Quelltext der Seite Lineare Funktionen/Station 2

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__NOTOC__
== Steigung einer Geraden  ==
[[Datei:Steigung 01.png|left|180px|Steigung einer Gerade]]
In Station 1 hast du dir noch einmal bewusst gemacht, dass Geraden im Koordinatensystem unterschiedlich steil verlaufen können.

Wie steil eine Gerade verläuft, gibt die sogenannte '''Steigung der Geraden''' an.

Wie du ebenfalls in Station 1 gesehen hast, enthält die Steigung einer Geraden wichtige Informationen darüber, wie schnell bzw. wie stark sich Größen in einer betrachteten Situation ändern.



'''In dieser Station lernst du, wie man die Steigung einer Geraden bestimmen und Geraden mit einer gewünschten Steigung zeichnen kann.'''


=== 2.1 Fürs Gefühl ===
Folgende App soll dir helfen, zunächst ein Gefühl dafür zu entwickeln, wie der Wert der Steigung mit der Lage der Geraden zusammenhängt. 

{{Box|Wie geht das?|
Bewege den Schieberegler um die Steigung der Geraden zu verändern. Beobachte genau, wie zu einem Wert der Steigung die Gerade im Koordinatensystem verläuft! Wenn du fertig bist, scrolle nach unten, dann geht es weiter im Lernpfad.
|Hervorhebung1}}

<ggb_applet id="G24kK3Eg" width="100%" height="450" border="888888" />


Überprüfe, ob du die richtigen Erkenntnisse gezogen hast!

<center>{{LearningApp|app=pi5g2shxc01|width=70%|height=370px}}</center>

== 2.2 Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden? ==
Nachdem du nun erfahren hast, wie der Wert der Steigung und die Lage einer Geraden im Koordinatensystem zusammenhängen, stellt sich jetzt die Frage, wie man denn den Wert der Steigung bestimmen kann!

{{Box-spezial
|Titel= Frage
|Inhalt= [[Datei:Verkehrsschild Steigung.png|150px|right|Steigung von 100%]]
Dein Cousin zeigt dir auf seinem Smartphone das unten dargestellte Foto. 
Er behauptet: "Diesen Berg bin ich gestern mit meinem Mountainbike hochgefahren!" 
Was sagst du dazu?  Wie stehst du zur Aussage deines Cousins?
|Farbe=   #cccccc      
|Icon= {{Icon question}}     
}}

<div class="multiplechoice-quiz">
Mein Cousin ... (!...ist ein großer Lügner!) (...fährt oft Mountainbike, schon möglich, dass er so einen Berg raufgekommen ist.) (!... wäre höchstens da raufgekommen, wenn er geklettert wäre!)
</div>



Um das Verkehrsschild zu verstehen, ist es wichtig zu wissen, '''wie denn eine Steigung überhaupt festgelegt''' ist. 

{{Box|Aufgabe 4|Betrachte die "versteckte" Grafik. 
'''Erkläre in einem Satz''', was eine Steigung von 100% ausdrückt und notiere diesen Satz in dein '''Schulheft'''. 
|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Steigung_Straße.png|600px|center|Steigung]]|Grafik anzeigen|Grafik verstecken}}


Die Steigung von Geraden bestimmt man allgemein genauso wie die Steigung von Straßen, nämlich mithilfe von '''Steigungsdreiecken.'''


Um das genauer zu erforschen, bearbeite bitte folgende App:

{{Box|Wie geht das?|
#Bewege die Punkte P und Q auf der Geraden. Beobachte, wie sich der Quotient zur Berechnung der Steigung dabei verändert. 
#Verändere mit dem Schieberegler die Steigung der Geraden und versuche das Steigungsdreieck so einzustellen, dass die Koordinaten der Punkte P und Q gut abzulesen sind.|Hervorhebung1}}

<ggb_applet id="HdnyzJVd" width="100%" height="450" border="888888" />

[[Datei:Search-1013910 1920.jpg|150px|Untersuchen]]

'''Prüfe dich!'''
<div class="multiplechoice-quiz">
Welche Antworten sind richtig? (!Die Steigung hängt davon ab, wo die Punkte P und Q auf der Geraden liegen.) (Je größer \<math>Delta y</math> bei gleichem \<math>Delta x</math> ist, desto größer ist die Steigung.) (Zur Berechnung der Steigung ist es vollkommen egal, wo auf der Gerade das Steigungsdreieck liegt.) (Das Steigungsdreieck ist immer rechtwinklig!)
</div>

{{Box|1=Merke|2=
Die Steigung einer Geraden bestimmt man mithilfe eines '''Steigungsdreiecks'''.
*Wähle zwei ''beliebige'' Punkte P und Q auf der Geraden aus, am besten so, dass man die Koordinaten gut ablesen kann.
*Lege das Steigungsdreieck in diesen Punkten an die Gerade an.
*Berechne die Steigung m:
<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>


'''Unterscheide drei Fälle''':
{{3Spalten|
<math>m>0 </math> Gerade steigt nach rechts an
[[Datei:Steigung positiv.png|200px|Steigung positiv]]
|
<math>m=0 </math> Gerade parallel zur x-Achse
[[Datei:Steigung Null.png|200px|Steigung Null]]
|
<math>m<0</math> Gerade fällt nach rechts ab
[[Datei:Steigung negativ.png|200px|Steigung negativ]]
}}
|3=Merksatz}}



{{Box|Aufgabe|Übernimm bitte auch folgende Beispiele in dein Schulheft!|Arbeitsmethode}}
<div style="  border: 2px solid darkred; background-color:#ffffff; align:center; padding:7px;">
<br>
{|
|'''Beispiel 1'''
|
|'''Beispiel 2'''
|-
|[[Datei:Steigungsdreieck 1.png|links|350x350px|Steigung]]
| style="text-align:center; width:100px" |
|[[Datei:Steigungsdreieck negativ.png|310px|left|Steigung]]
|-
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{3 - 1}{6 - 2}=\frac{2 }{4}=0,5</math>
|
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{-6 - (-2)}{3 - 1}=\frac{-4}{2}=-2</math>
|-
| style="height:80px" | oder
|
|
|-
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q_1} - y_{P_1}}{x_{Q_1} - x_{P_1}}=\frac{5 - 4}{10 - 8}=\frac{1 }{2}=0,5</math>
|
|
|}
</div>


{{Box|Aufgabe|Schätze doch mal ab, wie groß die Steigung war, die dieser Audi Quattro vor 30 Jahren bereits erkommen hat!
|Arbeitsmethode}}


{{#ev:youtube|3YJ1Nchw_v4|800|center}}


{{Lösung versteckt|Die Steigung betrug 80% oder 0,8!|tatsächlicher Wert|verstecken}}



{{Box|Übung 4|Wie groß ist die Steigung?|Üben}}

Führe die Übung in der App durch. '''Notiere deine Überlegungen und Berechnungen ins Übungsheft!!'''

In der App musst du Dezimalzahlen nicht mit Komma, sondern''' mit Punkt eintragen'''! Wenn es dir hilft, kannst du die Darstellungen auch in dein Heft übernehmen, um dort das Steigungsdreieck einzuzeichnen.


<ggb_applet id="vQBEzxd7" width="100%" height="450" border="888888" />

<div class="grid">
 <div class="width-1-6">[[Datei:Question-mark-1019922 1920.jpg|200px|Fragen über Fragen]]</div>
 <div class="width-5-6">Hast du '''Probleme''' zu verstehen, wie man die Steigung bestimmt'''?''' Dann kannst du hier <br>[http://ggbtu.be/m2061805 <u>hier</u>] die Steigungsbestimmung nochmal Schritt für Schritt nachzuvollziehen! <br>
'''Keine Probleme?''' Dann kannst du einfach weitermachen! :)] </div>
</div>


== 2.3 Zeichnen einer Geraden unter Ausnutzung der Steigung == 
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der umgehehrten Fragestellung:

{{Box-spezial
|Titel= Frage
|Inhalt= Überlege: Wie kannst du deine Kenntnisse nutzen, um eine Ursprungsgerade mit vorgegebener Steigung zu zeichnen, ohne dass du erste eine Wertetabelle anlegen musst?

'''Beispiel:''' Zeichne eine Ursprungsgerade mit der Steigung <math>m=\frac{3}{5}</math>!
{{Lösung versteckt|
Gehe ganz grob umgekehrt vor wie oben:
# Du musst zunächst einen Punkt kennen, der auf der Geraden liegt (Tipp: Ursprungsgerade!)
# Da die Steigung gegeben ist, kennst du <math>\Delta x</math> und <math>\Delta y</math>.
# Damit kannst du vom gegebenen Punkt aus das Steigungsdreieck zeichnen und erhältst so einen zweiten Punkt.
# Da eine Gerade durch zwei Punkte festgelegt ist, musst du jetzt nur noch die beiden Punkte verbinden.
|Idee Anzeigen|Idee Verbergen}}
Du hast die Idee nicht verstanden? Kein Problem, in diesem Fall kannst du es dir [http://ggbtu.be/m2062563 hier] nochmal ausführlich erklären lassen!
|Farbe=   #cccccc      
|Icon= {{Icon question}}     
}}



{{Box|Aufgabe 5|*Zeichne in deinem Schulheft eine Ursprungsgerade mit der Steigung <math>m=\frac{3}{5}</math> in ein Koordinatensystem ein.
*Schreibe in deinen eigenen Worten stichpunktartig auf, wie du '''allgemein''' vorgehen musst. Wenn du dir nicht sicher bist, kannst du dir die "Idee" oben anzeigen lassen.|Arbeitsmethode}}


Wenn du nicht sicher bist ob deine Lösung stimmt vergleiche mit folgendem Beispiel:
<ggb_applet id="RAYbEfNH" width="100%" height="450" border="888888" />


{{Fortsetzung|weiter=Aufgaben zur Station 2|weiterlink=/Übung}}

[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Lineare Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:GeoGebra]]