Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Ziegen: Unterschied zwischen den Versionen

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= Das „Ziegenproblem“ =
==Das „Ziegenproblem“==




{{Kasten Mathematik|[[File:Monty open door.svg|links]]In einer Quizshow kann sich der Kandidatzwischen drei Türen entscheiden. Hinter einem wartet ein Auto als Hauptgewinn. Hinter den beiden anderen steht als Niete jeweils eine Ziege.
[[File:Monty open door.svg|links]]
In einer Quizshow kann sich der Kandidat zwischen drei Türen entscheiden.  
Hinter einer wartet ein Hauptgewinn, z. B. ein Auto.  
Hinter den beiden anderen steht als Niete jeweils eine Ziege.  
Hat sich der Kandidat für eine Tür entschieden, bietet ihm der Moderator einen Deal an:
Zuerst öffnet er '''in jedem Fall''' eine der beiden übrigen Türen und eine Ziege kommt zum Vorschein.
Dann fragt er den Kandidaten, ob er nun nicht lieber die Tür wechseln will.
 
 
{{Box|Aufgabe|Ist es vorteilhaft für den Kandidaten die Tür zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!
|Arbeitsmethode}}


Hat sich der Kandidat für eine Tür entschieden, bietet ihm der Moderator einen Deal an:


Zuerst öffnet er eine nicht gewählte Tür, hinter der sicher eine Ziege steht.
'''Möchtest du die Quiz-Show nachspielen?'''
 
Dann spiele hier das [http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 '''Ziegenproblem, nur mit Schweinchen'''] nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. '''„Reset Doors“''' schließt die Türen wieder. Probiere '''zwei Strategien''': Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.
 
 
[[File:Monty-GoatRevealed.svg|right]]
'''Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!'''
 
 
{{Box|1=Aufgabe 5.1|2=Bevor die Show beginnt, wird das Auto hinter eine zufällig bestimmte Tür gestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird jeweils eine der drei Türen ausgewählt? Zeichne ein Baumdiagramm!
 
{{Lösung versteckt|1=
:Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}\ .</math>


Dann fragt er den Kandidaten, ob er die Tür wechseln will.
:[[Datei:BaumZiegenproblemAuto.jpg]]}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}




{{Aufgabe|Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!
{{Box|1=Aufgabe 5.2|2=
}}
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt der Kandidat sofort die Tür mit dem Hauptgewinn? Erweitere dein Baumdiagramm aus Aufgabe 5.1.


{{Lösung versteckt|:Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}\ .</math>


Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden?
:[[Datei:BaumZiegenproblemKandidat.jpg]]}}
|3=Arbeitsmethode}}


Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!


{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html Ziegen-Problem anschaulich erklärt]
{{Box|1=Aufgabe 5.3|2=
Der Moderator öffnet nun eine der nicht gewählten Türen, aber natürlich nicht die mit dem Auto. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter der '''anderen''' Tür? Erweitere auch hier dein Baumdiagramm.


<div class="grid">
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|1=
:Hier gibt es verschiedene Fälle, je nachdem, wo der Hauptgewinn steht und welche Tür der Kandidat wählt.


----
:*1. Fall: Hat der Kandidat bereits die Tür mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator zufällig eine der beiden anderen Türen.


::'''Beispiel:''' Der Kandidat hat zufällig Tür 2 mit dem Hauptgewinn gewählt. Der Moderator öffnet nun zufällig Tür 1 oder 3.


Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen? Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?


Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. '''„Reset Doors“''' schließt die Türen wieder.  
::[[Datei:ZiegenproblemBeispiel1.jpg]]


Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.


{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 Ziegen-Problem, nur mit Schweinchen]
:*2. Fall Steht hinter der gewählten Tür eine Ziege, kann der Moderator nur eine Tür öffnen.


::'''Beispiel 2:''' Das Auto steht hinter Tür 1. Der Kandidat wählt Tür 2. Der Moderator muss Tür 3 öffnen.


----


::[[Datei:ZiegenproblemBeispiel2.jpg]]
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
</div>
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|1=


'''Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegen-Problems“!'''
:Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:




Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.
:[[Datei:BaumZiegenproblemModerator.jpg]]}}
</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}




{{Aufgaben-M|5.1|Bevor die Show beginnt, wird das Auto hinter eine zufällige Tür gestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter jeder Tür? Zeichne ein Baumdiagramm!}}
{{Box|1=Aufgabe 5.4|2=
Löse nun das „Ziegenproblem“. Berechne dazu die Wahrscheinlichkeiten der Pfade. Kannst du jetzt die Frage beantworten, ob sich ein Wechsel lohnt oder nicht?


{{Lösung versteckt|Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}</math>:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Pfade, bei denen der Kandidat sein Tor behält und jene, bei denen er wechselt.
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
</div>
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|1=
*Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen der Kandidat gewinnt, wenn er prinzipiell die Tür wechselt. So erhälst du die Gewinnwahrscheinlichkeit „mit Wechsel“:


BaumdiagrammAuto}}
:[[Datei:ZiegenproblemmitWechsel.jpg]]


:<math>\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ mit\ Wechsel})=6 \cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{3}</math>


{{Aufgaben-M|5.2|Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt der Kandidat sofort die Tür mit dem Hauptgewinn? Erweitere dein Baumdiagramm aus Aufgabe 5.1.}}


{{Lösung versteckt|Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}</math>:
*Betrachten wir nun noch die Gegenwahrscheinlichkeit: die Gewinnwahrscheinlichkeit „ohne Wechsel“. Der Kandidat gewinnt in diesem Fall nur, wenn er sofort die richtige Tür wählt:


BaumdiagrammKandidat}}
:[[Datei:ZiegenproblemohneWechsel.png]]




{{Aufgaben-M|5.3|Der Moderator öffnet nun eine der nicht gewählten Türen, aber natürlich nicht die mit dem Auto. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter der '''anderen''' Tür? Erweitere auch hier dein Baumdiagramm.}}
:<math>\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ ohne\ Wechsel})=3 \cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{3}</math>


Lösungshilfe: {{versteckt|Hier gibt es verschieden Fälle, je nachdem wo der Hauptgewinn steht und welche Tür der Kandidat wählt. Hat der Kandidat bereits die Tür mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator zufällig eine der beiden anderen Türen. Steht hinter der gewählten Tür eine Ziege, kann der Moderator nur eine Tür öffnen.}}
*<u>Fazit:</u> Wenn man die Türe wechselt, so '''verdoppelt''' sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{3}</math>&nbsp;&nbsp;auf&nbsp;&nbsp;<math>\frac{2}{3}</math>&nbsp;&nbsp;. Es ist also vorteilhaft, die Tür noch einmal zu wechseln.
}}
</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}




{{Lösung versteckt|Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:


BaumdiagrammModerator}}


'''Für Interessierte:'''


{{Aufgaben-M|5.4|Interpretiere das gesamte Baumdiagramm nun richtig. Betrachte die Pfade, bei denen der Kandidat sein Tor behält und jene, bei denen er wechselt. Kannst du jetzt die Frage beantworten, ob sich ein Wechsel lohnt oder nicht?}}
Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?


{{Lösung versteckt|Betrachten wir zuerst die Streategie, nicht zu wechseln. Man erhält nun die Gewinnwahrscheinlichkeit, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade „ohne Wechsel“ '''addiert''':
1. Öffne noch einmal das [http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 '''Ziegenproblem, nur mit Schweinchen''']. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler '''„Number of doors“''' weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn. Würdest du '''jetzt''' wechseln???


BaumdiagrammkeinWechsel
2. In Wikipedia kannst du dich noch genauer über die {{wpde|Ziegenproblem|'''Hintergründe des Ziegenproblems'''}}  informieren.


<math></math>




Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade „mit Wechsel“, um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu erhalten, wenn man prinzipiell die Tür wechselt:


BaumdiagrammWechsel


<math></math>
Herzlichen Glückwunsch! Du hast nun dein Wissen über die Laplace-Wahrscheinlichkeit erweitert.




<u>Fazit:</u> Wenn man die Türe wechselt '''verdoppelt''' sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von &nbsp;<math>\frac{1}{3}</math>:&nbsp;auf&nbsp;<math>\frac{2}{3}</math>:&nbsp; !!!}}




{{Lernpfad Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen}}


[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 3-Türen-Problem] mit Schweinchen und bis zu 10 Türen (außerdem Simple Monty Hall, Urnen-Experiment 4-farbig, Augensumme eines/zweier Würfel mit Spiel, Glücksrad etc.).
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Laplace-Experiment]]
[[Kategorie:Ziegenproblem]]

Aktuelle Version vom 30. März 2022, 21:27 Uhr

Das „Ziegenproblem“

Monty open door.svg

In einer Quizshow kann sich der Kandidat zwischen drei Türen entscheiden. Hinter einer wartet ein Hauptgewinn, z. B. ein Auto. Hinter den beiden anderen steht als Niete jeweils eine Ziege. Hat sich der Kandidat für eine Tür entschieden, bietet ihm der Moderator einen Deal an: Zuerst öffnet er in jedem Fall eine der beiden übrigen Türen und eine Ziege kommt zum Vorschein. Dann fragt er den Kandidaten, ob er nun nicht lieber die Tür wechseln will.


Aufgabe

Ist es vorteilhaft für den Kandidaten die Tür zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!


Möchtest du die Quiz-Show nachspielen?

Dann spiele hier das Ziegenproblem, nur mit Schweinchen nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. „Reset Doors“ schließt die Türen wieder. Probiere zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.


Monty-GoatRevealed.svg

Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!


Aufgabe 5.1

Bevor die Show beginnt, wird das Auto hinter eine zufällig bestimmte Tür gestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird jeweils eine der drei Türen ausgewählt? Zeichne ein Baumdiagramm!

Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von
BaumZiegenproblemAuto.jpg


Aufgabe 5.2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt der Kandidat sofort die Tür mit dem Hauptgewinn? Erweitere dein Baumdiagramm aus Aufgabe 5.1.

Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von
BaumZiegenproblemKandidat.jpg


Aufgabe 5.3

Der Moderator öffnet nun eine der nicht gewählten Türen, aber natürlich nicht die mit dem Auto. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter der anderen Tür? Erweitere auch hier dein Baumdiagramm.

Hier gibt es verschiedene Fälle, je nachdem, wo der Hauptgewinn steht und welche Tür der Kandidat wählt.
  • 1. Fall: Hat der Kandidat bereits die Tür mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator zufällig eine der beiden anderen Türen.
Beispiel: Der Kandidat hat zufällig Tür 2 mit dem Hauptgewinn gewählt. Der Moderator öffnet nun zufällig Tür 1 oder 3.


ZiegenproblemBeispiel1.jpg


  • 2. Fall Steht hinter der gewählten Tür eine Ziege, kann der Moderator nur eine Tür öffnen.
Beispiel 2: Das Auto steht hinter Tür 1. Der Kandidat wählt Tür 2. Der Moderator muss Tür 3 öffnen.


ZiegenproblemBeispiel2.jpg
Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:


BaumZiegenproblemModerator.jpg


Aufgabe 5.4

Löse nun das „Ziegenproblem“. Berechne dazu die Wahrscheinlichkeiten der Pfade. Kannst du jetzt die Frage beantworten, ob sich ein Wechsel lohnt oder nicht?

Betrachte die Pfade, bei denen der Kandidat sein Tor behält und jene, bei denen er wechselt.
  • Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen der Kandidat gewinnt, wenn er prinzipiell die Tür wechselt. So erhälst du die Gewinnwahrscheinlichkeit „mit Wechsel“:
ZiegenproblemmitWechsel.jpg


  • Betrachten wir nun noch die Gegenwahrscheinlichkeit: die Gewinnwahrscheinlichkeit „ohne Wechsel“. Der Kandidat gewinnt in diesem Fall nur, wenn er sofort die richtige Tür wählt:
ZiegenproblemohneWechsel.png


  • Fazit: Wenn man die Türe wechselt, so verdoppelt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von     auf    . Es ist also vorteilhaft, die Tür noch einmal zu wechseln.



Für Interessierte:

Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?

1. Öffne noch einmal das Ziegenproblem, nur mit Schweinchen. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler „Number of doors“ weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn. Würdest du jetzt wechseln???

2. In Wikipedia kannst du dich noch genauer über die Hintergründe des ZiegenproblemsWikipedia-logo.png informieren.



Herzlichen Glückwunsch! Du hast nun dein Wissen über die Laplace-Wahrscheinlichkeit erweitert.