Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen

FAQ

Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.

Station 2: Erfahre, wie du aus dem Graphen einer Funktion deren Term ablesen kannst - und mehr!

Kompetenzen

1. Auf dieser Seite lernst du, welche Informationen du aus einem Funktionsgraphen für den Funktionsterm erhältst.
2. Du kannst zu einem gegebenen Funktionsgraphen den richtigen Funktionsterm angeben.
3. Du erkennst im Kontext Anwendungen, die graphisch gegeben sind und kannst sie mathematisch als Formel und Funktionsterm interpretieren.

Hefteintrag: Formuliere eine Überschrift und mache dir Notizen zu den Aufgaben!

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Aufgabe 1

Auf diesem Bild ist ein Graph einer allgemeinen Sinusfunktion (blau) zu sehen. Von diesem sollen nun einige Eigenschaften bestimmt werden. Als Hilfe wurde zusätzlich die Sinuskurve eingezeichnet.

1. Gib die Amplitude des Graphen an!
2. Gib die Wertemenge an!
3. Bestimme die Periode!
4. Gib die Nullstellen der Funktion an!
   
5. An welchen Stellen sind die Funktionswerte am kleinsten und wo sind sie am größten?
   
6. Nenne jeweils einen Bereich in dem der Graph streng monoton fallend bzw. steigend ist!

Amplitude: $a=3$

Wertemenge: $W = [-3;3]$

Periode: $\pi$

Nullstellen: $x_N = \frac{1}{3}\pi+k\cdot \frac{\pi}{2}$ mit $k \in \mathbb{Z}$ oder $x_N \in \{ ...; -\frac{1}{6}\pi;\frac{1}{3}\pi;\frac{5}{6}\pi;\frac{4}{3}\pi;\frac{11}{6}\pi;...\}$

Tiefpunkte: $x_T = \frac{7}{12}\pi + k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ oder $x_T \in \{ ...; -\frac{5}{12}\pi;\frac{7}{12}\pi;\frac{19}{12}\pi;...\}$

Hochpunkte: $x_H = \frac{1}{12}\pi + k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ oder $x_H \in \{ ...; \frac{1}{12}\pi;\frac{13}{12}\pi;\frac{25}{12}\pi;...\}$

streng monoton fallend: $...;[\frac{1}{12}\pi;\frac{7}{12}\pi];[\frac{13}{12}\pi;\frac{19}{12}\pi];...$

streng monoton steigend: $...;[-\frac{5}{12}\pi;\frac{1}{12}\pi];[\frac{7}{12}\pi;\frac{13}{12}\pi];[\frac{19}{12}\pi;\frac{25}{12}\pi];...$

Bestimmung einer Funktionsgleichung aus dem Graphen

Merke

Beachte: Zu einem Graphen kann es mehrere zugehörige Funktionsgleichungen geben! D.h., die Antwort auf die Frage nach einer Funktionsgleichung zu einem gegebenen Graphen muss nicht immer eindeutig sein.

Um zu sehen wie man aus dem Graphen einer Funktion eine zugehörige Funktionsgleichung bestimmen kann, klicke hier.

Methoden

Falls du die Aufgabe 2 zu viert mit Hilfe eines Kreisbriefes bearbeiten möchtest, klicke auf den Button und lese dir die Erklärung durch:

Diese Aufgabe dürft ihr zu viert bearbeiten. Sprecht euch dazu ab, wer zu welchem Graphen (unterschiedliche Farben) einen Funktionsterm bestimmen möchte. Dabei soll jeder einen anderen Graphen auswählen und die entsprechende Farbe oben auf einem Blatt notieren. Nun löst jeder seine Aufgabe auf dem Blatt und faltet es danach so, dass man zwar die gewählte Farbe lesen kann, aber nicht die Lösung. Nun tauscht ihr die Zettel innerhalb eurer Gruppe aus und bestimmt eine Funktionsgleichung zum neuen Graphen. Jetzt wieder falten und weiterreichen, usw. Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit. Je nachdem wie schnell ihr seid, wird es auf jedem Zettel zwei bis vier Lösungsmöglichkeiten geben. Nach 10 Minuten Bearbeitungszeit dürft ihr also die Zettel auffalten und alles lesen. Ihr habt nun fünf Minuten Zeit um über die Lösungsmöglichkeiten zu diskutieren.

Ansonsten ignoriere diesen Punkt und los geht's mit Aufgabe 2.

Aufgabe 2

Bestimme zu folgenden Graphen je einen zugehörigen Funktionsterm der Form $x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d$.

Jetzt noch was zum Knobeln!!!

Aufgabe 3

1. In diesem Applet (Bitte klicke dann auf Graphen erkennen 3!) kannst zu zeigen, ob du zu den gegebenen Graphen den zugehörigen Term findest.
2. Gib einen Funktionsterm zu dem Graphen an, den man erhält, falls die Sinuskurve um zwei nach links und um 3 nach oben verschoben wird! Wie lautet die Gleichung, falls zusätzlich die Periode halbiert werden soll?

Anwendungsbeispiel - Erdbeben

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt dir, wie man die Bewegung eines schwingenden Objekts mit Hilfe eines Streifen Papier, der an ihm mit konstanter Geschwindigkeit vorbei gezogen wird, "festhalten kann". Auf diese Weise kann die Auslenkung als Funktion der Zeit aufgezeichnet werden. Nach diesem Prinzip können beispielsweise die Schwingungen, die ein Erdbeben auslöst, protokolliert werden. Die folgende Abbildung zeigt ein solches "Protokoll".

• Wie viele Einzelschwingungen führt das Objekt pro Sekunde aus?

Diese Zahl gibt die "Frequenz" an, wenn beispielsweise 100 Einzelschwingungen pro Sekunde stattfinden, so sagt man, die Schwingung hat eine Frequenz von 100 Hertz und schreibt $f=100 Hz$. Unter "einer Einzelschwingung" ist dabei ein vollständiges Durchlaufen einer Periode, ein "hin und her" gemeint.

• Stelle die Funktionsgleichung der Schwingung auf!

Super! Nun hast du es geschafft und das Ende der zweiten Station erreicht.

Hefteintrag: Lies dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alles Wichtige notiert hast! Beachte, dass in dem Merke-Kasten ein Hefteintrag versteckt ist!

Falls du noch etwas üben möchtest, so löse die Zusatzaufgabe!

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Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe

In dem unteren Bild sind die Sinuskurve (rot) und ein Graph einer allgemeinen Sinusfunktion (blau) zu sehen.

1. Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?
   
2. Stelle in der Zeichnung fest, an welchen Stellen der schwarze Graph Nullstellen besitzt und notiere sie!
   
3. Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte bzw. Tiefpunkte?
   
4. Wo ist er streng monoton fallend bzw. steigend?

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Anwendungen