Flächeninhalt des Rechtecks: Unterschied zwischen den Versionen

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Main>Franziska Engerer
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{{Lernpfad-M|<big>'''Flächeninhalt des Rechtecks'''</big>
{{Box|1=Lernpfad|2=
[[Bild:Haus.jpg|150px|right]]
'''Zielsetzung:''' Schüler entdecken Schritt für Schritt die Formel des Flächeninhalts und lernen damit zu rechnen.


''Zielsetzung: Schüler entdecken Schritt für Schritt die Formel des Flächeninhalts und lernen damit zu rechnen''
'''Altersstufe:''' 5. Jahrgangsstufe am Gymnasium


*'''5. Jahrgangsstufe am Gymnasium'''
'''Zeitbedarf:''' ca. 70 Minuten
*'''Zeitbedarf: ca. 40 Minuten'''
*'''Materialen: Computer (mit Java und Geogebra) und Heft'''
}}


= <span style="color:#551A8B">Flächeninhalt des Rechtecks</span> =
'''Materialen''': Computer (mit Java und GeoGebra) und Heft.


== <span style="color:#009ACD">1. Arbeitsauftrag - Quiz über Rechtecke</span> ==
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|3=Lernpfad}}


{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!}}
__NOTOC__


Nun wollen wir zu Beginn erst einmal testen, was ihr denn noch über Vierecke wisst. Dazu könnt ihr jetzt ein Quiz machen.
==Arbeitsaufträge==
[http://www.bartberger.de/Klasse5/Tests/vierecke/vierecke.htm Quiz zum Viereck]




{{Box|1=Kästchen zählen|2=


<div class="grid">


<div class="width-3-4">Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren.


Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen.


Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt,
aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen.


</div>


<div class="width-1-4">
[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese Aufgabe habt ihr 3 Minuten Zeit!'''
</div>


== <span style="color:#009ACD">2. Arbeitsauftrag - Kästchen zählen</span> ==
</div>
{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 3 Minuten Zeit!}}
Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren. Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen.
 
Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt, aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen.
 
 
 
 
 
 
=== <span style="background:#63B8FF">1. Rechteck</span> ===
 
[[Bild:Rechteck01.png]]


<div class="grid">
<div class="width-1-3"><span style="background:#63B8FF">1. Rechteck</span>
<br>
[[Bild:Rechteck01.png|left]]
<br>
====Hast du richtig gezählt?====
====Hast du richtig gezählt?====
<quiz display="simple">
<quiz>
{Das Rechteck besteht aus ...}
{Das Rechteck besteht aus ...}
- 16 Kästchen.
- 16 Kästchen.
+ 18 Kästchen.
+ 18 Kästchen.
- 20 Kästchen.
- 20 Kästchen.
</quiz>
</quiz></div>


=== <span style="background:#63B8FF">2. Rechteck</span> ===
<div class="width-1-3"><span style="background:#63B8FF">2. Rechteck</span>
<br>
[[Bild:Rechteck02.png|center|200px]]


[[Bild:Rechteck02.png]]


====Hast du richtig gezählt?====
====Hast du richtig gezählt?====
Zeile 58: Zeile 61:
- 6 Kästchen.
- 6 Kästchen.
- 7 Kästchen.
- 7 Kästchen.
</quiz>
</quiz></div>
<div class="width-1-3"><span style="background:#63B8FF">3. Rechteck</span>


=== <span style="background:#63B8FF">3. Rechteck</span> ===
{{Hinweis Achtung|Vorsicht: Hier müsst ihr auch die halben Kästchen zählen!!!}}


[[Bild:Rechteck03.png|258px]]
[[Bild:Rechteck03.png|right|250px]]


====Hast du richtig gezählt?====
====Hast du richtig gezählt?====
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- 8 Kästchen.
- 8 Kästchen.
</quiz>
</quiz>
[[Bild:InfoPic.jpg|center|180px]]
'''Vorsicht: Hier müsst ihr auch die halben Kästchen zählen!!!'''
</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}


== <span style="color:#009ACD">3. Arbeitsauftrag - Zeichnen</span> ==
{{Box|1=Zeichnen|2=
{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!}}
Fertigt nun folgende Aufgabe in euerem Heft an:
Zeichnet ein Rechteck mit Flächeninhalt 16 Kästchen.


<div class="grid">
<div class="width-3-4">
Zeichnet ein Rechteck in eurem Heft mit Flächeninhalt 16 Kästchen.


Ihr seht im nächsten Bild 3 verschiedene Rechtecke abgebildet:


[[Bild:mehrere Rechtecke.png]]
</div>
<div class="width-1-4">[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!'''</div>
</div>


= Flächeninhalt eines Rechtecks =
Ihr seht im nächsten Bild 3 verschiedene Rechtecke abgebildet:
[[Bild:mehrere Rechtecke.png]]


Wie ihr leicht sehen könnt, besteht das Rechteck R1 aus 6 Kästchen. Gleichzeitig sind die Seitenlängen des Rechtecks a = c = 3cm
Wie ihr leicht sehen könnt, besteht das Rechteck R1 aus 6 Kästchen. Gleichzeitig sind die Seitenlängen des Rechtecks a = c = 3cm
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Was fällt euch dabei auf?
Was fällt euch dabei auf?


== <span style="color:#009ACD">4. Arbeit im Heft</span> ==
|3=Arbeitsmethode}}


=== Hefteintrag ===
{{Box|1=Arbeit im Heft|2=


{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!}}


Übertragt die Rechtecke in euer Heft.  
<div class="grid">
<div class="width-3-4">
Übertragt die Rechtecke auf vorherigen Aufgabe in euer Heft.  
Schreibt dabei unter jedes Rechteck die Seitenlängen und den Flächeninhalt.
Schreibt dabei unter jedes Rechteck die Seitenlängen und den Flächeninhalt.


Zeile 110: Zeile 117:
   
   
immer gleich des Produkts der beiden Seitenlängen ist.
immer gleich des Produkts der beiden Seitenlängen ist.
</div>
<div class="width-1-4">[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!'''</div>
</div>


Wir notieren:
Wir notieren:
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:Im Rechteck R3 haben wir die Seitenlängen i = 4 und j = 3 und der Flächeninhalt beträgt 4 x 3 = 12
:Im Rechteck R3 haben wir die Seitenlängen i = 4 und j = 3 und der Flächeninhalt beträgt 4 x 3 = 12


|3=Arbeitsmethode}}


Daher übertragen wir noch folgenden Satz in unserer Heft


{{Box|Satz|
'''Flächeninhalt des Rechtecks'''
#Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen.
#Es gilt also: <math>F = a \cdot b</math>
|Merksatz}}




{{Hinweis Achtung|Das F steht hier für den Flächeninhalt!!!}}
<div align="left">[[Bild:InfoPic.jpg|250px|center]]
'''Das F steht hier für Flächeninhalt!!!'''</div>


==Ein anschauliches Beispiel==
Zum Schluss könnt ihr nun noch beobachten, wie sich der Flächeninhalt eines Rechtecks ändert, wenn man die Seitenlängen verändert.
Wenn ihr die Punkte der Schieberegler e und f nach links und rechts bewegt, ändert sich auch der Flächeninhalt des Rechtecks.


<ggb_applet width="800" height="600" id="kzdbnmnn" showreseticon="true" />


==Andere geometrische Figuren==


Wie könnte man den Flächeninhalt von diesen Figuren berechnen ohne die Kästchen zu zählen?


<div class="grid">
<div class="width-3-4">


[[Bild:Vieleck1.png]] 


Daher übertragen wir noch folgenden Satz in unserer Heft
'''Satz:'''
<div style="border: 2px solid #cc0000; background-color:#fffdf5; align:center; padding:4px;">
<font>'''Flächeninhalt des Rechtecks'''</font>
<br>
#Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen.
#Es gilt also: <math>F = a x b</math>
</div>
</div>
<br>
<div class="width-1-4">[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
<br>
'''Für diese Aufgabe habt ihr 8 Minuten Zeit!'''</div>
</div>


== Ein anschauliches Beispiel ==
 
Zum Schluss könnt ihr nun noch beobachten, wie sich der Flächeninhalt eines Rechtecks ändert, wenn man die Seitenlängen verändert.
[[Bild:Vieleck2.png]]
Wenn ihr die Punkte der Schieberegler e und f nach links und rechts bewegt, ändert sich auch der Flächeninhalt des Rechtecks.


==Maßeinheiten==


<ggb_applet height="600" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" framePossible="false" enableRightClick="false" filename="Anschauliches Rechteck.ggb‎" />
<div class="grid">
<div class="width-3-4">


Bisher haben wir uns nur mit der Angabe des Flächeninhalt durch Kästchen beschäftigt.


= Weitere Aufgaben zum Flächeninhalt des Rechtecks =
Nun wollen wir uns mit den Maßeinheiten bei Flächenberechnung beschäftigen.


== Andere geometrische Figuren ==
Dazu wollen wir aber erst einmal die Maßeinheiten der Streckenmessung wiederholen.
Wie könnte man den Flächeninhalt von diesen Figuren berechnen ohne die Kästchen zu zählen?


{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 8 Minuten Zeit!}}
</div>
 
<div class="width-1-4">[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
[[Bild:Vieleck1.png]]    
'''Nehmt euch zum Durchlesen der Wiederholung und des Abschnitts "Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks" 8 Minuten Zeit!'''</div>
</div>




====Wiederholung====


[[Bild:Vieleck2.png]]
Bisher haben wir uns nur mit der Angabe des Flächeninhalt durch Kästchen beschäftigt. Nun wollen wir uns mit den Maßeinhalten bei Flächenberechnung beschäftigen.
Ihr kennt bereits:
Ihr kennt bereits:


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|-
|-
|'''Millimeter'''
|'''Millimeter'''
| mm
|mm
|
|
|[[Bild:SSS Millimeter.jpg]]
|[[Bild:SSS Millimeter.jpg]]
|-
|-
|'''Zentimeter'''
|'''Zentimeter'''
| cm
|cm
|1 cm = 10 mm
|1 cm = 10 mm
|[[Bild:Zentimeter.jpg]]
|[[Bild:Zentimeter.jpg]]
|-
|-
|'''Dezimter: dm'''
|'''Dezimter: dm'''
| dm
|dm
|1 dm = 10 cm = 100 mm
|1 dm = 10 cm = 100 mm
|[[Bild: Dezimeter.jpg]]
|[[Bild: Dezimeter.jpg]]
|-
|-
|'''Meter'''
|'''Meter'''
| m
|m
|1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
|1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
|[[Bild:Meter.jpg]]
|[[Bild:Meter.jpg]]
|-
|-
|'''Kilometer'''
|'''Kilometer'''
| km
|km
|1 km = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm
|1 km = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm
|[[Bild:Kilometer.jpg]]
|
|}
|}
====Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks====


Betrachten wir nur eine Fläche, zum Beispiel unser lilafarbenes Rechteck von oben.
Betrachten wir nur eine Fläche, zum Beispiel unser lilafarbenes Rechteck von oben.
Zeile 207: Zeile 227:
Die Seite b ist 4 cm lang (ebenso die Seite d)
Die Seite b ist 4 cm lang (ebenso die Seite d)


Aus unserer Formel <math>F = a x b</math> wissen wir, dass hier gilt F = 2 x 4 = 8. Aber welche Einheit ordnen wir nun unserem Rechteck zu?
Aus unserer Formel <math>F = a \cdot b</math> wissen wir, dass hier gilt F = 2 x 4 = 8. Aber welche Einheit ordnen wir nun unserem Rechteck zu?




Die Seiten a und b (bzw. c und d) können wir ja in cm angeben. Aber das Ergebnis, eine Fläche, lässt sich ja nicht durch cm ausdrücke, da eine Fläche nicht gleich einer Strecke ist!!!
Die Seiten a und b (bzw. c und d) können wir in cm angeben. Aber das Ergebnis, eine Fläche, lässt sich nicht durch cm ausdrücken, da eine Fläche nicht gleich einer Strecke ist!!!
 


Verdeutlichen wir uns das anhand einer Zeichnung.
Verdeutlichen wir uns das anhand einer Zeichnung.
Zeile 219: Zeile 240:


An diesem Beispiel könnt ihr erkennen dass die Steckeneinheit "cm" nicht zu der Fläche des Rechtecks passt.
An diesem Beispiel könnt ihr erkennen dass die Steckeneinheit "cm" nicht zu der Fläche des Rechtecks passt.
Schließlich multiplizieren wir bei einer Fläche ja eine Seitenlänge mit der anderen und rechnen somit auch mm x mm, bzw. cm x cm oder dm x dm ...
Daher brauchen wir für die Fläche die Maßeinheiten wie mm², sprich Quadratmillimeter, da wir mm mit mm multiplizieren.
<div>[[Bild:InfoPic.jpg|250px|center]]
'''Man kann nur Seitenlängen mit gleicher Einheit miteinander muliplizieren!!!'''</div>
Es funktioniert also 5cm x 7cm = 35 cm² zu rechnen. Will man hingegen 4cm x 25 mm berechnen, so muss man eine der beiden Einheiten umwandeln.
Es bieten sich hier also folgende 2 Möglichkeiten an:
4cm x 25mm = 40mm x 25mm = 1000mm² oder
4cm x 2,5cm = 10cm²
<div>[[Bild:InfoPic.jpg|250px|center]]
'''Die Umrechnungsgrößen sind nicht die gleichen wie bei Streckenlängen!!!'''</div>


== <span style="color:#009ACD">5. Arbeitsauftrag - Check dein Wissen</span> ==
Am obigen Beispiel seht ihr sehr gut, dass das Ergebnis des Produkts der Seitenlängen 4cm und 25mm gleich 1000mm² bzw. 10cm² ist.
Die Tabelle oben zeigt, dass 1cm = 10mm ist. Somit ist 1cm² = 1 (cm x cm) = 1x (10mm x 10mm) = 100mm².
Ebenso gilt für beispielsweise 2dm² = 2 x (dm x dm) = 2 x (10cm x 10cm) = 2 x (100cm²) = 200 cm² und hierfür gilt wiederum:
200 cm² = 200 x (cm x cm) = 200 x (10mm x 10mm) = 200 x (100mm²) = 20000mm²


{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!}}


{{Hinweis Achtung|Vorsicht: Ab Frage 7 auch auf Einheiten achten!}}


<quiz display="simple">
Verdeutlichen wir und dies nochmal anhand einer Tabelle:
 
{| class="wikitable sortable"
!Einheit bei Flächen
!Produkt
!Umrechnung
!
|-
|'''Quadratmillimeter'''
|mm x mm = mm²
|1mm²
|
|-
|'''Zentimeter'''
|cm x cm = cm²
|1cm² = 100mm²
|
|-
|'''Dezimter: dm'''
|dm x dm = dm²
|1dm² = 100cm² = 10000mm²
|
|-
|'''Meter'''
|m x m = m²
|1m² = 100dm² = 10000cm² = 1000000mm²
|
|-
|'''Kilometer'''
|km x km = km²
|1km² = 1000000m² = 100000000dm² = 10000000000cm² = 1000000000000mm²
|
|}
 
====Aufgaben====
 
<div>[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese drei Aufgaben habt ihr 10 Minuten Zeit!'''</div>
 
 
{{Box|1. Aufgabe|
 
Verwandle in die in Klammern angegebene Einheit.
 
a)    8 dm² ( cm² ) 
     
b)  27 m² ( dm² )
         
c)  43 km² ( m² )
             
d)  18 cm² ( mm² )
 
|Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|2. Aufgabe|
 
Drücke in der in Klammern angegebenen Einheit aus.
 
a) 3800 cm² ( dm² )
 
b) 5900 dm² ( m² )
 
c) 470000 m² ( km² )
 
d) 25 km² ( cm² )
 
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1=3. Aufgabe|2=
 
Berechne jeweils den Flächeninhalt der Rechtecke in einer geeigneten Einheit.
 
a) b = 5 cm, c = 70 dm
 
b) a = 1200 mm, b = 9 dm
 
c) c = 5 km, d = 3000 m
 
d) a = 50 cm, d = 200 mm
 
e) a = 1200 dm, b = 15 m (Gib hier den Flächeninhalt in cm² an.)
 
f) b = 5 m, c= 200 cm (Gib hier den Flächeninhalt in dm² an.)
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
==Weitere Arbeitsaufträge==
 
{{Box|1=Anwendungsaufgabe Kinderzimmer|2=
 
<div class="grid">
<div class="width-3-4">
 
Nora und Paul besichtigen die neue Wohnung, in die sie umziehen wollen.
 
Paul misst die beiden Kinderzimmer aus: Das erste ist 5 m lang und 4 m breit, das zweite 6 m lang und 3 m breit.
 
Nora sagt: "Beide Zimmer sind gleich groß, denn 5 plus 4 ist 9 und 6 plus 3 ist auch 9."
 
Was meinst du? Fertigt für eure Lösung im Heft eine Skizze an.
 
</div>
<div class="width-1-4">[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!'''</div>
</div>
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Check dein Wissen|2=
 
<div>[[Bild:UhrPic.jpg|250px|center]]
'''Für diese drei Aufgaben habt ihr 5 Minuten Zeit!'''</div>
 
<div>[[Bild:InfoPic.jpg|250px|center]]
'''Vorsicht: Ab Frage 7 auch auf Einheiten achten!'''</div>
 
<quiz>
{Wie verändern sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man eine Seitenlänge verdoppelt?}
{Wie verändern sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man eine Seitenlänge verdoppelt?}
- Der Flächeninhalt bleibt gleich.
- Der Flächeninhalt bleibt gleich.
Zeile 278: Zeile 434:
</quiz>
</quiz>


== <span style="color:#009ACD">6. Arbeitsauftrag - Anwendungsaufgabe Kinderzimmer</span> ==
|3=Arbeitsmethode}}
 
{{Hinweis Zeit|Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!}}
 
Nora und Paul besichtigen die neue Wohnung, in die sie umziehen wollen.
 
Paul misst die beiden Kinderzimmer aus: Das erste ist 5 m lang und 4 m breit, das zweite 6 m lang und 3 m breit.
 
Nora sagt: "Beide Zimmer sind gleich groß, denn 5 plus 4 ist 9 und 6 plus 3 ist auch 9."
 
Was meinst du? Fertigt für eure Lösung im Heft eine Skizze an.
 
 
= Für die ganz Schnellen bzw. für zu Hause =
Klickt auf den folgenden Link und bearbeitet die Aufgaben zum Flächeninhalt.
{{Vorlage:Hinweis Hausaufgabe1}}
 
[[Benutzer:Markus Bergmann]]
 
 
 
 
 
 
 
 


==Für die ganz Schnellen bzw. für zu Hause==


[[Bild:Haus.jpg|100px|left]]


{{Fortsetzung|weiter=Weitere Aufgaben zum Thema "Umfang und Flächeninhalt vom Rechteck"|weiterlink=Umfang und Flächeninhalt vom Rechteck}}


{{mitgewirkt|
* Engerer, Franziska
* Henkelmann, Lisa
* Hesse, Katharina}}


<br><br>
{{Autoren|Franziska Engerer, Lisa Henkelmann, Katharina Hesse}}


[[Kategorie:Rechtecke]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Flächeninhalte]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:15 Uhr

Lernpfad
Haus.jpg

Zielsetzung: Schüler entdecken Schritt für Schritt die Formel des Flächeninhalts und lernen damit zu rechnen.

Altersstufe: 5. Jahrgangsstufe am Gymnasium

Zeitbedarf: ca. 70 Minuten

Materialen: Computer (mit Java und GeoGebra) und Heft.

Mathematik-digital


Arbeitsaufträge

Kästchen zählen
Ihr kennt bereits die verschiedenen geometrischen Figuren.

Heute wollen wir uns mit dem Flächeninhalt von geometrischen Figuren beschäftigen.

Betrachtet dazu die Zeichnungen und ermittelt, aus wie vielen Kästchen die Rechtecke bestehen.

UhrPic.jpg

Für diese Aufgabe habt ihr 3 Minuten Zeit!

1. Rechteck


Rechteck01.png


Hast du richtig gezählt?

  

Das Rechteck besteht aus ...

16 Kästchen.
18 Kästchen.
20 Kästchen.

2. Rechteck


Rechteck02.png


Hast du richtig gezählt?

Das Rechteck besteht aus ...

8 Kästchen.
6 Kästchen.
7 Kästchen.

3. Rechteck


Rechteck03.png

Hast du richtig gezählt?

Das Rechteck besteht aus ...

8 1/2 Kästchen.
9 Kästchen.
8 Kästchen.

InfoPic.jpg

Vorsicht: Hier müsst ihr auch die halben Kästchen zählen!!!

Zeichnen

Zeichnet ein Rechteck in eurem Heft mit Flächeninhalt 16 Kästchen.

Ihr seht im nächsten Bild 3 verschiedene Rechtecke abgebildet:

Mehrere Rechtecke.png

UhrPic.jpg
Für diese Aufgabe habt ihr 5 Minuten Zeit!


Wie ihr leicht sehen könnt, besteht das Rechteck R1 aus 6 Kästchen. Gleichzeitig sind die Seitenlängen des Rechtecks a = c = 3cm und b = d = 2cm.

Das Rechteck R2 besteht aus 2 Kästchen. Wie sind denn hier die Seitenlängen?

Das Rechteck R3 besteht aus 12 Kästchen. Könnt ihr auch hier die Seitenlängen angeben?

Was fällt euch dabei auf?

Arbeit im Heft

Übertragt die Rechtecke auf vorherigen Aufgabe in euer Heft. Schreibt dabei unter jedes Rechteck die Seitenlängen und den Flächeninhalt.

Aus unseren Beobachtungen sehen wir, dass die Anzahl der Kästchen eines Rechtecks

immer gleich des Produkts der beiden Seitenlängen ist.

UhrPic.jpg
Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!

Wir notieren:

Im Rechteck R1 haben wir die Seitenlängen a = 2 und b = 3 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 3 = 6
Im Rechteck R2 haben wir die Seitenlängen e = 2 und f = 1 und der Flächeninhalt beträgt 2 x 1 = 2
Im Rechteck R3 haben wir die Seitenlängen i = 4 und j = 3 und der Flächeninhalt beträgt 4 x 3 = 12

Daher übertragen wir noch folgenden Satz in unserer Heft

Satz

Flächeninhalt des Rechtecks

  1. Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlängen.
  2. Es gilt also:


InfoPic.jpg
Das F steht hier für Flächeninhalt!!!

Ein anschauliches Beispiel

Zum Schluss könnt ihr nun noch beobachten, wie sich der Flächeninhalt eines Rechtecks ändert, wenn man die Seitenlängen verändert. Wenn ihr die Punkte der Schieberegler e und f nach links und rechts bewegt, ändert sich auch der Flächeninhalt des Rechtecks.

GeoGebra

Andere geometrische Figuren

Wie könnte man den Flächeninhalt von diesen Figuren berechnen ohne die Kästchen zu zählen?

Vieleck1.png

UhrPic.jpg
Für diese Aufgabe habt ihr 8 Minuten Zeit!


Vieleck2.png

Maßeinheiten

Bisher haben wir uns nur mit der Angabe des Flächeninhalt durch Kästchen beschäftigt.

Nun wollen wir uns mit den Maßeinheiten bei Flächenberechnung beschäftigen.

Dazu wollen wir aber erst einmal die Maßeinheiten der Streckenmessung wiederholen.

UhrPic.jpg
Nehmt euch zum Durchlesen der Wiederholung und des Abschnitts "Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks" 8 Minuten Zeit!


Wiederholung

Ihr kennt bereits:

Einheit kurz Umrechnung Grafische Darstellung
Millimeter mm SSS Millimeter.jpg
Zentimeter cm 1 cm = 10 mm Zentimeter.jpg
Dezimter: dm dm 1 dm = 10 cm = 100 mm Dezimeter.jpg
Meter m 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm Meter.jpg
Kilometer km 1 km = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm

Maßeinheiten beim Flächeninhalt des Rechtecks

Betrachten wir nur eine Fläche, zum Beispiel unser lilafarbenes Rechteck von oben. Rechteck22.jpg

Die Seite a ist 2 cm lang (ebenso die Seite c) Die Seite b ist 4 cm lang (ebenso die Seite d)

Aus unserer Formel wissen wir, dass hier gilt F = 2 x 4 = 8. Aber welche Einheit ordnen wir nun unserem Rechteck zu?


Die Seiten a und b (bzw. c und d) können wir in cm angeben. Aber das Ergebnis, eine Fläche, lässt sich nicht durch cm ausdrücken, da eine Fläche nicht gleich einer Strecke ist!!!


Verdeutlichen wir uns das anhand einer Zeichnung.

Hier seht ihr eine Strecke der Länge 8 cm und ein Rechteck mit Flächeninhalt 8 __ .

Rechteck und Fläche.png

An diesem Beispiel könnt ihr erkennen dass die Steckeneinheit "cm" nicht zu der Fläche des Rechtecks passt. Schließlich multiplizieren wir bei einer Fläche ja eine Seitenlänge mit der anderen und rechnen somit auch mm x mm, bzw. cm x cm oder dm x dm ... Daher brauchen wir für die Fläche die Maßeinheiten wie mm², sprich Quadratmillimeter, da wir mm mit mm multiplizieren.


InfoPic.jpg
Man kann nur Seitenlängen mit gleicher Einheit miteinander muliplizieren!!!

Es funktioniert also 5cm x 7cm = 35 cm² zu rechnen. Will man hingegen 4cm x 25 mm berechnen, so muss man eine der beiden Einheiten umwandeln.

Es bieten sich hier also folgende 2 Möglichkeiten an: 4cm x 25mm = 40mm x 25mm = 1000mm² oder 4cm x 2,5cm = 10cm²


InfoPic.jpg
Die Umrechnungsgrößen sind nicht die gleichen wie bei Streckenlängen!!!

Am obigen Beispiel seht ihr sehr gut, dass das Ergebnis des Produkts der Seitenlängen 4cm und 25mm gleich 1000mm² bzw. 10cm² ist. Die Tabelle oben zeigt, dass 1cm = 10mm ist. Somit ist 1cm² = 1 (cm x cm) = 1x (10mm x 10mm) = 100mm². Ebenso gilt für beispielsweise 2dm² = 2 x (dm x dm) = 2 x (10cm x 10cm) = 2 x (100cm²) = 200 cm² und hierfür gilt wiederum: 200 cm² = 200 x (cm x cm) = 200 x (10mm x 10mm) = 200 x (100mm²) = 20000mm²


Verdeutlichen wir und dies nochmal anhand einer Tabelle:

Einheit bei Flächen Produkt Umrechnung
Quadratmillimeter mm x mm = mm² 1mm²
Zentimeter cm x cm = cm² 1cm² = 100mm²
Dezimter: dm dm x dm = dm² 1dm² = 100cm² = 10000mm²
Meter m x m = m² 1m² = 100dm² = 10000cm² = 1000000mm²
Kilometer km x km = km² 1km² = 1000000m² = 100000000dm² = 10000000000cm² = 1000000000000mm²

Aufgaben

UhrPic.jpg
Für diese drei Aufgaben habt ihr 10 Minuten Zeit!


1. Aufgabe


Verwandle in die in Klammern angegebene Einheit.

a) 8 dm² ( cm² )

b) 27 m² ( dm² )

c) 43 km² ( m² )

d) 18 cm² ( mm² )


2. Aufgabe


Drücke in der in Klammern angegebenen Einheit aus.

a) 3800 cm² ( dm² )

b) 5900 dm² ( m² )

c) 470000 m² ( km² )

d) 25 km² ( cm² )

3. Aufgabe

Berechne jeweils den Flächeninhalt der Rechtecke in einer geeigneten Einheit.

a) b = 5 cm, c = 70 dm

b) a = 1200 mm, b = 9 dm

c) c = 5 km, d = 3000 m

d) a = 50 cm, d = 200 mm

e) a = 1200 dm, b = 15 m (Gib hier den Flächeninhalt in cm² an.)

f) b = 5 m, c= 200 cm (Gib hier den Flächeninhalt in dm² an.)

Weitere Arbeitsaufträge

Anwendungsaufgabe Kinderzimmer

Nora und Paul besichtigen die neue Wohnung, in die sie umziehen wollen.

Paul misst die beiden Kinderzimmer aus: Das erste ist 5 m lang und 4 m breit, das zweite 6 m lang und 3 m breit.

Nora sagt: "Beide Zimmer sind gleich groß, denn 5 plus 4 ist 9 und 6 plus 3 ist auch 9."

Was meinst du? Fertigt für eure Lösung im Heft eine Skizze an.

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Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit!


Check dein Wissen
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Für diese drei Aufgaben habt ihr 5 Minuten Zeit!
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Vorsicht: Ab Frage 7 auch auf Einheiten achten!

  

1 Wie verändern sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man eine Seitenlänge verdoppelt?

Der Flächeninhalt bleibt gleich.
Der Flächeninhalt verdoppelt sich
Das Rechteck ist dann viermal so groß.

2 Der Umfang eines Rechtecks bleibt gleich wenn man eine beliebige Seitenlängen a verdoppelt und die andere Seitenlänge halbiert

wahr
falsch

3 Der Flächeninhalt eines Rechtecks bleibt gleich wenn man eine beliebige Seitenlängen a verdoppelt und die andere Seitenlänge halbiert

wahr
falsch

4 Die Werte von Flächeninhalt und Umfang sind beim Quadrat gleich groß

wahr
falsch

5 Der Umfang eines Rechtecks bleibt gleich, wenn man eine Seite um 2cm verkleinert, die andere Seite dafür aber um 2 cm verlängert. (Wichtig: Wir betrachten hier nur Rechtecke, bei denen beide Seiten mindestens 3 cm lang sind!!!)

wahr
falsch

6 Der Flächeninhalt eines Rechtecks bleibt gleich, wenn man eine Seite um 2cm verkleinert, die andere Seite dafür aber um 2 cm verlängert. (Wichtig: Wir betrachten hier nur Rechtecke, bei denen beide Seiten mindestens 3 cm lang sind!!!)

wahr
falsch

7 Die folgenden vier Fragen beziehen sich auf folgenden Sachverhalt: Ein Rechteck ist 4m lang und 9m breit. Welche Aussagen sind richtig?

Der Flächeninhalt beträgt 32m²

wahr
falsch

8 Der Umfang beträgt 26 cm²

wahr
falsch

9 Man kann 18 kleinere Rechtecke mit Flächeninhalt 2m² einbauen.

wahr
falsch

10 Ein Quadrat mit Seitenlänge 6m hat den gleichen Umfang.

wahr
falsch

Für die ganz Schnellen bzw. für zu Hause

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Weitere Aufgaben zum Thema "Umfang und Flächeninhalt vom Rechteck"




Autoren: Franziska Engerer, Lisa Henkelmann, Katharina Hesse

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