Vektorrechnung/WHG Q1 Vermischte Übungen zu Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen

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====Vektorsumme aus Koordinaten berechnen====
====Ortsvektoren====
Berechnen Sie aus den angezeigten Koordinaten der Vektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> die zugehörige Summe. Zeichnen Sie anschließend den Vektor <math>\vec{w}</math> so ein, dass er der Summe von <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> entspricht. Dazu ist es sinnvoll <math>\vec{w}</math> als Ortsvektor einzuzeichnen, weil sich die Koordinaten von <math>\vec{w}</math> so besser ablesen lassen. Ihnen wird angezeigt, wenn <math>\vec{w}</math> richtig eingezeichnet ist.
Bestimmen Sie den Ortsvektor des Punktes <math>A</math>, indem Sie Anfangs- und Endpunkt des Pfeiles bewegen.
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<ggb_applet enablerightclick="false" showalgebrainput="false" enableshiftdragzoom="true" width="800" height="620" id="Jbn2vVUY" />
<ggb_applet width="800" height="620" id="CgwMFMcC" />
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====Grafische Vektoraddition/-subtraktion====
====Der Weg durch das Labyrinth - Vektoren zeichnen====
Ermitteln Sie das Ergebnis des angegebenen Terms, indem Sie die jeweiligen Vektoren in der richtigen Reihenfolge aneinander schieben. Verschieben Sie anschließend Start- und Endpunkt des Vektors <math>\vec{s}</math> an die richtigen Positionen, um diesen zu bestimmen. (<math>\vec{s}</math> wird erst angezeigt, wenn der Term korrekt nachgelegt worden ist.)
 
*Zeichnen Sie mit Hilfe von Vektoren einen lückenlosen Weg durch das Labyrinth vom Start- zum Zielpunkt ein. Geben Sie dazu im Eingabefeld die Vektoren einzeln in folgender Schreibweise ein: ''Vektor((<math>a_1</math>, <math>a_2</math>), (<math>b_1</math>, <math>b_2</math>))'' <math>-</math> Dies beschreibt den Vektor vom Punkt <math>A(a_1|a_2)</math> zum Punkt <math>B(b_1|b_2)</math>.
 
*Begründen Sie anschließend, welche der Pfeile zum selben Vektor gehören.
 
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<ggb_applet width="800" height="620" id="GnKKtuax" />
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<ggb_applet width="800" height="620" id="zpnf5wqm" />
 
====Vektoren im Koordinatensystem====
Gegeben ist der Vektor <math>\vec{a}=\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}</math>.
 
*Zeichnen Sie drei Pfeile, die den Vektor <math>\vec{a}</math> repräsentieren, in ein Koordinatensystem.
*Es gilt: <math>\vec{a}=\vec{PP'}</math> mit <math>P(-5|3)</math> bestimmen Sie die Koordinaten von <math>P'</math>.
*Es gilt: <math>\vec{a}=\vec{QQ'}</math> mit <math>Q'(1|-5)</math> bestimmen Sie die Koordinaten von <math>Q</math>.
 
{{Lösung versteckt|
*-
*Geht man von <math>P</math> aus drei Einheiten in Richtung der <math>x_1</math>-Achse und anschließend eine Einheit in Richtung der <math>x_2</math>-Achse, so erreicht man <math>P'</math>: <math>P'(-5-3|3+1)</math> bzw. <math>P'(-8|4)</math>.
*Geht man von <math>Q'</math> aus drei Einheiten in Richtung der <math>x_1</math>-Achse und anschließend eine Einheit gegen die Richtung der <math>x_2</math>-Achse, so erreicht man <math>Q</math>: <math>Q(1+3|-5-1)</math> bzw. <math>Q(4|-6)</math>.
}}
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====Parallelogramm im Raum====
Überprüfen Sie, ob die Punkte <math>A(2|3|4)</math>, <math>B(4|-1|2)</math>, <math>C(3,25|-0,3|8)</math> und <math>D(1,25|3,7|10)</math> die aufeinanderfolgenden Ecken eines Parallelogramms <math>ABCD</math> darstellen.
{{Lösung versteckt|
{{2Spalten|
[[Datei:0 Abbildung 4.png|100|Abbildung 4]]
|
Die Abbildung verdeutlich, dass es genügt zu überprüfen, ob <math>\vec{AB}=\vec{DC}</math> (bzw. <math>\vec{AD}=\vec{BC}</math>) gilt:
<math>\vec{AB}=\begin{pmatrix}4-2\\-1-3\\2-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\-2\end{pmatrix}</math>;
<math>\vec{DC}=\begin{pmatrix}3,25-1,25\\-0,3-3,7\\8-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\-2\end{pmatrix}</math>;
also gilt <math>\vec{AB}=\vec{DC}</math>.
Folglich stellen <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> die Ecken eines Parallelogramms dar.
}}
}}
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====Verschiebung geometrischer Objekte====
Ein '''Vektor''', der an allen Eckpunkten eines Dreiecks anliegt, führt eine '''Verschiebung''' aus.
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{{2Spalten|
*Notieren Sie die Koordinaten des Dreiecks <math>A_1 B_1 C_1</math> sowie den Vektor <math>\vec{s}</math>, der die Verschiebung festlegt. Stellen Sie den Vektor <math>\vec{s}</math> anschließend auf <math>\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}</math> ein. Geben Sie die Koordinaten des Dreiecks <math>A_1 B_1 C_1</math> an.
{{Lösung versteckt|
<math>A_1(4|2)</math>, <math>B_1(5|6)</math>, <math>C_1(1|7)</math>.
}}
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*Stellen Sie nun die Punkte <math>A(-1|-2)</math>, <math>B(2|4)</math> und <math>C(-3|5)</math> sowie den Vektor <math>\vec{s}=\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}</math> ein.
*Geben Sie die Koordinaten des Dreiecks <math>A_1 B_1 C_1</math> an.
{{Lösung versteckt|
<math>A_1(6|-1)</math>, <math>B_1(9|5)</math>, <math>C_1(4|6)</math>.
}}
|
<br>
<ggb_applet width="400" height="310" id="rf7rppj2" />
}}
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{{Fortsetzung|weiter=zurück zur Übersicht|weiterlink=WHG_Q1_Vektorrechnung|vorher=Definition (Orts-)Vektor|vorherlink=WHG Q1 Vektorrechnung/WHG Q1 Definition (Orts-)Vektor}}
{{Fortsetzung|weiter=zurück zur Übersicht|weiterlink=WHG_Q1_Vektorrechnung|vorher=Definition (Orts-)Vektor|vorherlink=WHG Q1 Vektorrechnung/WHG Q1 Definition (Orts-)Vektor}}

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:43 Uhr

Übung

Auf dieser Seite finden Sie vermischte Übungen zum Rechnen mit Vektoren.

Im Rahmen unterschiedlicher Aufgabentypen können Sie Ihr neu erworbenes Wissen vertiefen.

Ortsvektoren

Bestimmen Sie den Ortsvektor des Punktes , indem Sie Anfangs- und Endpunkt des Pfeiles bewegen.

GeoGebra


Der Weg durch das Labyrinth - Vektoren zeichnen

  • Zeichnen Sie mit Hilfe von Vektoren einen lückenlosen Weg durch das Labyrinth vom Start- zum Zielpunkt ein. Geben Sie dazu im Eingabefeld die Vektoren einzeln in folgender Schreibweise ein: Vektor((, ), (, )) Dies beschreibt den Vektor vom Punkt zum Punkt .
  • Begründen Sie anschließend, welche der Pfeile zum selben Vektor gehören.


GeoGebra


Vektoren im Koordinatensystem

Gegeben ist der Vektor .

  • Zeichnen Sie drei Pfeile, die den Vektor repräsentieren, in ein Koordinatensystem.
  • Es gilt: mit bestimmen Sie die Koordinaten von .
  • Es gilt: mit bestimmen Sie die Koordinaten von .
  • -
  • Geht man von aus drei Einheiten in Richtung der -Achse und anschließend eine Einheit in Richtung der -Achse, so erreicht man : bzw. .
  • Geht man von aus drei Einheiten in Richtung der -Achse und anschließend eine Einheit gegen die Richtung der -Achse, so erreicht man : bzw. .


Parallelogramm im Raum

Überprüfen Sie, ob die Punkte , , und die aufeinanderfolgenden Ecken eines Parallelogramms darstellen.

Abbildung 4

Die Abbildung verdeutlich, dass es genügt zu überprüfen, ob (bzw. ) gilt:

;

;

also gilt .

Folglich stellen , , und die Ecken eines Parallelogramms dar.


Verschiebung geometrischer Objekte

Ein Vektor, der an allen Eckpunkten eines Dreiecks anliegt, führt eine Verschiebung aus.

  • Notieren Sie die Koordinaten des Dreiecks sowie den Vektor , der die Verschiebung festlegt. Stellen Sie den Vektor anschließend auf ein. Geben Sie die Koordinaten des Dreiecks an.

, , .


  • Stellen Sie nun die Punkte , und sowie den Vektor ein.
  • Geben Sie die Koordinaten des Dreiecks an.

, , .


GeoGebra