Zentrische Streckung/Eigenschaften der zentrischen Streckung

Vorlage:Lernpfad-M

1. Station: Geradentreue und Parallelentreue

• Die zentrische Streckung ist geradentreu, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
• Parallelentreu ist sie dann, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.

Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z

auf den Punkt P' abgebildet.

Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt. Was stellst du fest?

Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.

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2. Station: Längentreue, Winkeltreue und Flächeninhaltstreue

• Die zentrische Streckung ist längentreu, wenn alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
• Sie ist winkeltreu, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
• Flächeninhaltstreu ist sie dann, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.

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A_$\Delta$ABC = 0,5 ∙ AB ∙ h
A_{$\Delta$A'B'C'} = 0,5 ∙ A'B' ∙ h'
A_{$\Delta$A'B'C'} = 0,5 ∙ |k| ∙ AB ∙ |k| ∙ h
A_{$\Delta$A'B'C'} = |k|² ∙ 0,5 ∙ AB ∙ h
A_{$\Delta$A'B'C'} = |k|² ∙ A_$\Delta$ABC

3. Station: Kreistreue

Die zentrische Streckung ist kreistreu, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.

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4. Station: Zusammenfassung

Übertrage die Zusammenfassung in dein Heft.

Eigenschaften der zentrischen Streckung
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine Fixgerade.
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist parallelentreu.
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also nicht längentreu.
Die zentrische Streckung ist geradentreu, winkeltreu und kreistreu.
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das |k|²-fache des Flächeninhalts der Urfigur. (A_{$\Delta$A'B'C'} = |k|² ∙ A_$\Delta$ABC)
Die zentrische Streckung ist deshalb nicht flächeninhaltstreu.