Vektorrechnung/WHG Q1 Vermischte Übungen zu Vektoren

Übung

Auf dieser Seite finden Sie vermischte Übungen zum Rechnen mit Vektoren.

Im Rahmen unterschiedlicher Aufgabentypen können Sie Ihr neu erworbenes Wissen vertiefen.

Ortsvektoren

Bestimmen Sie den Ortsvektor des Punktes $A$, indem Sie Anfangs- und Endpunkt des Pfeiles bewegen.

Der Weg durch das Labyrinth - Vektoren zeichnen

• Zeichnen Sie mit Hilfe von Vektoren einen lückenlosen Weg durch das Labyrinth vom Start- zum Zielpunkt ein. Geben Sie dazu im Eingabefeld die Vektoren einzeln in folgender Schreibweise ein: Vektor(($a_{1}$, $a_{2}$), ($b_{1}$, $b_{2}$)) $-$ Dies beschreibt den Vektor vom Punkt $A(a_{1}|a_{2})$ zum Punkt $B(b_{1}|b_{2})$.

• Begründen Sie anschließend, welche der Pfeile zum selben Vektor gehören.

Vektoren im Koordinatensystem

Gegeben ist der Vektor ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}}$.

• Zeichnen Sie drei Pfeile, die den Vektor ${\vec {a}}$ repräsentieren, in ein Koordinatensystem.
• Es gilt: ${\vec {a}}={\vec {PP'}}$ mit $P(-5|3)$ bestimmen Sie die Koordinaten von $P'$.
• Es gilt: ${\vec {a}}={\vec {QQ'}}$ mit $Q'(1|-5)$ bestimmen Sie die Koordinaten von $Q$.

• -
• Geht man von $P$ aus drei Einheiten in Richtung der $x_{1}$-Achse und anschließend eine Einheit in Richtung der $x_{2}$-Achse, so erreicht man $P'$: $P'(-5-3|3+1)$ bzw. $P'(-8|4)$.
• Geht man von $Q'$ aus drei Einheiten in Richtung der $x_{1}$-Achse und anschließend eine Einheit gegen die Richtung der $x_{2}$-Achse, so erreicht man $Q$: $Q(1+3|-5-1)$ bzw. $Q(4|-6)$.

Parallelogramm im Raum

Überprüfen Sie, ob die Punkte $A(2|3|4)$, $B(4|-1|2)$, $C(3,25|-0,3|8)$ und $D(1,25|3,7|10)$ die aufeinanderfolgenden Ecken eines Parallelogramms $ABCD$ darstellen.

Die Abbildung verdeutlich, dass es genügt zu überprüfen, ob ${\vec {AB}}={\vec {DC}}$ (bzw. ${\vec {AD}}={\vec {BC}}$) gilt:

${\vec {AB}}={\begin{pmatrix}4-2\\-1-3\\2-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-4\\-2\end{pmatrix}}$;

${\vec {DC}}={\begin{pmatrix}3,25-1,25\\-0,3-3,7\\8-10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-4\\-2\end{pmatrix}}$;

also gilt ${\vec {AB}}={\vec {DC}}$.

Folglich stellen $A$, $B$, $C$ und $D$ die Ecken eines Parallelogramms dar.

Verschiebung geometrischer Objekte

Ein Vektor, der an allen Eckpunkten eines Dreiecks anliegt, führt eine Verschiebung aus.

• Notieren Sie die Koordinaten des Dreiecks $A_{1}B_{1}C_{1}$ sowie den Vektor ${\vec {s}}$, der die Verschiebung festlegt. Stellen Sie den Vektor ${\vec {s}}$ anschließend auf ${\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$ ein. Geben Sie die Koordinaten des Dreiecks $A_{1}B_{1}C_{1}$ an.

$A_{1}(4|2)$, $B_{1}(5|6)$, $C_{1}(1|7)$.

• Stellen Sie nun die Punkte $A(-1|-2)$, $B(2|4)$ und $C(-3|5)$ sowie den Vektor ${\vec {s}}={\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}}$ ein.
• Geben Sie die Koordinaten des Dreiecks $A_{1}B_{1}C_{1}$ an.

$A_{1}(6|-1)$, $B_{1}(9|5)$, $C_{1}(4|6)$.

Definition (Orts-)Vektor

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