Potenzfunktionen - 4. Stufe

Aus ZUM-Unterrichten

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl wird definiert:
für


Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

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Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei eine Potenzfunktion, definiert durch . Gesucht ist die Umkehrfunktion von (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von und !).


ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist:

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Beispiel

Es sei eine Potenzfunktion, nun definiert durch mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion .


Auflösen nach ergibt:

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Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart mit sind Potenzfunktionen der Bauart

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Bauart mit sind Potenzfunktionen der Bauart .

Aufgabe: In wieweit kann man zu einer vorgegebenen Potenzfunktion eine Umkehrfunktion finden?
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie Monotonieverhalten!

Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

  • Spiegeln
  • Strecken
  • Stauchen
  • Schieben
  • Superponieren

Siehe Video auf www.oberprima.com.

APPLET

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