zwischen minus Eins und Eins ($-1<a<1$), dann sieht der Graph von $g$ breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.

Ist $d$ größer als Null ($d>0$), dann wird der Graph von $g$ nach rechts verschoben.
Ist $d$ kleiner als Null ($d<0$), dann wird der Graph von $g$ nach links verschoben.

Ist $e$ kleiner als Null ($e<0$), dann wird der Graph von $g$ nach unten verschoben.
Ist $e$ größer als Null ($e>0$), dann wird der Graph von $g$ nach oben verschoben.

Entdecke

Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Scheitelpunktform $a, d, e$ auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von $f$ verändert.

2.WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?

Gegeben seien die Funktion $f(x)=\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2$ und die Punkte

$A=(4|0),$

$B=(0|2),$

$C=(-\frac{1}{2}| \frac{9}{8}),$

$D=(\frac{7}{3}|\frac{20}{3})$ und

$E=(2|-2)$.

a) Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte $A, B, C, D$ und $E$ auf dem Graphen von $f$ liegen.

Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen $y$-Wert

Die Punkte $A, C$ und $E$ liegen auf dem Graphen, die Punkte $B$ und $D$ nicht.

$\begin{array}{rlll} A &&=&& (4|0):\\ f(4) &&=&& \frac{1}{2} \cdot (4-2)^2-2 =\frac{1}{2} \cdot 2^2-2=\frac{1}{2} \cdot 4-2=2-2=0 \\ \\ B &&=&& (0|2):\\ f(0) &&=&& \frac{1}{2} \cdot (0-2)^2-2 =\frac{1}{2} \cdot (-2)^2-2=\frac{1}{2} \cdot 4-2=2-2=0 \neq 2\\ \\ C &&=&& (-\frac{1}{2}| \frac{9}{8}):\\ f(-\frac{1}{2}) &&=&& \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}-2)^2-2 =\frac{1}{2} \cdot (-\frac{5}{2})^2-2=\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{4}-2=\frac{25}{8}-2=\frac{9}{8}\\ \\ D &&=&& (\frac{7}{3}| \frac{20}{3}):\\ f(\frac{7}{3}) &&=&& \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{3}-2)^2-2 =\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3})^2-2=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}-2=-\frac{1}{18}-2=-\frac{35}{18} \neq \frac{20}{3}\\ \\ E &&=&& (2|-2):\\ f(2) &&=&& \frac{1}{2} \cdot (2-2)^2-2 =\frac{1}{2} \cdot 0^2-2=\frac{1}{2} \cdot 0-2=0-2=-2\\ \end{array}$

b) Zeichne den Graphen der Funktion $f$ und die Punkte $A-E$ in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung

Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.

Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen.

Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter $a$ an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst".

Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht:

3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?

Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.

Betrachtet man die Funktionsgleichung $j(x)=a\cdot (x-d)^2+e$, so steht $d$ für die Verschiebung in $x$-Richtung. Ist das Vorzeichen vor dem $d$ dabei negativ, so verschiebt man den Graphen nach rechts und wenn es positiv ist nach links. Das $e$ steht für die Verschiebung in $y$-Richtung nach oben, falls $e$ positiv ist und nach unten wenn es negativ ist.

Betrachtet man die Funktionsgleichung $j(x)=a\cdot (x-d)^2+e$, so beschreibt $a$ die Streckung (falls $a>1$) oder die Stauchung (falls $a<1$). Man geht vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um $a$ Einheiten nach oben (falls $a$ negativ ist nach unten).

Falls $a<1$ ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel $\frac{2}{3}$ nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also $3$ einzusetzen. Somit erhält man $3^2=9$. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren $9*\frac{2}{3}=6$. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts ($3$) und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben ($6$), oder nach unten falls $a$ negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für $a$. Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)

Beispiele sind:

$f(x)=(x-3)^2+2$ hat ihren Scheitelpunkt bei $(3| 2)$

$g(x)=(x+0)^2-4$ hat ihren Scheitelpunkt bei $(0| -4)$

4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen

Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus (Du musst in der App runterscrollen).

Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise. Du kannst dir auch nochmal das GeoGebra-Applet (oben) anschauen und die Schieberegler bewegen um zu sehen wie sich der Graph und die Funktionsgleichung verändert.

Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung $g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$. Für den Scheitelpunkt gilt: $S=(d|e)$. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter $a$ bestimmen. Achte beim Einsetzen von $d$ in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.

Um den Parameter $a$ zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Möglichkeit 1: Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt $(x|y)$ aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach $a$ auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.

Möglichkeit 2: Alternativ kannst du den Parameter $a$ auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht $a$ der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.

Falls $a<1$ ist kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel $\frac{2}{3}$ nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also $3$ einzusetzen. Somit erhält man $3^2=9$. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren $9\cdot\frac{2}{3}=6$. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts ($3$) und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben ($6$), oder nach unten falls $a$ negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für $a$. Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)

5. Funktionsgleichung gesucht!

Im folgenden sind je der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf (im Heft).

a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten $S(2|1)$ und $P(3|5)$?

b) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten $S(-\frac{1}{3}|-2)$ und $P(-3|0)$?

c) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten $S(3|2)$ und $P(0|-\frac{5}{6})$?

Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung $g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$. Überlege dir, was die einzelnen Parameter beschreiben (schaue evtl. Aufgabe 1 nochmal an).

Für den Scheitelpunkt gilt: $S=(d|e)$. Wenn du also den Scheitelpunkt in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter $a$ bestimmen. Achte beim Einsetzen von $d$ in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.

Um den Parameter $a$ zu bestimmen musst du den Punkt $P$ in die Funktionsgleichung einsetzen und nach $a$ auflösen.

$g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$

Setze $S(2|1)$ für $d$ und $e$ ein: $g(x)=a\cdot(x-2)^2+1$

Setze $P(3|5)$ ein:

$\begin{array}{rlll} && 5 &&=&& a\cdot(3-2)^2+1\\ &\Leftrightarrow& 5 &&=&& a\cdot 1^2+1\\ &\Leftrightarrow& 5 &&=&& a\cdot 1+1\\ &\Leftrightarrow& 4 &&=&& a\\ \end{array}$

Somit ergibt sich: $g(x)=4\cdot(x-2)^2+1$

$g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$

Setze $S(-\frac{1}{3}|-2)$ für $d$ und $e$ ein: $g(x)=a\cdot(x+\frac{1}{3})^2-2$

Setze $P(-3|0)$ ein:

$\begin{array}{rlll} && 0 &&=&& a\cdot(-3+\frac{1}{3})^2-2\\ &\Leftrightarrow & 0 &&=&& a\cdot (-\frac{8}{3})^2-2\\ &\Leftrightarrow & 0 &&=&& a\cdot \frac{64}{9}-2\\ &\Leftrightarrow & 2 &&=&& \frac{64}{9}\cdot a\\ &\Leftrightarrow & \frac{9}{32} &&=&& a \end{array}$

Somit ergibt sich: $g(x)=\frac{9}{32}\cdot(x+\frac{1}{3})^2-2$

$g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$

Setze $S(3|2)$ für $d$ und $e$ ein: $g(x)=a\cdot(x-3)^2+2$

Setze $P(0|-\frac{5}{6})$ ein:

$\begin{array}{rlll} && -\frac{5}{6} &&=&& a\cdot(0-3)^2+2\\ &\Leftrightarrow & -\frac{5}{6} &&=&& a\cdot (-3)^2+2\\ &\Leftrightarrow & -\frac{5}{6} &&=&& a\cdot 9+2\\ &\Leftrightarrow & -\frac{17}{6} &&=&& 9\cdot a\\ &\Leftrightarrow & -\frac{17}{54} &&=&& a\\ \end{array}$

Somit ergibt sich: $g(x)=-\frac{17}{54}\cdot(x-3)^2+2$

6. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins

Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion $g(x)=-\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2}$ beschreiben, wobei $x$ die Entfernung des Steins vom Ufer und $g(x)$ die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt.

a) Nach wie vielen Metern erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?

Da die Funktion eine negative Steigung besitzt, erreicht der Stein seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.

Der Scheitelpunkt der Funktion ist $S=(3|\frac{5}{2})$. Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also nach $3$ Metern.

b) Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft.

Zu Erinnerung: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat die Form $g(x)=a\cdot(x-d)^2+e$. Um die Flugbahn zeichnen zu können, musst du die Parameter $a,d$ und $e$ der gegebenen Funktionsgleichung identifizieren.

Zeichne zunächst den Scheitelpunkt $S=(d|e)$ ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen hilft dir der Parameter $a$. Da $a=-\frac{1}{10}<1$ ist, ist dies etwas schwieriger. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten.

Der Scheitelpunkt liegt bei $S=(3|\frac{5}{2})$. Für $a=-\frac{1}{10}$ ist es sinnvoll den Nenner, also $10$ in $x^2$ einzusetzen. Somit erhält man $10^2=100$. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren $100\cdot(-\frac{1}{10})=-10$. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts ($10$) und um die am Ende erhaltene Zahl nach unten ($10$), da die Zahl negativ war. Da somit die Zeichnung recht groß wird, kann man sich auch überlegen eine niedrigere Zahl in $x^2$ einzusetzen. Dies sollte am besten ein Teiler vom Nenner sein, z.B. $5$. Das Vorgehen ist identisch: $5^2=25 \Rightarrow 25\cdot (-\frac{1}{10})=-2,5$.

Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf die Wasseroberfläche endet. Auf der $x$-Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der $y$-Achse die Höhe des Steins in Meter.

c)* In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?

Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 9. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. In jedem Fall solltest du für die Rechenschritte dein Heft benutzen.

Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion $g(x)$ bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.

$\begin{array}{rlll} && g(x) &&=&& 0 \\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2} &\mid \cdot(-10)\\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-3)^2-25 &\mid +25 \\ &\Leftrightarrow& 25 &&=&& (x-3)^2 &\mid \sqrt{} \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow&(x_1-3) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-3)=5\\ \end{array}$

Also folgt $x_1=-2$ und $x_2=8$. Damit haben wir zwei Nullstellen.

Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite $8 m$.

Zusammenfassung zur Scheitelpunktform

1. Die allgemeine Scheitelpunktform lautet $f(x)=a\cdot (x-d)^2+e$.
2. Der Parameter $d$ ist der $x$-Wert des Scheitelpunktes, wobei man hier immer das Vorzeichen in der Klammer umkehren muss.
3. Der Parameter $e$ ist der $y$-Wert des Scheitelpunktes.
4. $S(d|e)$ ist der Scheitelpunkt der Funktion.
5. Der Parameter $a$ wird als Streckungsfaktor bezeichnet.
   • Ist $a>1$ wird die Funktion gestreckt, ist $a<1$ wird die Funktion gestaucht.
   • Ist $a$ positiv so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist $a$ negativ so ist sie nach unten geöffnet.
   • Wenn man den Streckungsfaktor $a$ zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um $a$ Einheiten nach oben (falls $a$ negativ ist nach unten). Falls $a<1$ ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls $a$ negativ ist.
6. Hat man nur den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form $f(x)=a\cdot (x-d)^2+e$. Hier kann man den Scheitelpunkt einfach einsetzen für $d$ und $e$. Als nächstes setzt man den anderen Punkt für $x$ und $y$ ein und formt nach $a$ um.

Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform

Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Diese lautet $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

• Um die Scheitelpunktform in die Normalform zu überführen benötigst du die ersten beiden Binomischen Formeln.
• Um die Normalform in die Scheitelpunktform zu überführen benötigst du die Methode der quadratischen Ergänzung.
  
  

Die ersten beiden Binomischen Formeln

1. Binomische Formel: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
2. Binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Somit gilt:

$\begin{array}{rlll} f(x) &&=&& a\cdot (x-d)^2+e\\ &&=&& a\cdot (x^2-2\cdot d\cdot x + d^2)+e\\ &&=&& a\cdot x^2-a\cdot 2\cdot d\cdot x + a\cdot d^2+e\\ &&=&& a\cdot x^2+b\cdot x+c \end{array}$

(mit $b=-a\cdot 2\cdot d$ und $c=a\cdot d^2+e$).

Als Beispiel:

$\begin{array}{rlll} f(x) &&=&& 2\cdot (x-4)^2+1\\ &&=&& 2\cdot (x^2-2\cdot 4\cdot x + 4^2)+1\\ &&=&& 2\cdot x^2-2\cdot 8\cdot x + 2\cdot 16+1\\ &&=&& 2\cdot x^2-16\cdot x+17 \end{array}$

quadratische Ergänzung

$\begin{array}{rlll} f(x) &&=&& a\cdot x^2+b\cdot x+c &\mid \text{Klammere a aus}\\ &&=&& a\cdot (x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}) &\mid \text{Rechne} \frac{b}{a} \div 2 = d\\ &&=&& a\cdot (x^2+2\cdot d \cdot x+\frac{c}{a}) &\mid \text{addiere und subtrahiere d²}\\ &&=&& a\cdot ((x^2+2\cdot d \cdot x+d^2)-d^2+\frac{c}{a}) &\mid \text{fasse die innere Klammer zur binomischen Formel zusammen}\\ &&=&& a\cdot ((x+d)^2-d^2+\frac{c}{a}) &\mid \text{multipliziere a mit der Klammer}\\ &&=&& a\cdot (x+d)^2+a\cdot (-d^2+\frac{c}{a}) &\mid a\cdot (-d^2+\frac{c}{a})=e\\ &&=&& a\cdot (x+d)^2+e \end{array}$

Als Beispiel

$\begin{array}{rlll} f(x) &&=&& 2\cdot x^2+8\cdot x+9 &\mid \text{Klammere 2 aus}\\ &&=&& 2\cdot (x^2+\frac{8}{2}\cdot x+\frac{9}{2}) &\mid \text{Rechne} \frac{8}{2} \div 2 = 2=d\\ &&=&& 2\cdot (x^2+2\cdot 2 \cdot x+3) &\mid \text{addiere und subtrahiere d²=2²=4}\\ &&=&& 2\cdot ((x^2+2\cdot 2 \cdot x+4)-4+3) &\mid \text{fasse die innere Klammer zur binomischen Formel zusammen}\\ &&=&& 2\cdot ((x+2)^2-1) &\mid \text{multipliziere 2 mit der Klammer}\\ &&=&& 2\cdot (x+2)^2+2\cdot (-1)\\ &&=&& 2\cdot (x+2)^2-1 \end{array}$

7. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalform

Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.

8. Finde die Paare*

Wandle die Funktionen $g, f, o, m, p$und $n$ in deinem Heft in die Normalform um und die Funktionen $j, l, k, i$und $h$ in die Scheitelpunktform. Verbinde anschließend die Paare. Hinweis: Drei Funktionen haben keinen Partner.

9. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**

Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.

Die zum Lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.

Die binomischen Formeln lauten:

$(a+b)^2=a^2+2 \cdot ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2 \cdot ab+b^2$

$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$

Die Normalform

10. Die Normalform

Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.

Wir schauen uns die Funktion $g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ an. Diese Funktionsgleichung liegt in der Normalform vor. In dieser Form kann der $y$-Achsenabschnitt direkt abgelesen werden, es ist nämlich der Parameter $c$. Ist der Parameter $a$ kleiner als Null ($a<0$), dann ist der Graph der Funktion $g$ nach unten geöffnet.
Der Parameter $a$ wird als Streckungsfaktor bezeichnet, wie auch in der Scheitelpunktform. Ist $a$ größer als Null ($a>0$), dann ist der Graph von $g$ nach oben geöffnet.
Ist $a$ größer als Eins ($a>1$) oder kleiner als minus Eins ($a<-1$), dann sieht der Graph von $g$ schmaler aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestreckt wird.
Liegt $a$ zwischen minus Eins und Eins ($-1<a<1$), dann sieht der Graph von $g$ breiter aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph gestaucht wird.

Entdecke

Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Normalform $a, b, c$ auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von $f$ verändert.

11. Funktionsgleichung gesucht!

Im folgenden sind je drei Punkte einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Normalform auf (im Heft).

a) Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten $P(3|2), Q(-1|0)$ und $R(0|7)$?

Die Normalform hat die Funktionsgleichung $g(x)=a\cdot x^2+ b\cdot x+c$. Überlege dir wie du die Punkte in diese Funktion einfügen kannst.

Setze die Punkte jeweils einzeln in die Funktionsgleichung ein (den ersten Wert für das $x$ und den zweiten Wert für das $y$). Du hast nun zwei verschiedene Gleichungen und bereits einen Wert für $c$ den du in die anderen Gleichungen einsetzten kannst.

Du hast verschiedene Verfahren gelernt um auf die anderen beiden Variablen zu kommen, das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren, wende eines der beiden an (natürlich ginge hier auch das Additionsverfahren, dieses ist allerdings etwas komplizierter).

Für das Einsetzungsverfahren musst du eine der Gleichungen nach einer Variable umstellen und dies dann für die Variable in die andere Gleichung einsetzen.

$g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Setze die Punkte $P, Q$ und $R$ in die allgemeine Gleichung ein:

$\begin{array}{rlll} P(3|2): 2 &&=&& a\cdot 3^2+b\cdot 3+c\\ &&=&& a\cdot 9+b\cdot 3+c\\ \\ Q(-1|0): 0 &&=&& a\cdot(-1)^2+b\cdot (-1) +c\\ &&=&& a-b+c\\ \\ R(0|7): 7 &&=&& a\cdot0^2+b\cdot 0 +c\\ &&=&& c\\ \Rightarrow 7 &&=&&c \end{array}$

Setze den erhaltenen Wert für $c$ in die ersten beiden Gleichungen ein:

$\begin{array}{rlll} 1.: &&2 &&=&& a\cdot 9+b\cdot 3+7 &\mid -7\\ &\Leftrightarrow& -5 &&=&& a\cdot 9+b\cdot 3\\ \\ 2.: &&0 &&=&& a-b+7 &\mid -7\\ &\Leftrightarrow& -7 &&=&& a-b \end{array}$

Einsetzungsverfahren:

Stelle eine der beiden Gleichungen, z.B. die zweite, nach einer Variable um, z.B. nach $a$:

$\begin{array}{rlll} 2.: &&-7 &&=&& a-b &\mid +b\\ &\Leftrightarrow& -7+b &&=&& a \end{array}$

Setze nun $-7+b$ in der anderen Gleichung für $a$ ein und stelle nach $b$ um:

$\begin{array}{rlll} 1.: &&-5 &&=&& a\cdot 9+b\cdot 3 &\mid a=-7+b\\ &\Leftrightarrow& -5 &&=&& (-7+b)\cdot 9+b\cdot 3\\ &\Leftrightarrow& -5 &&=&& -63+b\cdot 9+b\cdot 3\\ &\Leftrightarrow& -5 &&=&& -63+12\cdot b &\mid +63\\ &\Leftrightarrow& 58 &&=&& 12\cdot b &\mid \div 12\\ &\Leftrightarrow& \frac{29}{6} &&=&& b\\ \end{array}$

Setze nun den Wert für $b$ in eine der Gleichungen ein, z.B. in $-7=a-b$, und stelle nach $a$ um:

$\begin{array}{rlll} &&-7 &&=&& a-b &\mid b=\frac{29}{6}\\ &\Leftrightarrow& -7 &&=&& a-\frac{29}{6} &\mid +\frac{29}{6}\\ &\Leftrightarrow& -\frac{13}{6} &&=&& a\\ \end{array}$

Somit ergibt sich: $g(x)=-\frac{13}{6}\cdot x^2+\frac{29}{6}\cdot x+7$.

(du könntest natürlich auch das Gleichsetzungsverfahren nutzen, oder das LGS mit dem Additionsverfahren lösen)

b)* Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten $P(4|3), Q(6|14)$ und $R(9|-4)$?

Die Normalform hat die Funktionsgleichung $g(x)=a\cdot x^2+ b\cdot x+c$. Überlege dir wie du die Punkte in diese Funktion einfügen kannst.

Setze die Punkte jeweils einzeln in die Funktionsgleichung ein (den ersten Wert für das $x$ und den zweiten Wert für das $y$). Du hast nun drei verschiedene Gleichungen. Überlege dir wie du dieses lineare Gleichungssystem (LGS) lösen kannst (evtl. hast du hier bereits einen Wert für $c$ den du in die anderen Gleichungen einsetzten kannst).

Löse das LGS am besten mit dem Additionsverfahren. Du musst nun die Gleichungen so von einander subtrahieren oder addieren, sodass eine der Variablen dabei wegfallen. Dafür musst du zuerst dafür sorgen, sodass die Vorfaktoren dieser Variablen in beiden Gleichungen identisch sind. Hast du nun nur noch eine Variable in der entstandenen Gleichung kannst du nach dieser Variablen auflösen. Hast du noch zwei Variablen musst du erneut eine der Gleichungen mit einer anderen verrechnen um eine weitere Gleichung mit den beiden Variablen zu erhalten. Diese beiden musst du abermals so verrechnen, dass eine der beiden Variablen wegfällt.

Die ausgerechnete Variable kannst du nun in eine der Gleichungen einsetzen wo noch eine weitere Variable vorkommt. Jetzt kannst du erneut umstellen und die zweite Variable berechnen. Wiederhole das Verfahren, falls du $c$ noch berechnen musst.

$g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Setze die Punkte $P, Q$ und $R$ in die allgemeine Gleichung ein:

$\begin{array}{rlll} P(4|3): 3 &&=&& a\cdot 4^2+b\cdot 4+c\\ &&=&& a\cdot 16+b\cdot 4+c\\ \\ Q(6|14): 14 &&=&& a\cdot 6^2+b\cdot 6 +c\\ &&=&& a\cdot 36+b\cdot 6+c\\ \\ R(9|-4): -4 &&=&& a\cdot 9^2+b\cdot 9 +c\\ &&=&& a\cdot 81+b\cdot 9+c\\ \end{array}$

Subtrahiere nun die Gleichungen $3=a\cdot 16+b\cdot 4+c$ und $14=a\cdot 36+b\cdot 6+c$:

$\begin{array}{rlll} &&1.: 3 &&=&& a\cdot 16+b\cdot 4+c\\ &&2.: 14 &&=&& a\cdot 36+b\cdot 6+c\\ \\ &&1. - 2.:\\ &&3-14 &&=&& (16-36)\cdot a+ (4-6)\cdot b\\ &\Leftrightarrow& -11 &&=&& -20\cdot a-2\cdot b \end{array}$

Subtrahiere nun die Gleichungen $14=a\cdot 36+b\cdot 6+c$ und $-4=a\cdot 81+b\cdot 9+c$ :

$\begin{array}{rlll} &&2.: 14 &&=&& a\cdot 36+b\cdot 6+c\\ &&3.: -4 &&=&& a\cdot 81+b\cdot 9+c\\ \\ &&2. - 3.:\\ &&14-(-4) &&=&& (36-81)\cdot a+ (6-9)\cdot b\\ &\Leftrightarrow& 18 &&=&& -45\cdot a-3\cdot b \end{array}$

Bringe den Vorfaktor von $b$ der beiden erhaltenen Gleichungen auf den selben Wert, z.B. auf $6$, indem du die erste Gleichung mit $3$ und die zweite mit $2$ multiplizierst:

$\begin{array}{rlll} &&-11\cdot 3 &&=&& -20\cdot 3\cdot a-2\cdot 3 \cdot b\\ &\Leftrightarrow& -33 &&=&& -60\cdot a-6\cdot b\\ \\ &&18\cdot 2 &&=&& -45\cdot 2\cdot a-3\cdot 2 \cdot b\\ &\Leftrightarrow& 36 &&=&& -90\cdot a-6\cdot b \end{array}$

Subtrahiere nun die Gleichungen $-33=-60\cdot a-6\cdot b$ und $36=-90\cdot a-6\cdot b$ und stelle nach $a$ um:

$\begin{array}{rlll} &&1.: -33 &&=&& -60\cdot a-6\cdot b\\ &&2.: 36 &&=&& -90\cdot a-6\cdot b\\ \\ &&1.- 2.:\\ &&-33-36 &&=&& (-60-(-90))\cdot a\\ &\Leftrightarrow& -69 &&=&& 30\cdot a &\mid \div 30\\ &\Leftrightarrow& -2.3 &&=&& a \end{array}$

Setze nun $a$ in eine der Gleichungen ohne $c$ ein, z.B. in $-11=-20\cdot a-2\cdot b$:

$\begin{array}{rlll} &&-11 &&=&& -20\cdot (-2.3)-2\cdot b\\ &\Leftrightarrow& -11 &&=&& 46-2\cdot b &\mid -46\\ &\Leftrightarrow& -57 &&=&& -2\cdot b &\mid \div (-2)\\ &\Leftrightarrow& 28.5 &&=&& b \end{array}$

Setze nun $a$ und $b$ in eine der Gleichungen mit $c$ ein, z.B. in $3=a\cdot 16+b\cdot 4+c$:

$\begin{array}{rlll} &&3 &&=&& -2.3\cdot 16+28.5\cdot 4+c\\ &\Leftrightarrow& 3 &&=&& 77.2+c &\mid -77.2\\ &\Leftrightarrow& -74.2 &&=&& c \end{array}$

Somit ergibt sich: $g(x)=-2.3\cdot x^2+28.5\cdot x-74.2$.

Zusammenfassung zur Normalform

1. Die allgemeine Normalform lautet $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$.
2. Der Parameter $c$ ist der $y$-Achsenabschnitt.
3. Der Parameter $a$ wird als Streckungsfaktor bezeichnet.
   • Ist $a>1$ wird die Funktion gestreckt, ist $a<1$ wird die Funktion gestaucht.
   • Ist $a$ positiv so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist $a$ negativ so ist sie nach unten geöffnet.
   • Wenn man den Streckungsfaktor $a$ zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um $a$ Einheiten nach oben (falls $a$ negativ ist nach unten). Falls $a<1$ ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel $x^2$ betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls $a$ negativ ist.
4. Hat man drei Punkte gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$. Hier setzt man alle drei Punkte jeweils für $x$ und $y$ ein und erhält so drei Gleichungen. Nun löst man das lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren.
5. Man gelangt von der Normalform ($f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$) zur Scheitelpunktform ($f(x)=a\cdot (x-d)^2+e$) mittels Quadratischer Ergänzung.
6. Man gelangt von der Scheitelpunktform ($f(x)=a\cdot (x-d)^2+e$) zur Normalform ($f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$) durch Ausmultiplizieren der Klammer.

Nullstellen

Eine Parabel kann entweder $2, 1$ oder keine Nullstellen besitzen.

1. Sie hat $2$ Nullstellen, falls:
   • sie nach oben geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen negativen $y$-Wert (kleiner als $0$) hat.
   • sie nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen positiven $y$-Wert (größer als $0$) hat.
2. Sie hat $1$ Nullstelle, falls ihr Scheitelpunkt den $y$-Wert $0$ hat (also die $x$-Achse berührt).
3. Sie hat keine Nullstellen, falls:
   • sie nach oben geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen positiven $y$-Wert (größer als $0$) hat.
   • sie nach unten geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt einen negativen $y$-Wert (kleiner als $0$) hat.

Entdecke!

Verändere die Parabel mit Hilfe der Schieberegler und beobachte die Nullstellen $N_1$ und $N_2$. Wann sind sie unterschiedlich, wann gleich und wann nicht vorhanden?

Im folgenden Abschnitt werden die verschiedenen Methoden zur Nullstellenberechnung wiederholt.

Methode 1: Wurzelziehen

Gegeben sei eine Gleichung der Form $0=a\cdot x^2-c$, z.B. $0=3\cdot x^2-27$.

Bei dieser Form ist die Bedingungen fürs Wurzelziehen erfüllt: Es gibt keinen Term der Form $b\cdot x$.

Nun muss noch umgeformt werden:

$\begin{array}{rlll} &&0 &&=&& a\cdot x^2-c &\mid \text{bringe c auf die andere Seite, also +c}\\ &\Leftrightarrow& c &&=&& a\cdot x^2 &\mid \text{teile durch a, damit der Vorfaktor von dem x² zu 1 wird}\\ &\Leftrightarrow& \frac{c}{a} &&=&& x^2 &\mid \text{ziehe nun die Wurzel, beachte dass die Zahl dafür positiv sein muss, und dass du zwei Ergebnisse hast}\\ &\Leftrightarrow& \pm \sqrt{\frac{c}{a}} &&=&& \sqrt{x^2}\\ \\ &\Rightarrow& x_1 &&=&& \sqrt{\frac{c}{a}}\\ &&x_2 &&=&& -\sqrt{\frac{c}{a}} \end{array}$

Als Beispiel:

$\begin{array}{rlll} &&0 &&=&& 3\cdot x^2-27 &\mid +27\\ &\Leftrightarrow& 27 &&=&& 3\cdot x^2 &\mid \div 3\\ &\Leftrightarrow& \frac{27}{3} &&=&& x^2 &\mid \sqrt{}\\ &\Leftrightarrow& \pm \sqrt{9} &&=&& \sqrt{x^2}\\ \\ &\Rightarrow& x_1 &&=&& 3\\ &&x_2 &&=&& -3 \end{array}$

Methode 2: Ausklammern

Gegeben sei eine Gleichung der Form $0=a\cdot x^2+b\cdot x$, z.B. $0=4\cdot x^2+8\cdot x$.

Bei dieser Form ist die Bedingungen fürs Ausklammern erfüllt: Es gibt keinen Term der Form $c$, also keine Zahl ohne ein $x$.

Nun muss noch umgeformt werden:

$\begin{array}{rlll} &&0 &&=&& a\cdot x^2+b\cdot x &\mid \text{teile durch a, damit der Vorfaktor von dem x² zu 1 wird}\\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& x^2+\frac{b}{a} \cdot x &\mid \text{klammere x aus}\\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& x\cdot (x+\frac{b}{a}) &\mid \text{dieses Produkt ist genau dann 0 wenn einer der beiden Faktoren 0 ist}\\ \\ &\Rightarrow& x &&=&& 0\\ \text{oder} &&x+\frac{b}{a}&&=&& 0 &\mid -\frac{b}{a}\\ &\Leftrightarrow& x &&=&& -\frac{b}{a}\\ \\ &\Rightarrow& x_1 &&=&& 0\\ &&x_2 &&=&& -\frac{b}{a} \end{array}$

Als Beispiel:

$\begin{array}{rlll} &&0 &&=&& 4\cdot x^2+8\cdot x &\mid \div 4\\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& x^2+\frac{8}{4} \cdot x &\mid \text{klammere x aus}\\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& x\cdot (x+2) &\mid \text{dieses Produkt ist genau dann 0 wenn einer der beiden Faktoren 0 ist}\\ \\ &\Rightarrow& x &&=&& 0\\ \text{oder} &&x+2&&=&& 0 &\mid -2\\ &\Leftrightarrow& x &&=&& -2\\ \\ &\Rightarrow& x_1 &&=&& 0\\ &&x_2 &&=&& -2 \end{array}$

Methode 3: p-q Formel

Gegeben sei eine Gleichung der Form $0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$, z.B. $0=2\cdot x^2+8\cdot x+14$.

Bei dieser Form muss man entweder die p-q Formel (oder quadratische Ergänzung) anwenden.

Es muss umgeformt werden:

$\begin{array}{rlll} &&0 &&=&& a\cdot x^2+b\cdot x +c&\mid \text{teile durch a, damit der Vorfaktor von dem x² zu 1 wird}\\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& x^2+\frac{b}{a} \cdot x+\frac{c}{a} &\mid \text{setze in die pq-Formel ein}\\ &&x_{1/2} &&=&& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} &\mid p=+\frac{b}{a}, q=+\frac{c}{a}\\ &\Rightarrow& x_{1/2} &&=&& -\frac{b}{a\cdot 2}\pm \sqrt{(\frac{b}{a\cdot 2})^2-\frac{c}{a}}\\ \\ &\Rightarrow& x_1 &&=&& -\frac{b}{a\cdot 2}+ \sqrt{(\frac{b}{a\cdot 2})^2-\frac{c}{a}}\\ &&x_2 &&=&& \frac{b}{a\cdot 2}- \sqrt{(\frac{b}{a\cdot 2})^2-\frac{c}{a}} \end{array}$

Als Beispiel:

$\begin{array}{rlll} &&0 &&=&& 2\cdot x^2+16\cdot x +14&\mid \div 2\\ &\Leftrightarrow& 0 &&=&& x^2+\frac{16}{2} \cdot x+\frac{14}{2} &\mid \text{setze in die pq-Formel ein}\\ &&x_{1/2} &&=&& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} &\mid p=+\frac{16}{2}=8, q=+\frac{14}{2}=7\\ &\Rightarrow& x_{1/2} &&=&& -\frac{8}{2}\pm \sqrt{(\frac{8}{2})^2-7}\\ && &&=&& -4\pm \sqrt{4^2-7}\\ && &&=&& -4\pm \sqrt{16-7}\\ && &&=&& -4\pm \sqrt{9}\\ && &&=&& -4\pm 3\\ \\ &\Rightarrow& x_1 &&=&& -1\\ &&x_2 &&=&& -7 \end{array}$

12. Erkennen der schnellsten Methode zum Nullstellen berechnen.

Ordne die Gleichungen der Methode zu, mit der man die Nullstellen am schnellsten berechnen kann.

Wurzelziehen kann man anwenden wenn nur die Terme der Form $a\cdot x^2$ und $c$ vorkommen also kein Term mit einem $x$ vorhanden ist. Hierzu zählen natürlich auch die Gleichungen wo zweimal ein Term mit $x^2$ vorkommt. Passe auch auf wenn auf beiden Seiten der gleiche Term mit einem $x$ vorkommt, kürzt sich dieser weg.

Ausklammern kann man anwenden wenn nur die Terme der Form $a\cdot x^2$ und $b\cdot x$ vorkommen, also keine Zahl ohne ein $x$ vorhanden ist. Hierzu zählen natürlich auch die Gleichungen wo zweimal ein Term mit $x$ vorkommt. Passe auch auf wenn auf beiden Seiten die gleiche Zahl ohne ein $x$ vorkommt, kürzt sich diese weg.

Die pq-Formel muss man anwenden wenn alle Termformen vorkommen, also $a\cdot x^2, b\cdot x$ und $c$. Pass hier allerdings auf wenn auf beiden Seiten der gleiche Term mit einem $x$, oder die gleiche Zahl ohne ein $x$ vorkommt, kürzen sich dieser weg.

13. Nullstellen berechnen.

Löse die folgenden Gleichungen mit der jeweils schnellsten Methode.

a) $-6=\frac{3}{4}\cdot x^2-9$

b) $4\cdot x^2=8\cdot x$

c) $\frac{1}{3}\cdot x^2-2\cdot x=8$

Mache dir klar welche Methode du jeweils anwenden kannst. Falls du dir unsicher bist scrolle hoch zu den Erklärungen der Methoden.

Überlege dir wie du die Gleichungen umstellen musst um die passende Form zu erhalten. Beachte ob ein Vorfaktor vor dem $x^2$ steht und bringe ihn auf $1$.

Da hier kein Term der Form $b\cdot x$ vorkommt, kann die Methode Wurzelziehen angewandt werden:

$\begin{array}{rlll} &&-6 &&=&& \frac{3}{4}\cdot x^2-9 &\mid +9\\ &\Leftrightarrow& 3 &&=&& \frac{3}{4}\cdot x^2 &\mid \cdot \frac{4}{3}\\ &\Leftrightarrow& \frac{3\cdot 4}{3} &&=&& x^2 &\mid \sqrt{}\\ &\Leftrightarrow& \pm \sqrt{4} &&=&& \sqrt{x^2}\\ \\ &\Rightarrow& x_1 &&=&& 2\\ &&x_2 &&=&& -2 \end{array}$

Da hier kein Term der Form $c$ vorkommt, also keine Zahl ohne ein $x$, kann die Methode Ausklammern angewandt werden:

$\begin{array}{rlll} &&4\cdot x^2 &&=&&8\cdot x &\mid \div 4\\ &\Leftrightarrow& x^2 &&=&& \frac{8}{4}\cdot x &\mid -\frac{8}{4}\cdot x\\ &\Leftrightarrow& x^2-2\cdot x &&=&& 0 &\mid \text{klammere x aus}\\ &\Leftrightarrow& x\cdot (x-2) &&=&&0 &\mid \text{dieses Produkt ist genau dann 0 wenn einer der beiden Faktoren 0 ist}\\ \\ &\Rightarrow& x &&=&& 0\\ \text{oder} &&x-2&&=&& 0 &\mid +2\\ &\Leftrightarrow& x &&=&& 2\\ \\ &\Rightarrow& x_1 &&=&& 0\\ &&x_2 &&=&& 2 \end{array}$

Da hier alle Termformen ($x^2, b\cdot x, c$) vorhanden sind muss die $pq$-Formel angewandt werden:

$\begin{array}{rlll} &&\frac{1}{3}\cdot x^2-2\cdot x &&=&& 8 &\mid -8\\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{3}\cdot x^2-2\cdot x-8 &&=&& 0 &\mid \cdot 3\\ &\Leftrightarrow& x^2-3\cdot 2\cdot x-3\cdot 8 &&=&& 0 &\mid \text{setzte in die pq-Formel ein}\\ &&x_{1/2} &&=&& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} &\mid p=-3\cdot 2=-6, q=-3\cdot 8=-24\\ &\Rightarrow& x_{1/2} &&=&& -\frac{-6}{2}\pm \sqrt{(\frac{6}{2})^2-(-24)}\\ && &&=&& 3\pm \sqrt{3^2+24}\\ && &&=&& 3\pm \sqrt{9+24}\\ && &&=&& 3\pm \sqrt{33}\\ \\ &\Rightarrow& x_1 &&=&& 3+ \sqrt{33}\\ &&x_2 &&=&& 3- \sqrt{33} \end{array}$

14. Ordne zu.

Ordne den Funktionsgleichungen die zugehörigen Nullstellen zu. Berechne diese dafür in deinem Heft.

15. Baseball

Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu $160km/h$. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion  $h(x)=-0.0075\cdot x^2+1.2\cdot x+1$ beschrieben werden, wobei  die horizontale Entfernung zum Schlagmann und die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.

a) Wie weit fliegt der Ball? Überlege dir dafür wo der Ball geschlagen wird und wo er aufkommt.

Da wo der Ball geschlagen wird, ist er ja noch keinen Meter geflogen, dementsprechend ist der $x$-Wert hier noch $0$.

Da wo der Ball auf dem Boden aufkommt hat er keine Höhe mehr, weswegen der $y$-Wert $0$. Gesucht ist demnach eine Nullstelle.

Setze die Funktion $h(x)=0$ und berechne die Nullstellen. Du erhältst zwei. Überlege die nun welcher Wert mehr Sinn macht. Da der Abschlagpunkt bei $x=0$ ist, ist die Nullstelle die Entfernung die der Ball fliegt. 

Setze die Funktion $h(x)=0$: $-0.0075\cdot x^2+1.2\cdot x+1=0$.

Um diese Gleichung zu lösen muss die $p-q$ Formel verwendet werden.

$\begin{array}{rlll} &&0.0075\cdot x^2+1.2\cdot x+1 &&=&& 0 &\mid \div (-0.0075)\\ &\Leftrightarrow& x^2+\frac{1.2}{-0.0075}\cdot x +\frac{1}{-0.0075} &&=&& 0 &\mid \text{setzte in die pq-Formel ein}\\ &&x_{1/2} &&=&& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} &\mid p=+\frac{1.2}{-0.0075}=-160, q=+\frac{1}{-0.0075}=-\frac{400}{3}\\ &\Rightarrow& x_{1/2} &&=&& -\frac{-160}{2}\pm \sqrt{(\frac{160}{2})^2-(-\frac{400}{3})}\\ && &&=&& 80\pm \sqrt{80^2+\frac{400}{3}}\\ && &&=&& 80\pm \sqrt{6400+\frac{400}{3}}\\ && &&=&& 80\pm \sqrt{\frac{19600}{3}}\\ \\ &\Rightarrow& x_1 &&=&& 80+ \sqrt{\frac{19600}{3}}\approx 160.83\\ &&x_2 &&=&& 80- \sqrt{\frac{19600}{3}}\approx -0.83 \end{array}$

Da der Ball bei $x=0$ geschlagen wird und $x$ die horizontale Flugweite angibt macht ein negativer Wert keinen sinn, weswegen der Ball demnach ca. $160.83$ Meter weit fliegt.

b) In einer Entfernung von $153$ Metern steht ein $1,83$ Meter großer Spieler. Dieser kann einen Ball aus ca. $3$ Metern Höhe fangen. Würde es ihm gelingen den Ball mit der obigen Flugkurve zu fangen?

Du musst berechnen wie hoch der Ball nach $153$ Metern ist. Überlege dir dafür wo du die $153$ in die Gleichung einsetzen musst.

Setzte die $153$ für $x$ ein, da der $x$-Wert ja die horizontale Entfernung zum Abschlagpunkt angibt.

Gesucht ist die Höhe des Balls nach $153$ Metern. Daher setzten wir die $153$ für $x$ ein, da der $x$-Wert ja die horizontale Entfernung zum Abschlagpunkt angibt:

$\begin{array}{rlll} h(153) &&=&& -0.0075\cdot 153^2+1.2\cdot 153+1\\ &&=&& 9.03 \end{array}$

Der Ball ist also nach $153$ Metern noch über $9$ Meter hoch, weswegen der Spieler, der einen $3$ Meter hohen Ball fangen kann, an diesen nicht drankommt.

Anwendungsaufgaben

Bei den Anwendungsaufgaben zu quadratischen Funktionen handelt es sich in der Regel um eine Optimierungsaufgabe oder um das Lösen eines Sachzusammenhanges.

Optimierungsaufgaben

Bei Optimierungsaufgaben wird in der Regel danach gefragt unter welchen Bedingungen ein Wert maximal oder minimal wird. Da eine quadratische Funktion als Funktionsgraphen eine Parabel darstellt, ist der höchste (bei negativer Steigung $a<0$) bzw. tiefste (bei positiver Steigung $a>0$) Punkt der Scheitelpunkt. Hier ist der $y$-Wert der Funktion also maximal oder minimal. Dementsprechend muss die $y$-Achse den Wert beschreiben der maximal oder minimal werden soll.

Ist zum Beispiel bei einer vorgegebenen Länge ($20m$) Zaun der maximale Flächeninhalt gesucht, so muss auf der $y$-Achse der Flächeninhalt eingetragen werden.

Die $x$-Achse muss dabei eine der Bedingungen beschreiben, die man verändern darf.

Zum Beispiel die Länge von einer Seite, diese setzt man dann als Variable $x$.

Vorgehen:

1. Schreibe dir auf was gesucht ist.
   • z.B. maximaler Flächeninhalt.
2. Schreibe dir auf was gegeben ist.
   • z.B. $20m$ Zaun zum einzäunen eines Rechtecks.
3. Notiere dir Formeln die du zu den gegebenen Größen weißt.
   • Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen brauche ich die Formel: $A=a\cdot b$.
   • Da ich $20m$ Zaun zur Verfügung habe, hat der Umfang meines Rechtecks den Wert $20$, also: $U=2\cdot a + 2\cdot b=20$.
4. Mache dir klar welcher Wert der ist, welcher in der quadratischen Funktion auf der $y$-Achse eingetragen sein muss.
   • Da der Flächeninhalt $A$ maximiert werden soll gehört dieser auf die $y$-Achse. Da der $y$-Wert vom $x$-Wert abhängt schreiben wir $A(x)$.
5. Entscheide dich welche Bedingung du als $x$ setzen möchtest und stelle die andere Bedingung in Abhängigkeit von $x$ dar.
   • Wir können uns zwischen $a$ und $b$ entscheiden. Wir setzen $a$ als Variable $x$, also $A(x)=x\cdot b$. Da uns das $b$ hier noch stört, müssen wir diese in Abhängigkeit von $x$ schreiben indem wir die zweite Formel umformen:
     
     $\begin{array}{rlll} &&20 &&=&& 2\cdot x + 2\cdot b &\mid -2\cdot x\\ &\Leftrightarrow& 20-2\cdot x &&=&& 2\cdot b &\mid \div 2\\ &\Leftrightarrow& 10-x &&=&& b \end{array}$
     
     Nun können wir $b$ in $A(x)=x\cdot b$ ersetzten:
     
     $\begin{array}{rlll} A(x) &&=&& x\cdot b &\mid b=10-x\\ &&=&& x\cdot (10-x)\\ &&=&& 10\cdot x-x^2 \end{array}$
     
     
6. Forme in die Scheitelpunktform um.
   • 
     
     $\begin{array}{rlll} A(x) &&=&& -x^210\cdot x\\ &&=&& -(x-2\cdot 5\cdot x+5^2-5^2)\\ &&=&& -((x-5)^2-5^2)\\ &&=&&-(x-5)^2+25 \end{array}$
     
     
7. Lese den Scheitelpunkt ab und interpretiere ihn.
   • Der Scheitelpunkt liegt bei $S(5|25)$. Der $y$-Wert gibt den Flächeninhalt an, weswegen $25m^2$ der maximale Flächeninhalt ist. Dieser wird erreicht bei $x=5$, also wenn die Seitenlänge von $a=5m$ beträgt. Da
     
     $\begin{array}{rlll} 20 &&=&& 2\cdot a + 2\cdot b\\ &&=&& 2\cdot 5 + 2\cdot b\\ &&=&& 10 + 2\cdot b \end{array}$
     
     gelten muss erhalten wir durch umformen für $b$ eine Länge von $5m$.

16. Das Gemüsebeet.

Lina wollte schon immer ein Gemüsebeet in ihrem Garten haben. Da sie viel Wert auf das Aussehen legt hat sie sich als Zaun für einen Staketenzaun entschieden. Da dieser allerdings sehr teuer ist hat sie davon nur $16$ Meter gekauft.

a) Wie groß kann ihr Beet maximal werden?

Überlege dir was maximiert werden soll und welche Formeln du zu den gegebenen und gesuchten Größen kennst.

Der maximale Flächeninhalt ist gesucht und du brauchst die Formeln:

$\begin{array}{rlll} 1. A &&=&& a \cdot b\\ 2. U &&=&& 2\cdot a+2\cdot b &&=&& 16. \end{array}$

Stelle nun die Formel zum Umfang nach einer der beiden Variablen um und setzte dies dann für die Variable in der Formel für den Flächeninhalt ein.

Bestimme nun den Scheitelpunkt. Der $y$-Wert ist der Wert des maximalen Flächeninhaltes und der $x$-Wert ist die Länge der einen Seite.

Gesucht ist der maximale Flächeninhalt bei $16m$ Umfang. Wie haben also die Formeln:

$\begin{array}{rlll} 1.: U &&=&& 2\cdot a+2\cdot b &&=&& 16\\ 2.: A &&=&& a\cdot b \end{array}$

Auf der $y$-Achse muss nachher der Flächeninhalt eingetragen sein, da wir von diesem das Maximum suchen. Wie müssen also eine quadratische Funktion der Form $A(x)$ aufstellen. Unsere Variablen sind dabei $a$ und $b$. Wir formen nun die Umfangsformel nach einer der beiden Variablen um, zum Beispiel nach $a$:

$\begin{array}{rlll} && 2\cdot a+2\cdot b &&=&& 16 &\mid -2\cdot b\\ &\Leftrightarrow& 2\cdot a &&=&& 16-2\cdot b &\mid \div 2\\ &\Leftrightarrow& a &&=&& 8-b \end{array}$

Den Wert den wir nun für $a$ erhalten haben können wir in die Formel für den Flächeninhalt einsetzten. Wir können uns entscheiden ob wir $b$ als $x$ setzten oder einfach $A(b)$ schreiben:

$\begin{array}{rlll} &&A &&=&& a\cdot b &\mid a=8-b\\ &\Leftrightarrow& A(b) &&=&& (8-b)\cdot b \\ && &&=&& -b^2+8b\\ && &&=&& -(b+4)^2+16\\ &\Rightarrow& SP &&=&& (-4|16) \end{array}$

Somit müssen die Seiten $b$ und $a$ $4m$ lang sein, um den maximalen Flächeninhalt von $16m^2$ zu erreichen.

b)* Um ihr Beet etwas größer zu bekommen möchte sie eine Wand des Gartenhäuschen mit einbauen, so spart sie immerhin $3$ Meter Zaun. Sie hat gelesen, dass man für sechs verschiedene Gemüsesorten mindestens ein Beet von $20m^2$ haben sollte. Kann Lina sechs verschiedene Gemüsesorten anbauen?

Überlege dir welchen Einfluss das Gartenhäuschen auf die Gleichung des Umfanges hat.

Normal lautet die Formel für den Umfang $U=2\cdot a+2\cdot b=16$. Von der rechten $b$ Seite fallen jetzt allerdings $3m$ weg, die nicht mit umzäunt werden müssen. Daher gilt: $U=2\cdot a+b+b-3=16$

Stelle nun die Umfangsgleichung wieder nach einer Variablen um und verfahre wie in a).

Gesucht ist der maximale Flächeninhalt bei $16m$ Umfang und dem einbauen einer $3m$ langen Mauer. Wie haben also die Formeln:

$\begin{array}{rlll} 1.: U &&=&& 2\cdot a+b+b-3 &&=&& 16\\ &&\Leftrightarrow&& 2\cdot a+2\cdot b -3 &&=&& 16 &\mid +3\\ &&\Leftrightarrow&& 2\cdot a+2\cdot b &&=&& 19\\ 2.: A &&=&& a\cdot b \end{array}$

Wir haben hier also lediglich den Unterschied, dass wir einen Umfang von $19m$ statt $16m$ haben:

$\begin{array}{rlll} && 2\cdot a+2\cdot b &&=&& 19 &\mid -2\cdot b\\ &\Leftrightarrow& 2\cdot a &&=&& 19-2\cdot b &\mid \div 2\\ &\Leftrightarrow& a &&=&& 9.5-b \end{array}$

Einsetzten:

$\begin{array}{rlll} &&A &&=&& a\cdot b &\mid a=9.5-b\\ &\Leftrightarrow& A(b) &&=&& (9.5-b)\cdot b \\ && &&=&& -b^2+9.5b\\ && &&=&& -(b+4.75)^2+\frac{361}{16}\\ &\Rightarrow& SP &&=&& (-4.75|\frac{361}{16}) \end{array}$

Somit müssen die Seiten $b$ und $a$ $4.75m$ lang sein, um den maximalen Flächeninhalt von ca. $22.56m^2$ zu erreichen. Da $22.56m^2 > 20m^2$ kann Lina auch sechs Gemüsesorten anpflanzen.

c)** Robin möchte Lina gerne helfen und für sie ein Frühbeet bauen, in welchem sie ihre Pflanzen heranzüchten kann. Dafür will er eine rechteckige Box bauen. Diese soll sowohl nach oben und nach unten geöffnet sein, es geht also nur um die Wände. Insgesamt hat Robin $30m^2$ Holz gekauft. Die Höhe der Box soll $1.5m$ betragen. Robin möchte wissen wie er die anderen Seitenlängen wählen muss, um das maximale Volumen zu erhalten. (Du kannst annehmen, dass er keinen Verschnitt hat und die $30m^3$ ohne Verluste verbauen kann.)

Überlege dir was maximiert werden soll und welche Formeln du zu den gegebenen und gesuchten Größen kennst.

Das maximale Volumen ist gesucht und der Flächeninhalt der Mantelfläche und die Höhe sind gegeben.

Du brauchst die Formeln:

$\begin{array}{rlll} 1. V &&=&& a \cdot b\cdot c\\ 2. A &&=&& 2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c &&=&& 30. \end{array}$

(mit $a$ als Höhe).Stelle nun die Formel zum Flächeninhalt nach einer der beiden Variablen um und setzte dies dann für die Variable in der Formel für das Volumen ein.

Bestimme nun den Scheitelpunkt. Der $y$-Wert ist der Wert des maximalen Volumens und der $x$-Wert ist die Länge der einen Seite. Berechne jetzt noch die Länge der anderen Seite.

Gesucht ist also das maximale Volumen bei einer Mantelfläche von $30m^2$ und einer Höhe von $1.5m$. Wir brauchen daher die Formeln:

$\begin{array}{rlll} V &&=&& a\cdot b\cdot c &\mid \text{Formel für das Volumen}\\ A &&=&& a\cdot b\cdot 2+a\cdot c \cdot 2 &\mid \text{Formel für die Mantelfläche mit a als Höhe} \end{array}$

Da wir den Flächeninhalt $(30m^2)$ und die Höhe $(1.5m)$ gegeben haben können wir diese Werte jeweils einsetzten:

$\begin{array}{rlll} V &&=&& 1.5\cdot b\cdot c &\mid \text{Formel für das Volumen mit der Höhe 1.5}\\ 30 &&=&& 1.5\cdot b\cdot 2+1.5\cdot c \cdot 2 &\mid \text{Formel für die Mantelfläche mit a als Höhe}\\ &&=&& 3\cdot b+3\cdot c \end{array}$

Als nächste müssen wir wie gewohnt umformen. Da diesmal das Volumen maximiert werden soll und wir als zusätzliche Formel den Flächeninhalt haben, müssen wir hier die Formel für den Flächeninhalt nach einer Variable umformen, z.b. nach $b$:

$\begin{array}{rlll} &&30 &&=&& 3\cdot b+3\cdot c &\mid -3\cdot c\\ &\Leftrightarrow& 30-3\cdot c &&=&& 3\cdot b &\mid \div 3\\ &\Leftrightarrow& 10-c &&=&& b \end{array}$

Diesen Wert setzen wir nun für $b$ in die Volumenformel ein:

$\begin{array}{rlll} V(c) &&=&& 1.5\cdot b\cdot c &\mid b=10-c\\ &&=&& 1.5\cdot (10-c)\cdot c &\mid \text{ausrechnen}\\ &&=&& 15\cdot c-1.5\cdot c^2 \end{array}$

Somit haben wir nun eine Formel für das Volumen. Da dieses maximal werden soll müssen wir den Scheitelpunkt bestimmen:

$\begin{array}{rlll} V(c) &&=&& -1.5\cdot c^2+15\cdot c\\ &&=&& -1.5\cdot (c^2+10c)\\ &&=&& -1.5\cdot ((c^2+2\cdot 5 \cdot c+5^2)-5^2)\\ &&=&& -1.5\cdot ((c+5)^2-5^2)\\ &&=&& -1.5\cdot (c+5)^2+37.5 \end{array}$

Wir erhalten daher ein maximales Volumen von $37.5m^3$ wenn $c=5m$ lang ist. Demnach muss $b=10-c=10-5=5m$ lang sein.

17. Pizzaladen**

Laura und Paul möchten zusammen einen Pizzaladen eröffnen. Vorher möchten sie die Produktion kalkulieren. Pro Tag können sie mit Miete, Stromkosten, Wasserkosten, etc. mit rund $500$€ rechnen. Pro Pizza entstehen durch Material- und Lohnkosten nochmal rund $10$€. Zusätzlich entstehen für die Produktion von $x$ Pizzen nochmals $0.004\cdot x^2$€. Pro Pizza möchten sie $15$€ nehmen. Zusätzlich müssen sie $40$% von ihrem Gewinn versteuern. Bei welcher Tagesanzahl von Pizzen wäre der verdienst maximal und wie hoch wäre dieser?

Überlege dir was maximiert werden soll und wie du die gegebene Größen in eine Funktion schreiben kannst.

Der maximale Gewinn nach Abzug der Steuern ist gesucht (Hinweis: Hier ist Zinssatzrechnung notwendig) ist gesucht. Die Fixkosten, die Kosten pro Stück und der verdienst sind gegeben. Diese müssen nun mit den richtigen Rechenzeichen in eine Funktion gebracht werden. Wichtig zu den steuern ist, dass hier nicht 40% wie bei Zinsen drauf gerechnet, sondern abgezogen werden.

Die Beträge die Kosten verursachen müssen ein Minus bekommen, da sie ja vom Gewinn abgezogen werden.

Bestimme nun den Scheitelpunkt. Der $y$-Wert ist der Wert des maximalen Gewinns und der $x$-Wert ist die Anzahl der Pizzen.

Da nur die Stückzahl der Pizzen variiert werden kann, setzen wir diese als unser $x$. Wir bringen nun alle Informationen in einer Gleichung zusammen:

$\begin{array}{rlll} &&-500 &\mid \text{Es fallen jeden Tag 500€ an die vom Gewinn abgezogen werden}\\ &&-500-10\cdot x &\mid \text{Zusätzlich fallen pro Pizza 10€ an}\\ &&-500-10\cdot x-0.004\cdot x^2 &\mid \text{Zusätzlich fallen 0.004x²€ für x Pizzen an}\\ &&-500-10\cdot x-0.004\cdot x^2+15\cdot x &\mid \text{Pro Pizza erhalten sie 15€}\\ &&(-500-10\cdot x-0.004\cdot x^2+15\cdot x)\cdot (1-0.4) &\mid \text{Von dem Gewinn werden nun 40 Prozent Steuern abgezogen, daher mal (1-0.4)}\\ f(x) &=& (-500-10\cdot x-0.004\cdot x^2+15\cdot x)\cdot (1-0.4) &\mid \text{Dies ist also unsere Funktion} \end{array}$

Wir haben nun also unsere Funktion gefunden. Diese können wir nun vereinfachen und da wieder das Maximum gesucht ist den Scheitelpunkt bestimmen:

$\begin{array}{rlll} f(x) &&=&& (-500-10\cdot x-0.004\cdot x^2+15\cdot x)\cdot (1-0.4) &\mid \text{vereinfachen}\\ &&=&& (-500+5\cdot x-0.004\cdot x^2)\cdot (1-0.4) &\mid \text{Klammer ausmultiplizieren}\\ &&=&& -500+5\cdot x-0.004\cdot x^2+200-2\cdot x+0.0016x^2 &\mid \text{vereinfachen}\\ &&=&& -300+3\cdot x-0.0024\cdot x^2 &\mid \text{-0.0024 ausklammern}\\ &&=&& -0.0024\cdot(125000-1250\cdot x+x^2) &\mid \text{quadratische Ergänzung}\\ &&=&& -0.0024\cdot((x^2-2\cdot 625\cdot x+625^2)-625^2+125000)\\ &&=&& -0.0024\cdot((x-625)^2-265625)\\ &&=&& -0.0024\cdot(x-625)^2-637.5 \end{array}$

Somit ist also der maximale Gewinn bei einer Produktion von $625$ Pizzen pro Tag gegeben. Der maximale Gewinn beträgt $637.5$€.

Lösen eines Sachzusammenhangs

Bei Sachzusammenhangsaufagben wird in der Regel nach dem Wert einer bestimmten Variable gefragt. Diese Variable hat dabei einen Einfluss auf die gegebenen Größen. So ist zum Beispiel oft nach einem bestimmten Zinssatz gefragt, den man anhand von gegebenen Kontoständen ermitteln soll. Dafür muss man wissen in welcher Weise die gegebenen Größen von der Variablen abhängen.

Ist zum Beispiel der Kontostand zu Ende eines Jahres von $1000$ Euro gegeben, werden dann die Jahreszinsen hinzugefügt, nochmal $150$ Euro abgebucht und Anfang des Jahres darauf die Jahreszinsen nochmals ergänzt und dann der Kontostand $975$ Euro gegeben, so ist in der Regel der Zinssatz $p$ gesucht.

Hier ist in der Regel die gesuchte Variable die, welche man in der quadratischen Funktion als das $x$ setzt. Meistens stellt man durch die Bedingungen direkt eine Gleichung auf, welche man dann lösen muss (Nullstellenberechnung).

Hier wäre also unser $p$ unser $x$.

Vorgehen:

1. Schreibe dir auf was gesucht ist.
   • z.B. Zinssatz.
2. Schreibe dir auf was gegeben ist.
   • z.B. $1000$Euro Ende $2013$.
   • $2014$ kommen Zinsen drauf und $150$Euro werden abgezogen
   • Anfang $2015$ kommen nochmal Zinsen drauf und man erhält $975$€
3. Notiere dir Formeln die du zu den gegebenen Größen weißt.
   • Der Kontostand mit den Jahreszinsen berechnet man durch $1000\cdot (1+p)$. (Wir behalten ja unseren Kontostand von $1000$Euro und bekommen $1000\cdot p$ Euro noch zusätzlich, also $1000+1000\cdot p =1000\cdot (1+p)$).
4. Bringe alle Größen in einer Formel unter.
   • 
     
     $\begin{array}{rlll} &1000 &\mid \text{Kontostand 2013}\\ &1000\cdot (1+p) &\mid \text{Kontostand mit Zinsen}\\ &1000\cdot (1+p)-150 &\mid \text{Kontostand mit Zinsen und 150 Euro abgezogen}\\ &(1000\cdot (1+p)-150)\cdot (1+p) &\mid \text{Kontostand mit Zinsen, 150 Euro abgezogen und nächsten Zinsen}\\ &(1000\cdot (1+p)-150)\cdot (1+p)=975 &\mid \text{Kontostand mit Zinsen, 150 Euro abgezogen, nächsten Zinsen und Endbetrag} \end{array}$
     
     
     
5. Löse die erhaltene Gleichung.
   • 
     
     $\begin{array}{rlll} &&(1000\cdot (1+p)-150)\cdot (1+p) &&=&& 975 &\mid \text{multipliziere die innere Klammer aus}\\ &\Leftrightarrow& (1000+1000\cdot p-150)\cdot (1+p) &&=&& 975 &\mid \text{vereinfache}\\ &\Leftrightarrow& (850+1000\cdot p)\cdot (1+p) &&=&& 975 &\mid \text{multipliziere die Klammer aus}\\ &\Leftrightarrow& 850+1000\cdot p+850\cdot p+1000\cdot p^2 &&=&& 975 &\mid \text{vereinfache}\\ &\Leftrightarrow& 850+1850\cdot p+1000\cdot p^2 &&=&& 975 &\mid -975\\ &\Leftrightarrow& -125+1850\cdot p+1000\cdot p^2 &&=&& 0 &\mid \div 1000\\ &\Leftrightarrow& -0.125+1.85\cdot p+p^2 &&=&& 0 &\mid \text{pq-Formel, p=1.85 und q=-0.125}\\ &\Rightarrow& p_{1/2} &&=&& -\frac{1.85}{2} \pm \sqrt{(\frac{1.85}{2})^2-(-0.125)}\\ && &&=&& -0.925 \pm \sqrt{\frac{1369}{1600}+0.125}\\ && &&=&& -0.925 \pm \sqrt{\frac{1569}{1600}}\\ &\Rightarrow& p_1 &&=&& -0.925+\sqrt{\frac{1569}{1600}}\approx 0.07\\ &&p_2 &&=&& -0.925-\sqrt{\frac{1569}{1600}}\approx -1.18 \end{array}$
     
     
6. Interpretiere die Nullstellen im Sachzusammenhang und wähle die passende aus.
   • Da Geld hinzugefügt und nicht abgezogen wird macht ein negativer Wert keinen Sinn, demnach ist unser gesuchter Zinssatz $p\approx 0.07$. Als Prozentzahl also $0.07\cdot 100=7$%.

18. Kapitalanlage

Sören (14 Jahre alt) möchte sich mit 16 einen Roller kaufen um unabhängiger zu sein. Er hat bereits durch Geburtstage und Minijobs $490$€ gespart. Die meisten Roller kosten um die $550$€.

a) Er möchte nicht länger alles Geld beiseite legen müssen und überlegt, ob er das Geld einfach auf die Bank bringen könnte und durch die Zinsen in $2$ Jahren sein Geld zusammen hätte. Wie hoch müsste dafür der Zinssatz sein?

Überlege dir was gegeben und was gesucht ist. Setzte die gesuchte Größe als deine Variable. Trage dann alle Informationen in einer Gleichung zusammen und löse sie.

Der Zinssatz ist ja gesucht, also ist $p$ unsere Variable. Überlege dir, wie du den Kontostand nach einem Jahr mit den hinzugekommenen Zinsen berechnen kannst.

Den Kontostand nach einem Jahr berechnest du durch $490+490\cdot p$, also $490\cdot (1+p)$. Überlege dir nun wie du das zweite Jahr mit einbringen kannst und was am Ende als Kontostand rauskommen soll. Wenn du eine Gleichung aufgestellt hast berechne $p$.

Für das zweite Jahr hast du ja nun den Kontostand $490\cdot (1+p)$. Von diesem Betrag erhältst du wieder Zinsen mit dem selben Zinssatz $p$, also $(490\cdot (1+p))\cdot (1+p)$. Sören braucht einen Kontostand von $550$€ um sich den Roller nach zwei Jahren leisten zu können.

Bringe die gegebenen Informationen in einer Gleichung unter:

$\begin{array}{rlll} 490 &\mid \text{Startguthaben}\\ 490\cdot (1+p) &\mid \text{Startguthaben und Jahreszinsen}\\ (490\cdot (1+p))\cdot (1+p) &\mid \text{Startguthaben und zweimal Jahreszinsen}\\ (490\cdot (1+p))\cdot (1+p)=550 &\mid \text{Startguthaben und zweimal Jahreszinsen und Endbetrag} \end{array}$

Löse die Gleichung:

$\begin{array}{rlll} && (490\cdot (1+p))\cdot (1+p) &&=&& 550 &\mid \text{multipliziere die innere Klammer aus}\\ &\Leftrightarrow& (490+490\cdot p)\cdot (1+p) &&=&& 550 &\mid \text{multipliziere die Klammer aus}\\ &\Leftrightarrow& 490+490\cdot p+490\cdot p+490\cdot p^2 &&=&& 550 &\mid \text{vereinfache}\\ &\Leftrightarrow& 490+980\cdot p+490\cdot p^2 &&=&& 550 &\mid -550\\ &\Leftrightarrow& -60+980\cdot p+490\cdot p^2 &&=&& 0 &\mid \div 490\\ &\Leftrightarrow& -\frac{6}{49}+2\cdot p+p^2 &&=&& 0 &\mid \text{pq-Formel}: p=2, q=-\frac{6}{49}\\ &\Rightarrow& p_{1/2} &&=&& -\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-(-\frac{6}{49})}\\ && &&=&& -1 \pm \sqrt{1+\frac{6}{49}}\\ && &&=&& -1 \pm \sqrt{\frac{55}{49}}\\ &\Rightarrow& p_1 &&=&& -1+\sqrt{\frac{55}{49}}\approx 0.06\\ && p_2 &&=&& -1-\sqrt{\frac{55}{49}}\approx -2.06 \end{array}$

Da auch hier Geld hinzukommen und nicht abgezogen werden soll, kann der negative Wert ausgeschlossen werden. Demnach ist der Zinssatz den Sören benötigen würde $p\approx 0.06$, also ungefähr $6$%.

b)* Sören bringt sein Geld auf die Bank. Nach dem ersten Jahr Zinsen geht sein Handy kaputt und er muss von seinem ersparten $100$€ abheben. Nachdem er ein weiteres mal Zinsen erhält, bekommt er von seinen Eltern zum Geburtstag einen Zuschuss von $150$€. Den Roller kann er sich jetzt genau leisten. Wie hoch war der Zinssatz der Bank?

Überlege dir was gegeben und was gesucht ist. Setzte die gesuchte Größe als deine Variable. Trage dann alle Informationen in einer Gleichung zusammen und löse sie.

Wie in a) ist ja der Zinssatz gesucht, also ist $p$ unsere Variable. Da es auch hier wieder um zwei Jahre geht, kannst du die Zinsen wie in a) berechnen. Du musst jetzt allerdings überlegen wo und wie du die weiteren gegebenen Größen mit in die Gleichung einbauen kannst.

Im ersten Jahr passiert nichts, also kannst du hier einfach wieder die Formel für die Zinsen nehmen. Dann werden allerdings $100$€ abgezogen. Dann erhält Sören erneut Zinsen, wieder mit dem selben Zinssatz $p$. Am Ende kriegt er noch zusätzlich $150$€ von seinen Eltern. Auch hier ist der Endkontostand dann wieder bei $550$€. Überlege dir wie du diese Informationen in eine Gleichung bringen kannst und berechne dann $p$.

Da im ersten Jahr nichts passiert hast du für das erste mal Zinsen wieder $490\cdot (1+p)$. Von diesem Betrag werden dann allerdings $100$€ abgezogen, also $490\cdot (1+p)-100$. Dann erhält Sören erneut Zinsen, wieder mit dem selben Zinssatz $p$, also $(490\cdot (1+p)-100)\cdot (1+p)$. Am Ende kriegt er noch zusätzlich $150$€ von seinen Eltern, also$(490\cdot (1+p)-100)\cdot (1+p)+150$. Auch hier ist der Endkontostand dann wieder bei $550$€.

Bringe die gegebenen Infos in eine Gleichung:

$\begin{array}{rlll} 490 &\mid \text{Startguthaben}\\ 490\cdot (1+p) &\mid \text{Startguthaben und Zinsen}\\ 490\cdot (1+p)-100 &\mid \text{Startguthaben und Zinsen abzüglich der Handykosten}\\ (490\cdot (1+p)-100)\cdot (1+p) &\mid \text{Startguthaben und Zinsen abzüglich der Handykosten und erneute Zinsen}\\ (490\cdot (1+p)-100)\cdot (1+p)+150 &\mid \text{Startguthaben und Zinsen abzüglich der Handykosten, erneute Zinsen und Zuschuss}\\ (490\cdot (1+p)-100)\cdot (1+p)+150=550 &\mid \text{Startguthaben und Zinsen abzüglich der Handykosten, erneute Zinsen, Zuschuss und Endbetrag} \end{array}$

Löse die Gleichung:

$\begin{array}{rlll} && (490\cdot (1+p)-100)\cdot (1+p)+150 &&=&& 550 &\mid \text{multipliziere die innere Klammer aus}\\ &\Leftrightarrow& (490+490\cdot p-100)\cdot (1+p)+150 &&=&& 550 &\mid \text{vereinfache}\\ &\Leftrightarrow& (390+490\cdot p)\cdot (1+p)+150 &&=&& 550 &\mid \text{multipliziere die Klammer aus}\\ &\Leftrightarrow& 390+490\cdot p+390\cdot p+490\cdot p^2+150 &&=&& 550 &\mid \text{vereinfache}\\ &\Leftrightarrow& 540+880\cdot p+490\cdot p^2 &&=&& 550 &\mid -550\\ &\Leftrightarrow& -10+880\cdot p+490\cdot p^2 &&=&& 0 &\mid \div 490\\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{49}+\frac{88}{49}\cdot p+p^2 &&=&& 0 &\mid \text{pq-Formel}: p=\frac{88}{49}, q=-\frac{1}{49}\\ &\Rightarrow& p_{1/2} &&=&& -\frac{88}{49\cdot 2} \pm \sqrt{(\frac{88}{49\cdot 2})^2-(-\frac{1}{49})}\\ && &&=&& -\frac{44}{49} \pm \sqrt{\frac{1936}{2401}+\frac{1}{49}}\\ && &&=&& -\frac{44}{49} \pm \sqrt{\frac{1985}{2401}}\\ &\Rightarrow& p_1 &&=&& -\frac{44}{49}+\sqrt{\frac{1985}{2401}}\approx 0.01\\ && p_2 &&=&& -\frac{44}{49}-\sqrt{\frac{1985}{2401}}\approx -1.81 \end{array}$

Da auch hier eine negative Zahl keinen Sinn macht, beträgt der Zinssatz $p=0.01$, also in Prozent $0.01\cdot 100=1$%.

19. Gartenplanung*

Katrin arbeitet in einem Gartenbaubetrieb. Sie soll eine rechteckige Fläche gestalten mit den Seitenlängen $9m$ und $12m$. Am inneren Rand des Rechteckes soll ein Weg verlaufen, der immer gleich breit bleibt und insgesamt die Hälfte der Fläche einnimmt. Wie breit muss der Weg dafür sein?

Überlege dir was gesucht und was gegeben ist. Kannst du die Größen mit Hilfe von bekannten Formeln in Beziehung setzten?

Die breite des Weges ist gesucht und die Längenangaben des gesamten Rechteckes sind gegeben. Zudem wissen wir, dass der Weg / bzw. das Beet jeweils die Hälfte der Fläche bedecken sollen. Die Fläche können wir durch die gegebenen Längen direkt berechnen. Schaue wie du den Flächeninhalt des Beetes in Abhängigkeit von $c$ berechnen kannst. (Du kannst natürlich auch mit dem Flächeninhalt des Weges rechnen, allerdings ist dieser etwas komplizierter zu berechnen).

Die Seitenlänge $a$ des Beetes lässt sich berechnen durch $12-2\cdot c$ und die von $b$ durch $9-2\cdot c$. Somit ergibt sich $A=(12-2\cdot c)\cdot (9-2\cdot c)$. Dies muss nun gleich der Hälfte des gesamten Flächeninhaltes sein. Löse die erhaltene Gleichung nach $c$ auf.

Wir wissen, dass wir insgesamt $9m\cdot 12m=108m^2$ Fläche zur Verfügung haben, wovon der Weg und das Beet jeweils die Hälfte einnehmen sollen. Seien $a$ und $b$ die Seitenlängen des Beetes und $c$ die Breite des Weges, dann ergibt sich:

$\begin{array}{rlll} a &&=&& 12-2\cdot c\\ b &&=&& 9-2\cdot c\\ \Rightarrow A &&=&& a \cdot b &\mid \text{Flächeninhalt vom Beet}\\ &&=&& (12-2\cdot c)\cdot (9-2\cdot c) &\mid \text{a und b eingesetzt}\\ &&=&& 54 &\mid \text{soll die Hälfte von 108m² ergeben} \end{array}$

$(12-2\cdot c)\cdot (9-2\cdot c)=54$ ist somit unsere Gleichung die wir lösen müssen:

$\begin{array}{rlll} &&(12-2\cdot c)\cdot (9-2\cdot c) &&=&& 54 &\mid \text{Klammern ausrechnen}\\ &\Leftrightarrow& 108-18\cdot c-24\cdot c+4\cdot c^2 &&=&& 54 &\mid \text{vereinfachen}\\ &\Leftrightarrow& 108-42\cdot c+4\cdot c^2 &&=&& 54 &\mid -54\\ &\Leftrightarrow& 54-42\cdot c+4\cdot c^2 &&=&& 0 &\mid \div 4\\ &\Leftrightarrow& c^2-\frac{21}{2}\cdot c+\frac{27}{2} &&=&& 0 &\mid \text{pq-Formel}, p=-\frac{21}{2}, q=\frac{27}{2}\\ &\Rightarrow& c_{1/2} &&=&& -(-\frac{21}{2\cdot 2})\pm \sqrt{(\frac{21}{2\cdot 2})^2-\frac{27}{2}}\\ && &&=&& \frac{21}{4}\pm \sqrt{\frac{441}{16}-\frac{27}{2}}\\ && &&=&& \frac{21}{4}\pm \sqrt{\frac{225}{16}}\\ && &&=&& \frac{21}{4}\pm \frac{15}{4}\\ &\Rightarrow& c_1 &&=&& \frac{36}{4} &&=&& 9\\ && c_2 &&=&& \frac{6}{4} &&=&& 1.5 \end{array}$

Somit muss Katrin den Weg $1.5m$ breit machen, damit alle Anforderungen erfüllt sind.