Logarithmusfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Lernpfad zur Logarithmusfunktion ===
===Lernpfad zur Logarithmusfunktion===


{{Box|Info zur Bearbeitung| Bearbeitet die folgenden Aufgaben zur Logarithmusfunktion. Was ihr jeweils zu tun habt steht in der Aufgabenstellung. Teilweise gibt es Buttons mit "Tipp" und "Lösung". Wenn ihr auf diese klickt, öffnet sich entsprechend ein Tipp zur Bearbeitung oder die Lösung der Aufgabe.|Info}}
{{Box|Info zur Bearbeitung| Bearbeitet die folgenden Aufgaben zur Logarithmusfunktion. Was ihr jeweils zu tun habt steht in der Aufgabenstellung. Teilweise gibt es Buttons mit "Tipp" und "Lösung". Wenn ihr auf diese klickt, öffnet sich entsprechend ein Tipp zur Bearbeitung oder die Lösung der Aufgabe.|Info}}


{{Box|Erkundung der Logarithmusfunktion|  
{{Box|1. Erkundung der Logarithmusfunktion|  
(Sollte euch das Applet nicht angezeigt werden hilft es i.d.R. ein paar mal die Seite zu aktualisieren.)
(Sollte euch das Applet nicht angezeigt werden hilft es i.d.R. ein paar mal die Seite zu aktualisieren. Sollte es dann immer noch nicht gehen, dann öffne GeoGebra separat auf deinem PC (o.ä.) und gib die Funktion <math>f(x)=a\cdot ln(bx+c)+d</math> ein. Es müssten sich dann automatisch Schieberegler für die einzelnen Variablen erstellen, die du dann verstellen kannst.)


'''a)''' Zoomt in dem GeoGebra-Applet ganz nah an die y-Achse heran und folgt dem Verlauf des Graphen. Was fällt euch auf?
'''a)''' Setzt <math>a</math> und <math>b</math> auf <math>1</math> und <math>c</math> und <math>d</math> auf <math>0</math>. Zoomt in dem GeoGebra-Applet ganz nah an die y-Achse heran und folgt dem Verlauf des Graphen. Was fällt euch auf?


'''b)''' Zoomt wieder raus. Probiert die verschiedenen Schieberegler aus. Verändert dabei immer nur einen und notiert euch welchen Einfluss die jeweilige Änderung auf den Funktionsgraphen hat.  
'''b)''' Zoomt wieder raus. Probiert die verschiedenen Schieberegler aus. Verändert dabei immer nur einen und notiert euch welchen Einfluss die jeweilige Änderung auf den Funktionsgraphen hat.  
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<ggb_applet id="wfgskyd3" width="700" height="500" border="888888" />|Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="wfgskyd3" width="700" height="500" border="888888" />|Arbeitsmethode}}


{{Box| Nice to know!|  
{{Box|2. Nice to know!|  
Was ist der Logarithmus überhaupt?
Was ist der Logarithmus überhaupt?
{{LearningApp|width:80%|height:250px|app=16879906}}
{{LearningApp|width:80%|height:250px|app=16879906}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Ln-Fkt. als Spiegelung der e-Fkt.png|1000px|zentiert|rahmenlos]]|2= Bild zur Spiegelung|3=Bild verbergen}}
|Merke}}
|Merke}}


{{Box| Die Ableitung des natürlichen Logarithmus|
{{Box|3. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus|
Die Ableitung von <math>\bar{f}(x)=ln(x)</math> kann mit Hilfe der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen
Auch die Ableitung von <math>\bar{f}(x)=ln(x)</math> kann mit Hilfe der obigen Ableitungsregel für Umkehrfunktionen berechnet werden.
 
'''Aufgabe:''' Leite mit Hilfe dieser Ableitungsregel den natürlichen Logarithmus ab.
 
{{Lösung versteckt|1= Da <math>\bar{f}(x)=ln(x)</math> ist, ist <math>f(x)=e^x</math> und <math>f'(x)=e^x</math>. Setzte diese entsprechend (teilweise ja die Ableitung) in die Formel <math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{f'(\bar{f}(x))}</math> ein.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}


<math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{f'(\bar{f}(x))}</math>
{{Lösung versteckt|1= <math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{f'(\bar{f}(x))}</math>


berechnet werden.
Es gilt: <math>\bar{f}(x)=ln(x)</math>, also <math>f(x)=e^x</math> und <math>f'(x)=e^x</math>.  


'''Aufgabe:''' Leite mit Hilfe der obigen Ableitungsregel den natürlichen Logarithmus ab.
Setzte in die obige Formel ein: <math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{e^{\bar{f}(x)}}=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}</math>|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1= Da <math>\bar{f}(x)=ln(x)</math> ist <math>f(x)=e^x</math>. Setzte diese entsprechend (teilweise ja die Ableitung) in die Formel ein.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Box|4. Ein paar Ableitungen zum "warm" werden.|
Berechne von den folgenden Funktionen jeweils die '''erste''' und '''zweite Ableitung''' in deinem Heft.  


{{Lösung versteckt|1= <math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{f'(\bar{f}(x))}</math>
Beachte, dass bei <math>ln</math>-Funktionen meistens die ''Ketten-'', ''Produkt-'' und ''Quotientenregel'' zum Ableiten gebraucht werden. Falls du diese nicht mehr kennst, kannst du jeweils in dem entsprechenden Tipp nachschauen.
 
'''a)''' <math>f(x)=ln(5x)</math>


<math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}</math>|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
'''b)''' <math>g(x)=3x^2\cdot ln(x)</math>
|Arbeitsmethode}}


{{Box|Ableiten verschiedener <math>ln</math>-Funktionen|
'''c)''' <math>h(x)=\frac{ln(x)}{x}</math>
Leite die folgenden orangenen Funktionen ab und ordne sie dann ihrer Ableitung zu. Notiere die eventuelle Fragen oder Unklarheiten.


{{LearningApp|width:10%|height:500px|app=16881552}}
'''*d)''' <math>k(x)=x^x</math>


{{Lösung versteckt|1= <math>f(x)=v(u(x))</math>, dann <math>f'(x)=v'(u(x))\cdot u'(x)</math> |2= Tipp: Kettenregel|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= <math>f(x)=v(u(x))</math>, dann <math>f'(x)=v'(u(x))\cdot u'(x)</math> |2= Tipp: Kettenregel|3=Tipp verbergen}}
Zeile 43: Zeile 51:


{{Lösung versteckt|1= <math>f(x)=\frac{v(x)}{u(x)}</math>, dann <math>f'(x)=\frac{v'(x)\cdot u(x)-v(x)\cdot u'(x)}{u(x)^2}</math> |2= Tipp: Quotientenregel|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= <math>f(x)=\frac{v(x)}{u(x)}</math>, dann <math>f'(x)=\frac{v'(x)\cdot u(x)-v(x)\cdot u'(x)}{u(x)^2}</math> |2= Tipp: Quotientenregel|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= '''1. Möglichkeit:''' Die Logarithmusregel <math>ln(x^n)=n\cdot ln(x)</math> kann hierbei helfen. Du musst nur noch überlegen, wie du den <math>ln</math> eingebaut bekommst, ohne den Wert der Funktion zu ändern.
'''2. Möglichkeit (etwas schwieriger):''' Es hilft ein kleiner Trick. Nehmt von beiden Seiten den <math>ln()</math>, also <math>ln(k(x))=ln(x^x)</math>, berechnet dann von beiden Seiten die Ableitung und formt die Gleichung am Ende geschickt um.|2= Tipp: zu d)|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=1. Ableitung: ''(Kettenregel)'' <math>f'(x)=\frac{1}{5x}\cdot 5=\frac{5}{5x}=\frac{1}{x}</math>
2. Ableitung: <math>f''(x)=(\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}</math>|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=1. Ableitung: ''(Produktregel)'' <math>g'(x)=6x\cdot ln(x)+3x^2\cdot \frac{1}{x}=6x\cdot ln(x)+\frac{3x^2}{x}=6x\cdot ln(x)+3x</math>
2. Ableitung: ''(Produktregel)'' <math>g''(x)=6\cdot ln(x)+6x\cdot\frac{1}{x}+3=6\cdot ln(x)+\frac{6x}{x}+3=6\cdot ln(x)+6+3=6\cdot ln(x)+9</math>|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= 1. Ableitung: ''(Quotientenregel)'' <math>h'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-ln(x)\cdot 1}{x^2}=\frac{\frac{x}{x}-ln(x)}{x^2}=\frac{1-ln(x)}{x^2}</math>
2. Ableitung: ''(Quotientenregel)'' <math>h'(x)=\frac {1-ln(x)}{x^2}=\frac{v(x)}{u(x)}</math>
Also ist <math>v(x)=1-ln(x)</math> und <math>v'(x)=-\frac{1}{x}</math>
Zudem ist <math>u(x)=x^2</math> und <math>u'(x)=2x</math>
Daher folgt: <math>h''(x)=\frac{v'(x)\cdot u(x)-v(x)\cdot u'(x)}{u(x)^2}=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-ln(x))\cdot 2x}{x^4}=\frac{-\frac{x^2}{x}-2x+2x\cdot ln(x)}{x^4}=\frac{-x-2x+2x\cdot ln(x)}{x^4}=\frac{-3x+2x\cdot ln(x)}{x^4}=\frac{x(-3+2ln(x))}{x^4}=\frac{-3+2ln(x)}{x^3}</math>|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1='''1. Möglichkeit:'''
1. Ableitung: <math>(k(x))'=(x^x)'=(e^{ln(x^x)})'=(e^{x\cdot ln(x)})'=e^{x\cdot ln(x)}\cdot (1\cdot ln(x)+x\cdot \frac{1}{x})=x^x\cdot (ln(x)+1)</math>
'''2. Möglichkeit:'''
1. Ableitung:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&& k(x) &&=&& x^x &\mid \textrm{Trick: } ln()\\
&\Leftrightarrow& ln(k(x)) &&=&& ln(x^x) &\mid \textrm{Ableitung}\\
&\Rightarrow& (ln(k(x)))' &&=&& (ln(x^x))' &\mid \textrm{Kettenregel} \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{k(x)}\cdot k'(x) &&=&& 1\cdot ln(x)+x\cdot \frac{1}{x} \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{k(x)}\cdot k'(x) &&=&& ln(x)+1 &\mid \cdot k(x) \\
&\Leftrightarrow& k'(x) &&=&& (ln(x)+1)\cdot k(x) \\
& & &&=&& (ln(x)+1)\cdot x^x \\
\end{array}
</math>
<br /><br />
2. Ableitung: ''(Produktregel)'' <math>k''(x)=\frac{1}{x}\cdot x^x+(ln(x)+1)\cdot (ln(x)+1)\cdot x^x=\frac{x^x}{x}+(ln(x)+1)^2\cdot x^x=x^{x-1}+(ln(x)+1)^2\cdot x^x</math> |2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}
|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Box| Die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus|
{{Box|5. Ableiten verschiedener <math>ln</math>-Funktionen|
Leite die folgenden (orangenen) Funktionen '''<u>in deinem Heft ab</u>''' und ordne sie dann ihrer Ableitung zu. Löse die Aufgabe nicht durch Ausprobieren! Notiere die eventuelle Fragen oder Unklarheiten.
 
{{LearningApp|width:10%|height:500px|app=16881552}}
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|6. Die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus|
Die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus ist definiert durch:  
Die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus ist definiert durch:  


<math>\bar{F}(x)=\int ln(x) dx=x\cdot ln|x|-x+c</math>.
<math>\bar{F}(x)=\int ln(x) dx=x\cdot ln(x)-x+c</math>.


(Die Integration kann man mit Hilfe ''partieller Integration'' durchführen.)
(Die Integration kann man mit Hilfe ''partieller Integration'' durchführen.)
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{{Lösung versteckt|1= Leite <math>\bar{F}(x)=x\cdot ln|x|-x+c</math> ab.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Leite <math>\bar{F}(x)=x\cdot ln(x)-x+c</math> ab.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= <math>\bar{F}'(x)=(x\cdot ln|x|-x+c)'= 1\cdot ln(x)+x\cdot \frac{1}{x}-1=ln(x)+1-1=ln(x)=\bar{f}(x)</math> |2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= <math>\bar{F}'(x)=(x\cdot ln(x)-x+c)'= 1\cdot ln(x)+x\cdot \frac{1}{x}-1=ln(x)+1-1=ln(x)=\bar{f}(x)</math> |2=Lösung|3=Lösung verbergen}}


|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Box| Kurvendiskussion ohne GTR|
{{Box| Ist noch etwas unklar?| {{#ev:youtube|XAJdf9QP-XU|800|center}}|Wissen}}
Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=-10\frac{ln(x)}{x^2}</math>.
 
{{Box|7. Kurvendiskussion ohne GTR|
Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=ln(x)\cdot x^4</math>.


'''a)''' Untersuche diese hinsichtlich des ''Definitionsbereiches'', der ''Symmetrie'', der ''Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen'', dem ''Unendlichkeitsverhalten'' der ''Extrempunkte'' und der ''Wendepunkte''.
'''a)''' Untersuche diese hinsichtlich des ''Definitionsbereiches'', der ''Symmetrie'', der ''Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen'', dem ''Unendlichkeitsverhalten'' der ''Extrempunkte'' und der ''Wendepunkte''.


'''b)''' Die Wendetangente begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück im 4. Quadranten. Berechne den Flächeninhalt dieses Stückes.
{{Lösung versteckt|1= Sofern <math>e^{n}</math> eine irrationale Zahl ist, lasst diese einfach in der Form von <math>e^{n}</math> stehen.|2=Tipp 1: Umgang mit ''e''|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= <ggb_applet id="e4vbh2q3" width="700" height="500" border="888888" />|2=Graph|3= Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei gleicher Basis werden bei der Multiplikation die Exponenten addiert: <math>e^n\cdot e^m=e^{n+m}</math>, bei der Division die Exponenten subtrahiert: <math>\frac{e^n}{e^m}=e^{n-m}</math> und bei der Potenzierung die Exponenten multipliziert: <math>(e^n)^m=e^{n\cdot m}</math>. Zudem kann man <math>e</math> bei gleichem Exponenten ausklammern.|2=Tipp 2: Rechnen mit ''e''|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Um den Definitionsbereich festzulegen, muss man sich die Funktion anschauen und begutachten, ob es durch die verschiedenen Funktionsbestandteile Einschränkungen für <math>x</math> gibt. Man muss also schauen welche <math>x</math> man einsetzten darf und welche nicht.|2=Tipp 3: Definitionsbereich bestimmen|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Eine Funktion ist punktsymmetrisch, falls <math>f(x)=-f(-x)</math> gilt.
 
Eine Funktion ist achsensymmetrisch, falls <math>f(x)=f(-x)</math> gilt.|2=Tipp 4: Symmetrie|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= <math>f'(x)=x^3\cdot (1+4\cdot ln(x))</math> |2=Kontrolllösung 1. Ableitung |3=Lösung verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= <math>f''(x)=x^2\cdot (7+12\cdot ln(x))</math> |2=Kontrolllösung 2. Ableitung |3=Lösung verbergen}}
 
'''b)''' Die Wendetangente <math>g(x)</math> begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück im 1. Quadranten. Berechne den Flächeninhalt dieses Stückes.
 
{{Lösung versteckt|1= Die Wendetangente ist die Tangente, die den Funktionsgraphen am Wendepunkt berührt. Dementsprechend stimmt der dortige Ableitungswert mit der Steigung der Tangenten überein.|2=Tipp: Wendetangente|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Das Flächenstück, welches eine Gerade mit den Koordinatenachsen einschließt, ist ein Dreieck.|2=Tipp: Fläche|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Wendetangente von ln(x)*x^4.png|1000px|zentriert|rahmenlos]]|2=Graph von f und g|3= Verbergen}}
|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Analysis]]

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:31 Uhr

Lernpfad zur Logarithmusfunktion

Info zur Bearbeitung
Bearbeitet die folgenden Aufgaben zur Logarithmusfunktion. Was ihr jeweils zu tun habt steht in der Aufgabenstellung. Teilweise gibt es Buttons mit "Tipp" und "Lösung". Wenn ihr auf diese klickt, öffnet sich entsprechend ein Tipp zur Bearbeitung oder die Lösung der Aufgabe.

1. Erkundung der Logarithmusfunktion

(Sollte euch das Applet nicht angezeigt werden hilft es i.d.R. ein paar mal die Seite zu aktualisieren. Sollte es dann immer noch nicht gehen, dann öffne GeoGebra separat auf deinem PC (o.ä.) und gib die Funktion ein. Es müssten sich dann automatisch Schieberegler für die einzelnen Variablen erstellen, die du dann verstellen kannst.)

a) Setzt und auf und und auf . Zoomt in dem GeoGebra-Applet ganz nah an die y-Achse heran und folgt dem Verlauf des Graphen. Was fällt euch auf?

b) Zoomt wieder raus. Probiert die verschiedenen Schieberegler aus. Verändert dabei immer nur einen und notiert euch welchen Einfluss die jeweilige Änderung auf den Funktionsgraphen hat.

GeoGebra

2. Nice to know!

Was ist der Logarithmus überhaupt?


zentiert

3. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

Auch die Ableitung von kann mit Hilfe der obigen Ableitungsregel für Umkehrfunktionen berechnet werden.

Aufgabe: Leite mit Hilfe dieser Ableitungsregel den natürlichen Logarithmus ab.

Da ist, ist und . Setzte diese entsprechend (teilweise ja die Ableitung) in die Formel ein.

Es gilt: , also und .

Setzte in die obige Formel ein:

4. Ein paar Ableitungen zum "warm" werden.

Berechne von den folgenden Funktionen jeweils die erste und zweite Ableitung in deinem Heft.

Beachte, dass bei -Funktionen meistens die Ketten-, Produkt- und Quotientenregel zum Ableiten gebraucht werden. Falls du diese nicht mehr kennst, kannst du jeweils in dem entsprechenden Tipp nachschauen.

a)

b)

c)

*d)

, dann
, dann
, dann

1. Möglichkeit: Die Logarithmusregel kann hierbei helfen. Du musst nur noch überlegen, wie du den eingebaut bekommst, ohne den Wert der Funktion zu ändern.

2. Möglichkeit (etwas schwieriger): Es hilft ein kleiner Trick. Nehmt von beiden Seiten den , also , berechnet dann von beiden Seiten die Ableitung und formt die Gleichung am Ende geschickt um.

1. Ableitung: (Kettenregel)

2. Ableitung:

1. Ableitung: (Produktregel)

2. Ableitung: (Produktregel)

1. Ableitung: (Quotientenregel)

2. Ableitung: (Quotientenregel)

Also ist und

Zudem ist und


Daher folgt:

1. Möglichkeit:

1. Ableitung:

2. Möglichkeit:

1. Ableitung:



2. Ableitung: (Produktregel)

5. Ableiten verschiedener -Funktionen

Leite die folgenden (orangenen) Funktionen in deinem Heft ab und ordne sie dann ihrer Ableitung zu. Löse die Aufgabe nicht durch Ausprobieren! Notiere die eventuelle Fragen oder Unklarheiten.


6. Die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus

Die Stammfunktion des natürlichen Logarithmus ist definiert durch:

.

(Die Integration kann man mit Hilfe partieller Integration durchführen.)

Aufgabe: Weise nach, dass die obige Funktion die Stammfunktion von ist.


Leite ab.

Ist noch etwas unklar?

7. Kurvendiskussion ohne GTR

Gegeben ist die Funktion .

a) Untersuche diese hinsichtlich des Definitionsbereiches, der Symmetrie, der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, dem Unendlichkeitsverhalten der Extrempunkte und der Wendepunkte.

Sofern eine irrationale Zahl ist, lasst diese einfach in der Form von stehen.
Bei gleicher Basis werden bei der Multiplikation die Exponenten addiert: , bei der Division die Exponenten subtrahiert: und bei der Potenzierung die Exponenten multipliziert: . Zudem kann man bei gleichem Exponenten ausklammern.
Um den Definitionsbereich festzulegen, muss man sich die Funktion anschauen und begutachten, ob es durch die verschiedenen Funktionsbestandteile Einschränkungen für gibt. Man muss also schauen welche man einsetzten darf und welche nicht.

Eine Funktion ist punktsymmetrisch, falls gilt.

Eine Funktion ist achsensymmetrisch, falls gilt.

b) Die Wendetangente begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück im 1. Quadranten. Berechne den Flächeninhalt dieses Stückes.

Die Wendetangente ist die Tangente, die den Funktionsgraphen am Wendepunkt berührt. Dementsprechend stimmt der dortige Ableitungswert mit der Steigung der Tangenten überein.
Das Flächenstück, welches eine Gerade mit den Koordinatenachsen einschließt, ist ein Dreieck.
Wendetangente von ln(x)*x^4.png