Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Beispiel ===
=== Beispiel ===


Es sei <math>f</math> eine Potenzfunktion, definiert durch <math>f(x)=x^{\frac 1 3}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> von <math>f</math> (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von <math>f^{-1}</math> und <math>f(x)=x^{-1}</math>!).
{|
 
|Es sei <math>f</math> eine Potenzfunktion, definiert durch <math>f(x)=x^{\frac 1 3}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> von <math>f</math> (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von <math>f^{-1}</math> und <math>f(x)=x^{-1}</math>!).
<math>f^{-1}</math> ergibt sich aus <math>f</math> durch Auflösen nach <math>x</math>. Es ist:<br />
<math>f^{-1}</math> ergibt sich aus <math>f</math> durch Auflösen nach <math>x</math>. Es ist:<br />
<math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\
<math>\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\
y^3  &=& x^{\frac 3 3} && && \\
y^3  &=& x^{\frac 3 3} && && \\
     &=& x. &\,& && \end{matrix}</math>
     &=& x. &\,& && \end{matrix}</math>
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|}


=== Beispiel ===
=== Beispiel ===

Version vom 29. Januar 2009, 10:22 Uhr

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

Vorlage:Arbeiten
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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl wird definiert:
für


Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

Vorlage:Arbeiten

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei eine Potenzfunktion, definiert durch . Gesucht ist die Umkehrfunktion von (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von und !).

ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist:

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Beispiel

Es sei eine Potenzfunktion, nun definiert durch mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion .

Auflösen nach ergibt:

Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

  • Spiegeln
  • Strecken
  • Stauchen
  • Schieben
  • Superponieren

Siehe Video auf www.oberprima.com.

APPLET

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