Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Glücksspiel: Unterschied zwischen den Versionen

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== „Gustavs Glücksspiel“ ==
== „Gustavs Glücksspiel“ ==


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{{Kasten Mathematik|Gustav bietet dir nach der Schule ein Glücksspiel an:
{{Kasten Mathematik|Gustav bietet dir nach der Schule ein Glücksspiel an:
[[Datei:Würfelsw.jpg|rechts|200px]]
Du wirfst einen <u>weißen</u> und einen <u>schwarzen</u> Würfel.


Du wirfst einen <u>roten</u> und einen <u>grünen</u> Würfel. Bei den Augensummen '''2, 3, 4, 9, 10, 11''' und '''12''' bekommst du deinen Einsatz doppelt zurück, bei den Augensummen '''5, 6, 7''' und '''8''' verlierst du deinen Einsatz.  
Bei den Augensummen '''2, 3, 4, 9, 10, 11''' und '''12''' bekommst du deinen Einsatz doppelt zurück, bei den Augensummen '''5, 6, 7''' und '''8''' verlierst du deinen Einsatz.  


:'''Da du bei 7 Augensummen gewinnst und nur bei 4 Augensummen verlierst, beträgt Deine Gewinnwahrscheinlichkeit &nbsp;&nbsp;'''<math> \frac{7}{11} \approx 64%\ .</math>
:'''Da du bei 7 Augensummen gewinnst und nur bei 4 Augensummen verlierst, beträgt Deine Gewinnwahrscheinlichkeit &nbsp;&nbsp;'''<math> \frac{7}{11} \approx 64%\ .</math>
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{{Aufgaben-M|2.1|Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse '''E<sub>2</sub>: „Augensumme ist 2“''' bis '''E<sub>12</sub>: „Augensumme ist 12“'''.}}
{{Aufgaben-M|2.1|Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse '''E<sub>2</sub>: „Augensumme ist 2“''' bis '''E<sub>12</sub>: „Augensumme ist 12“'''.}}


{{Lösung versteckt|Die Ergebnismenge und damit die Anzahl der günstigen Ergebnisse kennst du bereits von Aufgabe 1.8 aus dem ersten Teil des Lernpfads.
{{Lösung versteckt|:Die Ergebnismenge und damit die Anzahl der günstigen Ergebnisse kennst du bereits von Aufgabe 1.8 aus dem ersten Teil des Lernpfads.


So sehen die Ereignisse aus:
:So sehen die Ereignisse aus:


<math>E_2 = \{(1,1)\} </math>
:<math>E_2 = \{(1,1)\} </math>


<math>E_3 = \{(1,2),(2,1)\}</math>
:<math>E_3 = \{(1,2),(2,1)\}</math>


<math>E_4 = \{(1,3),(2,2),(3,1)\}</math>
:<math>E_4 = \{(1,3),(2,2),(3,1)\}</math>


<math>E_5 = \{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}</math>
:<math>E_5 = \{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}</math>


<math>\vdots</math>
:<math>\vdots</math>


<math>E_{12} = \{(6,6)\} </math>
:<math>E_{12} = \{(6,6)\} </math>


Die Wahrscheinlichkeiten sind:
:Die Wahrscheinlichkeiten sind:


<math>p(E_{2})=\frac{1}{36}\ ,\quad p(E_{3})=\frac{2}{36}\ ,\quad p(E_{4})=\frac{3}{36}\ ,\quad p(E_{5})=\frac{4}{36}\ ,\quad p(E_{6})=\frac{5}{36}\ ,</math>
:<math>p(E_{2})=\frac{1}{36}\ ,\quad p(E_{3})=\frac{2}{36}\ ,\quad p(E_{4})=\frac{3}{36}\ ,\quad p(E_{5})=\frac{4}{36}\ ,\quad p(E_{6})=\frac{5}{36}\ ,</math>


<math>p(E_{7})=\frac{6}{36}\ ,\quad p(E_{8})=\frac{5}{36}\ ,\quad p(E_{9})=\frac{4}{36}\ ,\quad p(E_{10})=\frac{3}{36}\ ,\quad p(E_{11})=\frac{2}{36}\ ,\quad p(E_{12})=\frac{1}{36}</math>
:<math>p(E_{7})=\frac{6}{36}\ ,\quad p(E_{8})=\frac{5}{36}\ ,\quad p(E_{9})=\frac{4}{36}\ ,\quad p(E_{10})=\frac{3}{36}\ ,\quad p(E_{11})=\frac{2}{36}\ ,\quad p(E_{12})=\frac{1}{36}</math>


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{{Aufgaben-M|2.2|Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit '''p(G)''', dass du gewinnst? Hinweis: Hier bietet es sich an, über das Gegenereignis zu rechnen.}}
{{Aufgaben-M|2.2|Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit '''p(G)''', dass du gewinnst? Hinweis: Hier bietet es sich an, über das Gegenereignis zu rechnen.}}


{{Lösung versteckt|Das Gegenereignis tritt ein, wenn '''E<sub>5</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>,''' oder '''E<sub>8</sub>''' eintritt.  
{{Lösung versteckt|:Das Gegenereignis tritt ein, wenn '''E<sub>5</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>,''' oder '''E<sub>8</sub>''' eintritt.  


<math>\Rightarrow \quad p(\overline G) = p(E_{5})\ +\ p(E_{6})\ +\ p(E_{7})\ +\ p(E_{8}) = \frac{4}{36}\ +\ \frac{5}{36}\ +\ \frac{6}{36}\ +\ \frac{5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}</math>
:<math>\Rightarrow \quad p(\overline G) = p(E_{5})\ +\ p(E_{6})\ +\ p(E_{7})\ +\ p(E_{8}) = \frac{4}{36}\ +\ \frac{5}{36}\ +\ \frac{6}{36}\ +\ \frac{5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}</math>


<math>\Rightarrow \quad p(G)=1-p(\overline G)= \frac{4}{9}=44{,}\overline 4 \ %</math>
:<math>\Rightarrow \quad p(G)=1-p(\overline G)= \frac{4}{9}=44{,}\overline 4 \ %</math>


Also gibt Gustav die Gewinnwahrscheinlichkeit viel höher an als sie tatsächlich ist. Du kannst natürlich trotzdem mitspielen, solltest aber keinen zu hohen Einsatz wählen, da Gustav die besseren Chancen hat.  
 
:Also gibt Gustav die Gewinnwahrscheinlichkeit viel höher an als sie tatsächlich ist.
 
:Du kannst natürlich trotzdem mitspielen, solltest aber keinen zu hohen Einsatz wählen, da Gustav die besseren Chancen hat.  


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Version vom 7. September 2009, 17:10 Uhr

„Gustavs Glücksspiel“

Vorlage:Kasten Mathematik


Vorlage:Kasten blass

Aufgabe
Scheinbar sagt Gustav nicht die ganze Wahrheit. Seine Rechnung kann nicht stimmen. Löse die nächsten Aufgaben um die Wahrheit herauszufinden!


Vorlage:Aufgaben-M

Die Ergebnismenge und damit die Anzahl der günstigen Ergebnisse kennst du bereits von Aufgabe 1.8 aus dem ersten Teil des Lernpfads.
So sehen die Ereignisse aus:
Die Wahrscheinlichkeiten sind:


Vorlage:Aufgaben-M

Das Gegenereignis tritt ein, wenn E5, E6, E7, oder E8 eintritt.
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow \quad p(G)=1-p(\overline G)= \frac{4}{9}=44{,}\overline 4 \ %}


Also gibt Gustav die Gewinnwahrscheinlichkeit viel höher an als sie tatsächlich ist.
Du kannst natürlich trotzdem mitspielen, solltest aber keinen zu hohen Einsatz wählen, da Gustav die besseren Chancen hat.




Vorlage:Kasten Mathematik