Lineare Funktionen/Station 4: Unterschied zwischen den Versionen

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In diesem Abschnitt geht es darum, folgende Frage zu klären:<br><br>
In diesem Abschnitt geht es darum, folgende Frage zu klären:<br><br>


{{Box|1=Frage|2=Eine lineare Funktion f hat die Steigung <math>m = 1,5</math> und verläuft durch den Punkt <math>A(2|0,5)</math>.<br><br> Wie würdest du vorgehen, um den Funktoinsterm der Funktion zu bestimmmen, <u>''ohne''</u> den Graphen zu zeichnen? <br>Dokumentiere deine Überlegungen im Schulheft.<br><br>
{{Box|1=Frage|2=Eine lineare Funktion <math>f</math> hat die Steigung <math>m = 1,5</math> und verläuft durch den Punkt <math>A(2|0,5)</math>.<br><br> Wie würdest du vorgehen, um den Funktoinsterm der Funktion zu bestimmmen, <u>''ohne''</u> den Graphen zu zeichnen? <br>Dokumentiere deine Überlegungen im Schulheft.<br><br>
Du kommst nicht drauf? Oder bist dir nicht sicher? <br>
Du kommst nicht drauf? Oder bist dir nicht sicher? <br>


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{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
*f ist linear, also gilt f(x) = m* x + t<br>
*<math>f</math>  ist linear, also gilt <math>f(x) = m* x + t</math><br>
*f(x) = 1,5* x +t (Steigung ist ja gegeben)<br>
*<math>f(x) = 1,5* x + t</math> (Steigung ist ja gegeben)<br>
''Wir müssen also im Endeffekt nur noch den y-Achsenabschnitt t bestimmen, oder?''<br>
''Wir müssen also im Endeffekt nur noch den y-Achsenabschnitt t bestimmen, oder?''<br>
*A(2{{!}}0,5) liegt auf f, also f(2) = 0,5 und sowieso f(2) = 1,5 * 2 + t
*<math>A(2|0,5)</math> liegt auf f, also <math>f(2) = 0,5</math> und sowieso <math>f(2) = 1,5 * 2 + t</math>
*Also: 1,5 * 2 + t = 0,5 oder kurz 3+t=0,5
*Also: <math>1,5 * 2 + t = 0,5</math> oder kurz <math>3+t=0,5</math>
*Damit: t=0,5-3 = -2,5<br><br>
*Damit: <math>t = 0,5-3 = -2,5</math> <br><br>
Die Funktionsgleichung lautet: <math>f(x)=1,5\cdot x -2,5</math> }}
Die Funktionsgleichung lautet: <math>f(x)=1,5\cdot x -2,5</math> }}
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{{Box|1=Bestimmung der Funktionsgleichung|2=Wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind, kannst du die Funktionsgleichung bestimmen.<br><br>
{{Box|1=Bestimmung der Funktionsgleichung|2=Wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind, kannst du die Funktionsgleichung bestimmen.<br><br>


Beispiel: Eine lineare Funktion ''f'' hat die Steigung <math> m = 3</math> und verläuft durch den Punkt <math> A(1,4)</math>.<br>
Beispiel: Eine lineare Funktion <math>f</math> hat die Steigung <math> m = 3</math> und verläuft durch den Punkt <math> A(1,4)</math>.<br>
f ist linear, also f (x) = mx + t. Und da <math> m = 3</math> ist <math> f (x) = 3x + t </math><br>
<math>f</math> ist linear, also <math>f(x) = mx + t</math>. Und da <math> m = 3</math> ist <math> f (x) = 3x + t </math><br>
'''Es muss nur noch t bestimmt werden!'''<br><br>
'''Es muss nur noch t bestimmt werden!'''<br><br>
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f (1) = 3 also 3*1 + t = 4 und damit t = 1
<math>f(1) = 3</math> also <math>3*1 + t = 4</math> und damit <math>t = 1</math>
Die Funktiongleichung lautet somit : <math>f(x) = 3 x + 1</math>
Die Funktiongleichung lautet somit : <math>f(x) = 3 x + 1</math>
|3=Merksatz}}
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Beispiel:
Beispiel:
Die lineare Funktion f verläuft durch die Punkte A(4,5) und B(-4,1).<br><br>
Die lineare Funktion f verläuft durch die Punkte <math>A(4|5)</math> und <math>B(-4|1)</math>.<br><br>
'''Zunächst muss die Steigung m bestimmt werden!'''<br><br>
'''Zunächst muss die Steigung m bestimmt werden!'''<br><br>
<math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-1}{4-(-4)}=\frac{4}{8}=0,5</math>
<math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-1}{4-(-4)}=\frac{4}{8}=0,5</math>
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'''Nun muss wie oben noch t bestimmt werden!''' Nehme entweder Punkt A oder B zu Hilfe.<br><br>
'''Nun muss wie oben noch t bestimmt werden!''' Nehme entweder Punkt A oder B zu Hilfe.<br><br>
f (x) = 0,5 x + t<br>
<math>f(x) = 0,5 x + t</math><br>
f (4) = 5, also 0,5 * 4 + t = 5 und damit t = 3.
<math>f(4) = 5, \text{ also } 0,5 * 4 + t = 5 \text{ und damit } t = 3 </math>.
Die Funktiongleichung lautet: <math>f(x) = 0,5  x + 3</math>
Die Funktiongleichung lautet: <math>f(x) = 0,5  x + 3</math>
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Version vom 4. Dezember 2018, 08:28 Uhr


Station 4: Aufstellen des Funktionsterms

Schlussetappe!

Schlussetappe

In Station 3 hast du gelernt, wie die Funktionsgleichung linearer Funktionen aussieht und wie man den Funktionsterm am Graphen ablesen kann. In dieser Station lernst du, wie man den Funktionsterm aufstellen kann, wenn nur wenige Angaben zur Verfügung stehen.


4.1 Funktionsterm aus gegebenem Punkt und Steigung bestimmen

In diesem Abschnitt geht es darum, folgende Frage zu klären:

Frage

Eine lineare Funktion hat die Steigung und verläuft durch den Punkt .

Wie würdest du vorgehen, um den Funktoinsterm der Funktion zu bestimmmen, ohne den Graphen zu zeichnen?
Dokumentiere deine Überlegungen im Schulheft.

Du kommst nicht drauf? Oder bist dir nicht sicher?

Hilfe zur Selbsthilfe:

  • ist linear, also gilt
  • (Steigung ist ja gegeben)

Wir müssen also im Endeffekt nur noch den y-Achsenabschnitt t bestimmen, oder?

  • liegt auf f, also und sowieso
  • Also: oder kurz
  • Damit:

Die Funktionsgleichung lautet:



Merke
Allgemein gilt: Um die Funktionsgleichung bzw. den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, muss man nur die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t bestimmen.



Bestimmung der Funktionsgleichung

Wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind, kannst du die Funktionsgleichung bestimmen.

Beispiel: Eine lineare Funktion hat die Steigung und verläuft durch den Punkt .
ist linear, also . Und da ist
Es muss nur noch t bestimmt werden!


also und damit

Die Funktiongleichung lautet somit :


4.2 Funktionsterm aus zwei gegebenen Punkten bestimmen

Bestimmung der Funktionsgleichung, wenn zwei Punkte bekannt sind

Beispiel: Die lineare Funktion f verläuft durch die Punkte und .

Zunächst muss die Steigung m bestimmt werden!



Nun muss wie oben noch t bestimmt werden! Nehme entweder Punkt A oder B zu Hilfe.


.

Die Funktiongleichung lautet: