Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Vorwissen: Unterschied zwischen den Versionen

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Main>Florian Bogner
(Lösung 1.6)
 
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{{Navigation verstecken
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|{{Lernpfad Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen}}
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== Zufallsexperiment ==
 
== Zufallsexperiment ==
  
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{{Box|1=Aufgaben 1.1|2=
  
{{Aufgaben-M|1.1|Weißt du noch, was genau ein '''Zufallsexperiment''' ist? Schreibe es auf!}}
+
Weißt du noch, was genau ein '''Zufallsexperiment''' ist? Schreibe es auf!
  
 
[[Datei:Roulette.jpg|rechts|250px]]
 
[[Datei:Roulette.jpg|rechts|250px]]
 
Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.
 
Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.
  
{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
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{{Lösung versteckt|1=
 
;Zufallsexperiment
 
;Zufallsexperiment
:Ein realer, stochastischer Vorgang heißt {{Hintergrund_gelb|ideales Zufallsexperiment}}, wenn:
+
:Ein realer, stochastischer Vorgang heißt '''Zufallsexperiment''', wenn:
 
:* das Experiment unter exakt festgelegten Bedingungen, denn sogenannten ''Versuchsbedingungen'', durchgeführt wird,
 
:* das Experiment unter exakt festgelegten Bedingungen, denn sogenannten ''Versuchsbedingungen'', durchgeführt wird,
 
:* die möglichen Ergebnisse (Ausgänge) vor der Durchführung des Experiments bekannt sind,
 
:* die möglichen Ergebnisse (Ausgänge) vor der Durchführung des Experiments bekannt sind,
 
:* das Experiment beliebig oft unter identischen Bedingungen wiederholt werden kann.
 
:* das Experiment beliebig oft unter identischen Bedingungen wiederholt werden kann.
 
}}
 
}}
}}
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|3=Arbeitsmethode}}
  
  
{{Aufgaben-M|1.2|Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“}}
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{{Box|1=Aufgabe 1.2|2=
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Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“
  
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
<div class="multiplechoice-quiz">
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</div>
  
''Hinweis: Du kannst das Multiplechoice-Quiz nochmal versuchen, indem du nach Aufgabe 1.5 die Buttons „Korrektur“ und „Neustart“ anklickst!''
 
  
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|3=Arbeitsmethode}}
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{{Box|1=Aufgabe 1.3|2=
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Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' vor dem Zufallsexperiment „Münzwurf“ fest.
  
{{Aufgaben-M|1.3|Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen ''Versuchsbedingungen'' vor dem Zufallsexperiment „Münzwurf“ fest.
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{{Lösung versteckt|1=
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Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.
 
}}
 
}}
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|3=Arbeitsmethode}}
  
''Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar:'' <u style="color:lightgrey;background:lightgrey">Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.</u>
 
  
 
== Ergebnis und Ereignis ==
 
== Ergebnis und Ereignis ==
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In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
 
In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.
 
 
{{Aufgaben-M|1.4|Ziehe die grünen Kästchen mit den mathematischen Schreibweisen in die Zeile des zugehörigen Begriffs! Darunter sind auch einige konkrete Beipiele aus dem Würfelwurf. Fallen dir noch mehr ein?
 
  
''(Sollte dieses Quiz auf deinem Computer nicht funktionieren, musst du unter deinen ZUM-Wiki Einstellungen PNG statt HTML als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen einstellen!)''
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}}
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{{Box|1= Aufgabe 1.4|2=Orden die Begriffe, Schreibweisen und Beispiele richtig zu! Ziehe dazu die grünen Kästchen in die richtige Zeile.
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 +
Fallen dir noch mehr Beipiele ein?
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|3=Arbeitsmethode}}
  
 
<div class="zuordnungs-quiz">
 
<div class="zuordnungs-quiz">
 
{|  
 
{|  
| Ergebnis || <math>\omega_i</math> || <math>6</math>
+
| <math forcemathmode="png">\omega_i</math> || Ergebnis || 6  
 
|-
 
|-
| Ereignis || <math>E</math> || <math>\left\{2,4,6\right\}</math>  
+
| <math forcemathmode="png">E</math> || Ereignis || <math forcemathmode="png">\left\{2,4,6\right\}</math>  
 
|-
 
|-
| Elementarereignis ||<math>\left\{6\right\}</math> || <math>\left\{\omega\right\}</math>  
+
| Elementarereignis ||<math forcemathmode="png">\left\{6\right\}</math> || <math forcemathmode="png">\left\{\omega\right\}</math>  
 
|-
 
|-
| Ergebnismenge || <math>\Omega</math> || <math>\left\{1,2,3,4,5,6\right\}</math>
+
| <math forcemathmode="png">\Omega</math> || Ergebnismenge || <math forcemathmode="png">\left\{1,2,3,4,5,6\right\}</math>
 
|-
 
|-
| Gegenereignis || <math>\overline{E}</math>
+
| Gegenereignis || <math forcemathmode="png">\overline{E}</math>
 
|-
 
|-
| unmögliches Ereignis || <math>\emptyset</math>
+
| unmögliches Ereignis || <math forcemathmode="png">\emptyset</math>
 
|-
 
|-
| Mächtigkeit des Ergebnisraums || <math>\left| \Omega \right|</math>
+
| Mächtigkeit des Ergebnisraums || <math forcemathmode="png">\left| \Omega \right|</math>
 
|-
 
|-
 
|}
 
|}
 
</div>
 
</div>
  
 +
{{Lösung versteckt|1=
 +
*;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen '''Ergebnisse''' (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.
  
Lösungshinweise:
+
*;Ergebnismenge:Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet als '''Ergebnismenge''' (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum) <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.
{{versteckt|{{Kasten_grün|
 
*;Ergebnis: Man bezeichnet die einzelnen {{Hintergrund_gelb|Ergebnisse}} (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit <math>\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n</math>.
 
 
 
*;Ergebnismenge:Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet als {{Hintergrund_gelb|Ergebnismenge}} (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum)<math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math>.
 
  
*;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als {{Hintergrund_gelb|Ereignis}} bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
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*;Ereignis:Jede Teilmenge <math>E\subseteq\Omega</math> wird als '''Ereignis''' bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit <math>E_1,E_2,E_3,...</math> benennen. Ein Ereignis <math>E</math> tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in der Menge <math>E</math> enthalten ist.
  
*;Elementarereignis:Eine einelementige Teilmenge <math>\left\{\omega_i\right\},i=1,...,n</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> ist ein {{Hintergrund_gelb|Elementarereignis}}.
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*;Elementarereignis:Eine einelementige Teilmenge <math>\left\{\omega_i\right\},i=1,...,n</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> ist ein '''Elementarereignis'''.
  
 
*;sicheres Ereignis:Ganz sicher tritt das Ereignis <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math> ein. (Sicherlich ist <math>\Omega</math> eine Teilmenge von sich selbst.)
 
*;sicheres Ereignis:Ganz sicher tritt das Ereignis <math>\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}</math> ein. (Sicherlich ist <math>\Omega</math> eine Teilmenge von sich selbst.)
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*;unmögliches Ereignis:Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge <math>\emptyset</math>. (Auch das ist eine Teilmenge von <math>\Omega\ .</math>)
 
*;unmögliches Ereignis:Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge <math>\emptyset</math>. (Auch das ist eine Teilmenge von <math>\Omega\ .</math>)
  
*;Gegenereignis:Bildet man aus allen Elementen von <math>\Omega</math>, die nicht in <math>E</math> enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das {{Hintergrund_gelb|Gegenereignis}} &nbsp;<math>\overline{E}=\Omega\setminus E\ .</math>&nbsp;(man sagt auch Komplement)
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*;Gegenereignis:Bildet man aus allen Elementen von <math>\Omega</math>, die nicht in <math>E</math> enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das '''Gegenereignis''' &nbsp;<math>\overline{E}=\Omega\setminus E\ .</math>&nbsp;(man sagt auch Komplement)
  
*;Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, z.B. eines Ereignisses: <math>\left| E \right|</math>
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*;Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, z.B. eines Ereignisses: <math>\left| E \right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3</math>
}}
 
 
}}
 
}}
  
  
{{Aufgaben-M|1.5|Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete Ergebnismenge <math> \Omega </math>.  
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{{Box|1=Aufgabe 1.5|2=
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Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete Ergebnismenge <math> \Omega </math>.  
  
Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit <math>n=|\Omega|</math> an.}}
+
Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit <math>n= \vert \Omega \vert </math> an.
  
 
<quiz display="simple">
 
<quiz display="simple">
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</quiz>
 
</quiz>
  
Lösungshinweise:
+
{{Lösung versteckt|1=
{{versteckt|  
 
 
:* <math>\left|\Omega_1\right|=2\cdot 6</math>
 
:* <math>\left|\Omega_1\right|=2\cdot 6</math>
 
:* <math>\left|\Omega_2\right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3</math>
 
:* <math>\left|\Omega_2\right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3</math>
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:* <math>\left|\Omega_4\right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3</math>
 
:* <math>\left|\Omega_4\right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3</math>
 
}}
 
}}
 +
|3=Arbeitsmethode}}
  
 +
{{Box|1= Aufgabe 1.6|2=
  
{{Aufgaben-M|1.6|a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
+
a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen ''alle'' Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?
  
 
:<math>\quad \Omega_1=\left\{1\right\},\qquad \Omega_2=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
 
:<math>\quad \Omega_1=\left\{1\right\},\qquad \Omega_2=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3,4\right\}</math>
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b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?
 
b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?
}}
 
  
Lösungshinweise:
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<div class="grid">
{{versteckt|:a)
+
<div class="width-1-2">
 +
{{Lösung versteckt|1=
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:a)
 
:* <math>\Omega_1\ \mathrm{besitzt\ } 2\ (=2^1)\ \mathrm{Ereignisse.}</math> &nbsp;(Das sichere und das unmögliche Ereignis)
 
:* <math>\Omega_1\ \mathrm{besitzt\ } 2\ (=2^1)\ \mathrm{Ereignisse.}</math> &nbsp;(Das sichere und das unmögliche Ereignis)
 
:* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 4\ (=2^2)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>  
 
:* <math>\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 4\ (=2^2)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>  
 
:* <math>\Omega_3\ \mathrm{besitzt\ } 8\ (=2^3)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
 
:* <math>\Omega_3\ \mathrm{besitzt\ } 8\ (=2^3)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
 
:* <math>\Omega_4\ \mathrm{besitzt\ } 16\ (=2^4)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
 
:* <math>\Omega_4\ \mathrm{besitzt\ } 16\ (=2^4)\ \mathrm{Ereignisse.}</math>
}}
+
|2=Tipp einblenden|3=Tipp ausblenden}}
 +
</div>
 +
<div class="width-1-2">
  
 +
{{Lösung_versteckt|1=
 +
:a) Das vermutete Gesetz lautet:
  
Lösung: {{Lösung_versteckt|
+
<math>\mathrm{Zu\ jedem\ } \Omega\ \mathrm{gibt\ es\ } 2^{\vert \Omega \vert }\ \mathrm{verschiedene\ Ereignisse.}  </math>
:Das vermutete Gesetz lautet:
 
{{Kasten_grün|<math>\mathrm{Zu\ jedem\ } \Omega\ \mathrm{gibt\ es\ } 2^{\left|\Omega\right|}\ \mathrm{verschiedene\ Ereignisse.}  </math>
 
}}
 
  
  
 
:b) <math>\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ \mathrm{Ereignisse\ .}</math>
 
:b) <math>\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ \mathrm{Ereignisse\ .}</math>
 
}}
 
}}
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 +
|3=Arbeitsmethode}}
 +
</div>
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</div>
  
 
== Laplace-Wahrscheinlichkeit ==
 
== Laplace-Wahrscheinlichkeit ==
  
[[File:Pierre-Simon Laplace.jpg|150px]]
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[[File:Pierre-Simon Laplace.jpg|150px|right]]
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{{wpde|Laplace|Pierre-Simon Laplace}} (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker, unter anderem auch am Hofe Napoleons.
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Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.
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<br><br>
  
{{wpde|Laplace|Pierre-Simon Laplace}} (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker unter anderem auch am Hofe Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.
 
  
  
{{Aufgaben-M|1.7|Schreibe auf, was man unter den Begriffen '''Laplace-Experiment''', '''Laplace Würfel''' und '''Laplace-Wahrscheinlichkeit''' versteht!}}
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{{Box|1= Aufgabe 1.7|2=
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Schreibe auf, was man unter den Begriffen '''Laplace-Experiment''', '''Laplace-Würfel''' und '''Laplace-Wahrscheinlichkeit''' versteht!
  
{{Lösung versteckt|{{Kasten_grün|
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{{Lösung versteckt|1=
 
;Laplace-Experiment
 
;Laplace-Experiment
:Haben alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Experiment}}.
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:Haben alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann spricht man von einem '''Laplace-Experiment'''.
 
:Beispiel: Ziehung der Lottozahlen.
 
:Beispiel: Ziehung der Lottozahlen.
 
;Laplace-Würfel
 
;Laplace-Würfel
:Ist ein Würfel ungezinkt, fair, oder symmetrisch, so spricht man von einem {{Hintergrund_gelb|Laplace-Würfel}}. Jede Augenzahl wird mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{6}</math>&nbsp;&nbsp;gewürfelt.
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:Ist ein Würfel ungezinkt, fair, oder symmetrisch, so spricht man von einem '''Laplace-Würfel'''. Jede Augenzahl wird mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{6}</math>&nbsp;&nbsp;gewürfelt.
 
:Achtung: In der Realität gibt es keinen echten Laplace-Würfel, aufgrund von Symmetrieeigenschaften. Eine Geldmünze ist aus dem selben Grund keine echte Laplace-Münze.
 
:Achtung: In der Realität gibt es keinen echten Laplace-Würfel, aufgrund von Symmetrieeigenschaften. Eine Geldmünze ist aus dem selben Grund keine echte Laplace-Münze.
 
;Laplace-Wahrscheinlichkeit
 
;Laplace-Wahrscheinlichkeit
:Die {{Hintergrund_gelb|Laplace-Wahrscheinlichkeit}} eines Ereignisses E, ist gegeben durch den Quotienten
+
:Die '''Laplace-Wahrscheinlichkeit''' eines Ereignisses E, ist gegeben durch den Quotienten
  
:<math> p(E) = \frac { \mathrm {Anzahl\ der\ f\ddot u r\ E\ g\ddot u nstigen\ Ergebnisse}} { \mathrm {Anzahl\ der\ m\ddot o glichen\ Ergebnisse}} = \frac {\left| E \right| } {\left| \Omega \right| }\ .</math>  
+
:<math> p(E) = \frac { \mathrm{Anzahl\ der\ f\ddot{u}r\ E\ g\ddot{u}nstigen\ Ergebnisse} } { \mathrm{Anzahl\ der\ m\ddot{o}glichen\ Ergebnisse} } = \frac{\vert E \vert }{\vert \Omega \vert }.</math>  
  
 
:Beispiel:  Die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielwürfel eine gerade Zahl zu würfeln beträgt&nbsp;&nbsp;<math>\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\ .</math>
 
:Beispiel:  Die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielwürfel eine gerade Zahl zu würfeln beträgt&nbsp;&nbsp;<math>\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\ .</math>
 
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}}
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|3=Arbeitsmethode}}
  
  
{{Kasten_blass|'''„Racing Game with One Dice“ (Rennspiel mit einem Würfel)'''
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{{blau|'''„Racing Game with One Die“ (Rennspiel mit einem Würfel)'''
  
 
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:Hast du Lust auf eine kurzes Laplace-Experiment zu zweit, oder gegen den Computer?
 
:Hast du Lust auf eine kurzes Laplace-Experiment zu zweit, oder gegen den Computer?
  
{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Dice] ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite (dazu muss Java installiert sein).
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[http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithOneDie/ Racing Game with One Die] ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite (dazu muss Java installiert sein).
  
 
:Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.
 
:Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.
  
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Anleitung:
 
:* Öffne den Link in einem neuen Fenster.
 
:* Öffne den Link in einem neuen Fenster.
 
:* Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
 
:* Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
:* Klickt nun im oberen Kasten so oft auf den Buton '''„Roll Dice“''', bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br> Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
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:* Klickt nun im oberen Kasten so oft auf den Buton '''„Roll Die“''', bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br> Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
 
:* Wenn ihr auf den Button '''„Restart“''' klickt, kann es von vorne los gehen.
 
:* Wenn ihr auf den Button '''„Restart“''' klickt, kann es von vorne los gehen.
 
:* Verändere die Einstellungen nach deinen Wünschen:
 
:* Verändere die Einstellungen nach deinen Wünschen:
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{{Aufgaben-M|1.8|[[Datei:Pasch.jpg|right]]Anna würfelt mit zwei unterscheidbaren Würfeln.  
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{{Box|1=Aufgabe 1.8|2=
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[[Datei:Pasch.jpg|right]]Anna würfelt mit zwei unterscheidbaren Würfeln.  
  
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?}}
+
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?
 
 
Lösungshilfe: {{versteckt|:Übertrage die Tabelle auf dein Blatt. In die Lücken gehören alle Ereignisse des zweifachen Würfelwurfs eingetragen. Kannst du sie vervollständigen?
 
 
 
:[[Datei:FeldertafelzweiWürfel.jpg]]
 
}}
 
 
 
 
 
{{Lösung versteckt|:Man kann aus der Tabelle prima die Ergebnismenge und das Ereignis „Pasch“ ablesen:
 
 
 
:[[Datei:FeldertafelzweiWürfelgefüllt.jpg]]
 
  
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<div class="grid">
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<div class="width-1-2">
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{{Lösung versteckt|1=
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:Übertrage die Tabelle auf dein Blatt. In die Lücken gehören alle Ereignisse des zweifachen Würfelwurfs eingetragen. Kannst du sie vervollständigen?
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:[[Datei:FeldertafelzweiWürfel.jpg|250px]]
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|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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</div>
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<div class="width-1-2">
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{{Lösung versteckt|1=
 +
:Man kann aus der Tabelle prima die Ergebnismenge und das Ereignis „Pasch“ ablesen:
 +
:[[Datei:FeldertafelzweiWürfel.png|250px]]
 
:Man sagt dazu „36-Feldertafel“, auf Grund der Mächtigkeit der Ergebnismenge.
 
:Man sagt dazu „36-Feldertafel“, auf Grund der Mächtigkeit der Ergebnismenge.
 
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:<math>\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \vert \Omega \vert = 6^2 = 36 </math>
 
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:<math>E_{Pasch} =  \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad  \vert E_{Pasch} \vert = 6 </math>
:<math>\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \left| \Omega \right| = 6^2 = 36 </math>
 
 
 
:<math>E_{Pasch} =  \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad  \left| E_{Pasch} \right| = 6 </math>
 
 
 
 
:<math>\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}\ .</math>
 
:<math>\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}\ .</math>
}}
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|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
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|3=Arbeitsmethode}}
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</div>
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</div>
  
  
 +
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../Glücksspiel}}
  
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{{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Glücksspiel| <big> '''→ Weiter zu''' </big><colorize>Gustavs Glücksspiel!</colorize>]]}}
+
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
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[[Kategorie:Mathematik]]
 +
[[Kategorie:Stochastik]]
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[[Kategorie:Laplace-Experiment]]
 +
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
 +
[[Kategorie:R-Quiz]]
 +
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]

Aktuelle Version vom 23. November 2018, 14:21 Uhr

Zufallsexperiment

Aufgaben 1.1

Weißt du noch, was genau ein Zufallsexperiment ist? Schreibe es auf!

Roulette.jpg

Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.

Zufallsexperiment
Ein realer, stochastischer Vorgang heißt Zufallsexperiment, wenn:
  • das Experiment unter exakt festgelegten Bedingungen, denn sogenannten Versuchsbedingungen, durchgeführt wird,
  • die möglichen Ergebnisse (Ausgänge) vor der Durchführung des Experiments bekannt sind,
  • das Experiment beliebig oft unter identischen Bedingungen wiederholt werden kann.


Aufgabe 1.2

Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“

(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)


Aufgabe 1.3

Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen Versuchsbedingungen vor dem Zufallsexperiment „Münzwurf“ fest.

Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.


Ergebnis und Ereignis

Zur korrekten mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.

In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.


Aufgabe 1.4

Orden die Begriffe, Schreibweisen und Beispiele richtig zu! Ziehe dazu die grünen Kästchen in die richtige Zeile.

Fallen dir noch mehr Beipiele ein?
Ergebnis 6
Ereignis
Elementarereignis
Ergebnismenge
Gegenereignis
unmögliches Ereignis
Mächtigkeit des Ergebnisraums
  • Ergebnis
    Man bezeichnet die einzelnen Ergebnisse (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit .
  • Ergebnismenge
    Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet als Ergebnismenge (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum) .
  • Ereignis
    Jede Teilmenge wird als Ereignis bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit benennen. Ein Ereignis tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in der Menge enthalten ist.
  • Elementarereignis
    Eine einelementige Teilmenge der Ergebnismenge ist ein Elementarereignis.
  • sicheres Ereignis
    Ganz sicher tritt das Ereignis ein. (Sicherlich ist eine Teilmenge von sich selbst.)
  • unmögliches Ereignis
    Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge . (Auch das ist eine Teilmenge von )
  • Gegenereignis
    Bildet man aus allen Elementen von , die nicht in enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das Gegenereignis   (man sagt auch Komplement)
  • Mächtigkeit
    Anzahl der Elemente einer Menge, z.B. eines Ereignisses:


Aufgabe 1.5

Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete Ergebnismenge .

Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit an.

1

Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.

8
12
36

2

Es wird dreimal gewürfelt.

18
56
216

3

Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.

72
216
288

4

Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen.

9
27
72



Aufgabe 1.6

a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen alle Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?


b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?

a)
  •  (Das sichere und das unmögliche Ereignis)
a) Das vermutete Gesetz lautet:


b)

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Pierre-Simon Laplace.jpg

Pierre-Simon LaplaceWikipedia-logo.png (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker, unter anderem auch am Hofe Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.



Aufgabe 1.7

Schreibe auf, was man unter den Begriffen Laplace-Experiment, Laplace-Würfel und Laplace-Wahrscheinlichkeit versteht!

Laplace-Experiment
Haben alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann spricht man von einem Laplace-Experiment.
Beispiel: Ziehung der Lottozahlen.
Laplace-Würfel
Ist ein Würfel ungezinkt, fair, oder symmetrisch, so spricht man von einem Laplace-Würfel. Jede Augenzahl wird mit der Wahrscheinlichkeit    gewürfelt.
Achtung: In der Realität gibt es keinen echten Laplace-Würfel, aufgrund von Symmetrieeigenschaften. Eine Geldmünze ist aus dem selben Grund keine echte Laplace-Münze.
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E, ist gegeben durch den Quotienten
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielwürfel eine gerade Zahl zu würfeln beträgt  


„Racing Game with One Die“ (Rennspiel mit einem Würfel)



Hast du Lust auf eine kurzes Laplace-Experiment zu zweit, oder gegen den Computer?

Racing Game with One Die ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite (dazu muss Java installiert sein).

Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.

Anleitung:

  • Öffne den Link in einem neuen Fenster.
  • Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
  • Klickt nun im oberen Kasten so oft auf den Buton „Roll Die“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt!
    Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
  • Wenn ihr auf den Button „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen.
  • Verändere die Einstellungen nach deinen Wünschen:
    • Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn, also die Anzahl der Spiele ein.
    • Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
    • Im unteren Kasten könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.
Auf die Plätze, fertig, los!



Aufgabe 1.8
Pasch.jpg
Anna würfelt mit zwei unterscheidbaren Würfeln.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?

Übertrage die Tabelle auf dein Blatt. In die Lücken gehören alle Ereignisse des zweifachen Würfelwurfs eingetragen. Kannst du sie vervollständigen?
FeldertafelzweiWürfel.jpg
Man kann aus der Tabelle prima die Ergebnismenge und das Ereignis „Pasch“ ablesen:
FeldertafelzweiWürfel.png
Man sagt dazu „36-Feldertafel“, auf Grund der Mächtigkeit der Ergebnismenge.