ZUM-Unterrichten:Lernpfad Funktionsscharen

Lernpfad Funktionsscharen

Hallo! Hier kannst du dir das Thema "Funktionsscharen" selbstständig erarbeiten.

Funktionsscharen allgemein

Aufgabe

Schaue dir das folgende Video an.

Formuliere im Anschluss eine Definition in eigenen Worten, was eine Funktionsschar ist. Vergleiche im Anschluss mit der folgenden Definition und ergänze gegebenenfalls.

Ein Funktionsterm kann neben der Variablen x auch einen Parameter a enthalten. In diesem Fall ergibt sich für jeden Wert von a eine eigene Funktion. Die Menge all dieser Funktionen heißt Funktionenschar f_a

Funktionsscharen sind also Klassen von Funktionen, die im Grunde gleich aufgebaut sind, sich aber durch einen Parameter unterscheiden.

Du kannst dir das beispielsweise bei der folgenden Funktion $f (x) = x^{2} + a$ anschauen:

Nullstellen-, Extrem- und Wendestellenberechnung von Funktionsscharen

Die oben genannten Stellen bei Funktionsscharen kannst du so berechnen, wie du es bisher auch kennengelernt hast.

Schauen wir uns dafür zunächst ein Beispiel an: $f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x^{2}; a \neq 0$

Aufgabe

Gib zunächst die Funktionsschar in das unten stehenden Applet ein und treffe eine Aussage über die Nullstellen.

Nullstellen

Gehe genauso vor, wie du es sonst auch machen würdest. Lass dich vom Parameter a nicht irritieren!

Aufgabe

Berechne die Nullstellen der Funktion. Tipp: Wende den Satz vom Nullprodukt an.

Die Nullstellen lauten x₁ = 0 und x₂ = 3a

Extremstellen

Zunächst musst du die Funktion ableiten. Wie oben bereits erwähnt, behandelst du a wie eine konstante Zahl. Die ersten beiden Ableitungen der Funktion $f (x)$ lautet demnach

$f'_{a} (x) = 3 x^{2} - 6 a x$

$f''_{a} (x) = 6 x - 6 a$

$f'''_{a} (x) = 6$ .

Wie bisher setzen wir

f'_{a} (x) = 0

, um die Extremstellen zu bestimmen.

Aufgabe

Berechne' die Extremstellen selbstständig und vergleiche im Anschluss mit der Lösung.

'

Die Extremstellen der Funktion lauten x=0 mit f"_a(0)=-6a und x=2a mit f"_a(2a)=6a

Jetzt kommt ein entscheidender Unterschied zu der Kurvendiskussion, die du bisher kennengelernt hast. Da der Parameter a variabel ist, müssen wir uns nun überlegen, wie die Wahl des Parameters die zweite Ableitung beeinflusst. Je nachdem, wie wir a wählen, könnte aus der Extremstelle entweder ein Hoch- oder Tiefpunkt werden. Du kannst, um dir das besser vorzustellen, versuchsweise verschiedene ganze Zahlen für a einsetzen und das Ergebnis entsprechend interpretieren. Es muss also eine Fallunterscheidung getroffen werden.

So oder so folgt nun aus unserer Berechnung folgendes:

a ist kleiner als Null

Beispiel: $a = - 2 ⟹ f_{a}'' (x) = 6 x - (6 \cdot (- 2)) = 6 x + 12$

Da $f_{a}'' (0) > 0$ für jedes $a < 0$ gilt ( $f''_{- 2} (0) = 6 \cdot 0 - 6 \cdot (- 2) = 12$ ), befindet sich bei dieser Funktionsschar an der Stelle $x = 0$ ein Tiefpunkt $T (0 / 0)$

( $f_{a} (0) = 0^{3} - 3 \cdot a \cdot 0^{2} = 0$ ).

Da $f''_{a} (2 a) < 0$ für jedes $a < 0$ gilt ( $f''_{- 2} (2 \cdot (- 2)) = 6 \cdot (- 4) - 6 \cdot (- 2) = - 12$ ), befindet sich bei dieser Funktion an der Stelle $x = 2 a$ ein Hochpunkt $H_{a} (2 a ∣ - 4 a^{3})$

( $f_{a} (2 a) = 2 a^{3} - 3 \cdot a \cdot 2 a^{2} = - 4 a^{3}$ ).

a ist größer als Null

Aufgabe

Gib nun genauso an, ob sich an den Extremstellen ein Hoch- oder Tiefpunkt befindet, wenn $a > 0$ gilt. Vergleiche im Anschluss mit der Lösung.

'

Für

a > 0 : f''_{a} (0) < 0

und

f''_{a} (2 a) > 0

. Es befinden sich demnach ein Hochpunkt

H (0 / 0)

und ein Tiefpunkt

T_{a} (2 a / - 4 a^{3})

an den beiden Stellen.

Wendestellen

Berechnen wir nun in einem letzten Schritt die Wendestellen der Funktionsschar. Dafür muss (wie auch bereits bekannt) $f''_{a} (x) = 0$ gelten.

$f''_{a} (x) = 6 (x - a) = 0$ .

Aus der Gleichung folgt $x = a$ . Es liegt also ein Wendepunkt $W_{a} (a / - 2 a^{3})$ vor.

Übung

Aufgabe

Bearbeite nun im Buch auf S.224 (Analysis) Nr. 1,2,4,6

Aufgabe 1:
a) $a = 1$ ,
b) $a = 2$ ,
c) $a = - \frac{3}{2}$ ,

d)für kein

a

möglich

Aufgabe 2:
a) alle Graphen gehen durch $(0 ∣ 0)$ , $a < 0 :$ mit kleiner werdendem a nähern sich Graphen der y-Achse, $a = 0 :$ der Graph entspricht der x-Achse, $a > 0 :$ der Graph hat zwei Extrema (Hoch- und Tiefpunkt) und wird mit größer werdendem a in y-Richtung gestreckt

b) a "streckt" den Graphen in y-Richtung, hat dabei auch Einfluss auf die Nullstellen (1, 2 oder 3). Der Parameter hat auch einen Einfluss auf die Extremstellen (0 oder 2).
< br>

a) $f_{k}' (x) = 2 k x - 2 k^{2}$ und $f_{k}'' (x) = 2 k$
b) $f_{a}' (x) = 36 a^{2} x^{2} - \frac{a}{x^{2}}$ und $f_{a}'' (x) = 72 a^{2} x + \frac{2 a}{x^{3}}$
c) $f_{b}' (x) = 21 b^{2} x^{2} + 28 b x$ und $f_{b}'' (x) = 42 b^{2} x + 28 b$

d)

f_{p}' (x) = 2 p c o s (x)

und

f_{p}'' (x) = - 2 p s i n (x)

a) $a \neq 0 : N_{1} (0 ∣ 0), N_{2} (3 a ∣ 0) E_{1} (2 a ∣ - a^{3}), E_{2} (0 ∣ 0) W (a ∣ \frac{- 1}{2 a^{3}}) a = 0 : N (0 ∣ 0); W (0 ∣ 0)$
b) $a \neq 0 : N_{1} (0 ∣ 0), N_{2} (\frac{3}{2} a ∣ 0) E_{1} (a ∣ - a^{5}), E_{2} (0 ∣ 0) W (\frac{1}{2} a ∣ \frac{- 1}{2} a^{5}) a = 0 : f_{a} (x) = 0$
c) $a \neq 0 : N_{1} (0 ∣ 0), N_{2} (\sqrt{2 a^{2}} ∣ 0), N_{3} (- \sqrt{2 a^{2}} ∣ 0) T_{1} (a ∣ - \frac{1}{4} a^{4}), T_{2} (- a ∣ - \frac{1}{4} a^{4}), H (0 ∣ 0) W_{1} (\sqrt{\frac{1}{3} a^{2}} ∣ - \frac{5}{36} a^{4}), W_{2} (- \sqrt{\frac{1}{3} a^{2}} ∣ - \frac{5}{36} a^{4}) a = 0 : N (0 ∣ 0), T (0 ∣ 0)$

d)

N_{1} (\frac{1}{∣ a ∣} ∣ 0); N_{2} (- \frac{1}{∣ a ∣} ∣ 0) T (o ∣ - \frac{3}{a^{2}})

, keine Wendepunkte

Ortskurven

Ortskurven gehören zu den Funktionsscharen dazu. Du weißt mittlerweile, dass die Lage der Extrem- und Wendepunkte der Graphen einer Funktionsschar durch den Parameter a bestimmt werden kann. Beispielsweise haben die Graphen der Funktionenschar $f_{a} (x) = 2 a x - x^{2}$ die Hochpunkte $H_{a} (a ∣ a^{2})$ . Im Koordinatensystem liegen die Hochpunkte alle auf der Parabel $p (x) = x^{2}$ . Die Parabel legt die Orte der Hochpunkte fest und heißt daher auch Ortskurve der Hochpunkte. Schau dir dafür auch noch einmal zur Vertiefung dieses Video an:

Aufstellen einer Gleichung einer Ortskurve

Gegeben ist die Funktionsschar $f_{a} (x) = \frac{1}{2} x^{4} - a x^{2}$ für $a > 0$ . Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve durch die Tiefpunkte der Graphen von $f_{a}$ .

Aufgabe

Bestimme die Tiefpunkte der Funktionenschar.

T_{1} (\sqrt{a} ∣ - \frac{a^{2}}{2}); T_{2} (- \sqrt{a} ∣ - \frac{a^{2}}{2})

Als nächstes musst du die Gleichung für die x-Koordinate nach a umstellen. Setze dafür den Term für a in die Gleichung für die y-Koordinate ein und vereinfache diese. Dadurch entsteht die Gleichung für die Ortskurve.

$x = u (a) = \pm \sqrt{a}$ und $y = v (a) = - \frac{a^{2}}{2}$
$a = x^{2}$ einsetzen in $v (a)$
$y = v (x^{2}) = - \frac{(x^{2})^{2}}{2} = - \frac{x^{4}}{2}$
Die Gleichung der Ortskurve lautet also $t (x) = - \frac{x^{4}}{2}$

Übung Ortskurve

Aufgabe

Löse im Buch auf S.226 Nr. 11 - 13

a)

t (x) = 2 x

b)

w (x) = x^{2}

c)

w (x) = \frac{1}{2} x^{2}

a)

t (x) = 2 x

b)

w (x) = \frac{1}{2} x^{3}

c)

h (x) = \sqrt{x}

d)

s (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}

a)

H_{1}_{/}_{2} (\pm \sqrt{2 a} ∣ a^{2} - 1) h (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 1

b)

W = (- 2 a ∣ \frac{14}{3} a^{3}) w (x) = \frac{7}{12} x^{3}

c)

E_{1}_{/}_{2} (\pm \sqrt{a} ∣ \pm 2 \sqrt{a}) e (x) = 2 x

d)

E = (\frac{1}{4} a^{2} ∣ \frac{1}{4} a) e (x) = \frac{1}{2} \sqrt{x}

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Lernpfad Funktionsscharen

Funktionsscharen allgemein

Nullstellen-, Extrem- und Wendestellenberechnung von Funktionsscharen

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Ortskurven

Aufstellen einer Gleichung einer Ortskurve

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