Benutzer:Cloehner/Stochastik Einführungsphase NRW/Baumdiagramme und Pfadregeln

Glücksspiel

Bei einem Glücksspiel soll das abgebildete Glücksrad zweimal gedreht werden. Wird zweimal das rote Feld gedreht, so erhält der Spieler einen Kino-Gutschein. Falls das Rad zweimal beim grünen Feld stoppt, erhält er einen Gutschein für ein Eiscafé. Einen Trostpreis gibt es, wenn bei den beiden Drehungen unterschiedliche Farben getroffen werden.

Ergebnisse und Ereignisse beim zweimaligen Drehen des Glücksrads

Bei jeder Drehung des Glücksrades kann ein grünes, rotes oder blaues Feld getroffen werden. Die Ergebnismenge des einmaligen Drehens kann also durch $\Omega_1=\{g;r;b\}$ beschrieben werden.

Info

Zur Beschreibung der Ergebnisse bei mehrstufigen Zufallsversuchen wird auf die Ergebnisse der entsprechenden einstufigen Zufallsversuche zurückgegriffen. Das Ergebnis „Beim ersten Drehen wird das rote Feld getroffen und beim zweiten Drehen ein blaues Feld.” kann dementsprechend kurz durch $(r;b)$ dargestellt werden. (In manchen Büchern findet man auch die Darstellungsweise rr, diese Darstellung versagt jedoch, wenn die Elemente der Ergebnismenge Zahlen sind.)

Aufgabe 1.1

Gib analog zum Beispiel in der Info-Box alle Ergebnisse des zweimaligen Drehens des Glücksrades an. Gib die Ergebnismenge an und bestimme ihre Mächtigkeit.

Bei $(r;b)$ und $(b;r)$ handelt es sich um unterschiedliche Ergebnisse.

Für den Spieler kann das Glücksspiel vier verschiedene Resultate liefern.

Aufgabe 1.2

Formuliere zu den vier möglichen Resultaten passende Ereignisse $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ und $E_4$ in Worten und gib die zugehörigen Teilmengen der Ergebnismenge an.

Das Baumdiagramm zum zweimaligen Drehen des Glücksrades

Zum Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten zu den Ereignissen, die du in Aufgabe 2 formuliert hast, ist das Erstellen eines Baumdiagramms hilfreich.

Aufgabe 1.3

Zeichne das Baumdiagramm zum zweimaligen Drehen des Glücksrades.

Falls du dich nicht mehr an den genauen Aufbau eines Baumdiagramms erinnerst, recherchiere diesen online oder im Mathematik-Buch.

Gleiche dein Diagramm mit der Lösung ab. Kläre bei eventuellen Abweichungen, ob dein Ergebnis auch eine richtige Lösung darstellt, bzw. wo etwas schiefgelaufen ist. Diskutiere ggf. mit deinem Nachbarn.

Die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Gewinnmöglichkeiten

Mithilfe des Baumdiagramms können die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Gewinne, die bei dem Glücksspiel eintreten können, nun auf einfachem Wege berechnet werden.

Aufgabe 1.4

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der vier Ereignisse, die du in Aufgabe 2 formuliert hast.

Die folgende Animation zeigt schrittweise die Vorgehensweise zur Berechnung der Wahrscheinleichkeit des Ereignisses $E:$ Der Spieler erhält einen Kino-Gutschein. (Bzw.: Es wird zweimal das rote Feld getroffen.) Übertrage diese Vorgehensweise auf das zweite Ereignis, zu dem ebenfalls nur ein Ergebnis gehört.

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, zu welchem mehrere Ergebnisse gehören, addiert man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse, die man zuvor wie in Tipp 1 mit der Pfad-Multiplikationsregel berechnen muss.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $\frac{1}{16}$ erhält man eien Kino-Gutschein oder den Gutschein der Eisdiele. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$ erhält man keinen Preis. Wahrscheinlichkeit für einen Trostpreis: $1-\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}=\frac{5}{8}$

Aufgabe 1.5

Erkläre unter Verwendung von Fachbegriffen, warum die Wahrscheinlichkeit für einen Trostpreis in Aufgabe 4 mithilfe des Terms aus der Kontrollösung berechnet werden kann.

Baumdiagramme zu verschiedenen Alltagssituationen

Bauklötze

Aufgabe 2.1

Bearbeite die oben gestellte Aufgabe. Vergleiche dein Ergebnis mit dem eines Mitschülers. Diskutiert eventuelle Unterschiede.

Wenn ihr dem Link zur Quelle der Aufgabe folgt, könnt ihr euch eine Musterlösung ansehen. Vergleicht diese mit euren eigenen Ergebnissen und diskutiert eventuelle Abweichungen.

Aufgabe 2.2

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der letzte (obere) Stein des dreistöckigen Turms Blau ist. Gib das zugehörige Ereignis als Menge an.

Es handelt sich bei dieser Situation um einen Fall des Ziehens ohne Zurücklegen. Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeiten der zweiten und dritten Stufe? Recherchiere gegebenenfalls!

Zu Beginn gibt es insgesamt 5 Bauklötze, drei davon sind rot. Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Stefans Bruder am Anfang einen roten Bauklotz nimmt?

Überlege für jede Stufe: Wie viele Bauklötze sind insgesamt noch da? Wie viele gibt es noch von den einzelnen Farben?

Wenn zuerst ein roter Klotz verwendet wurde, wirkt sich das auf die Wahrscheinlichkeiten für alle drei Farben auf eine bestimmte Weise aus. Bei einem blauen oder grünen Klotz zu Beginn sieht diese Auswirkung jeweils anders aus.

Torwandschießen

Die Sachsituation

Tom, Merle, Theresa und Mark treten beim Torwandschießen gegeneinander an. Tom trifft in 60 % aller Fälle. Bei Merle führt im Durchschnitt jeder zweite Schuss zu einem Treffer. Theresa ist zielsicher und trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 %. Jeder dritte von Marks Schüssen führt nicht zu einem Treffer.

Aufgabe 3.1

Jede der vier Personen gibt einen Schuss auf die Torwand ab. Zeichne zu der Situation ein Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E:$ Mindestens drei der vier Schüsse sind Treffer.

Das Baumdiagramm sollte aus vier Stufen bestehen, bei denen es jeweils die Ergebnisse „Treffer” und „kein Treffer” gibt.

Die Wahrscheinlichkeiten sind für die einzelnen Stufen unterschiedlich und hängen davon ab, wer gerade auf die Torwand schießt.

Die ersten beiden Stufen des Baumdiagramms könnten wie auf der Abbildung aufgebaut sein:

Aufgabe 3.2

Die vier Personen möchten nun in zwei Teams gegeneinander antreten. Wieder schießt jede Person einmal auf die Torwand. Du kannst also das Baumdiagramm aus Aufgabe 3.1 weiter verwenden. Berechne für die verschiedenen möglichen Konstellationen die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass beide Teams gleich viele Treffer erzielen. Bei welcher Team-Zusammensetzung ist der Wettkampf möglichst fair?

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsgrößen - Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Erwartungswerte