Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{1,2,3,4,5\}</math>.<br />
Rechts siehst Du den Graphen der Funktion mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{2,3,4,5\}</math>.<br />
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf
#* Definitionsbereich
#* Definitionsbereich
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
:{{Lösung versteckt|
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen steng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.
: zu 1) Der Definitionsbereich ist <math>{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq 0}</math>. Der kleinste Funktionswert <math>y=0</math> wird für <math>x=0</math> angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton an. Symmetrien (Achsen- bzw. Punktsymmetrie) findet man nur für die rot gestrichelten, nicht aber für die blauen Graphen.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen, als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>.
: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) in allen Graphen, sowohl in allen blauen als auch in allen roten. Begründung: Es gilt stets <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}</math>.
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Version vom 28. März 2009, 13:22 Uhr


Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form mit als Exponenten haben.

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n IN

Funktionsgraph kennenlernen

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Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln

Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit ,

Wegen nennt man diese Funktionen auch Wurzelfunktionen. Ihr Definitionsbereich ID ist - wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben - nicht negativ (Nähere Erläuterungen hierzu: siehe unten) , also ID = IR+0. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion mit die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion der Bauart und die Umkehrfunktion zu (Näheres zur Umkehrfunktion siehe nächstes Kapitel).

Im Falle nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

Im Falle nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: bzw. . Den Grund für diese Bezeichnungen zeigen die folgenden Beispiele:

Beispiel: Quadratwurzeln

Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge über den Satz des Pythagoras () zu:

Die Lösung ist ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.


Auch die Länge der Raumdiagonale im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: ) zu:

Die Lösung ist also angeben.

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge ergibt sich über:

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen durch ziehen der 3.-Wurzel:

Einfluss von Parametern

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*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

(freilwillig)

Einschränkung auf IR+0

Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung:

Wegen

erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

mit und

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

.

Dann gilt: IDg = IR.