Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Glücksspiel: Unterschied zwischen den Versionen

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== „Gustavs Glücksspiel“ ==
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|{{Lernpfad Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen}}
 
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{{Kasten Mathematik|Gustav bietet dir nach der Schule ein Glücksspiel an:
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Du wirfst einen roten und einen grünen Würfel. Bei den Augensummen '''2, 3, 4, 9, 10, 11''' und '''12''' bekommst du deinen Einsatz doppelt zurück, bei den Augensummen '''5, 6, 7''' und '''8''' verlierst du deinen Einsatz.
 
:'''Da du bei 7 Augensummen gewinnst und nur bei 4 Augensummen verlierst, beträgt Deine Gewinnwahrscheinlichkeit &nbsp;&nbsp;'''<math> \frac{7}{11} \approx 64%\ .</math>
 
Würdest du dich auf das Spiel einlassen?
 
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==Gustavs Glücksspiel==
Gustav bietet dir nach der Schule ein Glücksspiel an:


[[Datei:Würfelsw.jpg|left|200px]]
*Du wirfst einen <u>weißen</u> und einen <u>schwarzen</u> Würfel.
*Bei den Augensummen '''2, 3, 4, 9, 10, 11''' und '''12''' bekommst du deinen Einsatz doppelt zurück,
*bei den Augensummen '''5, 6, 7''' und '''8''' verlierst du deinen Einsatz.


{{Kasten_blass|'''„Racing Game with two Dice“ (Rennspiel mit zwei Würfeln)'''
'''Da du bei 7 Augensummen gewinnst und nur bei 4 Augensummen verlierst, beträgt Deine Gewinnwahrscheinlichkeit &nbsp;&nbsp;'''<math> \frac{7}{11} \approx 64%\ .</math>
 
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:Auf folgender englischsprachigen Seite kannst du das Spiel von Gustav ausprobieren (dazu benötigst du Java):


{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithTwoDie/ Racing Game with two Dice]


:*Wähle an der rechten Seite für die Augensummen 5 bis 8 '''„Player A“''' für Gustav.
{{Box|Aufgabe|Würdest du dich auf das Spiel einlassen? Stimmt Gustavs Rechnung? Löse die nächsten Aufgaben um die Wahrheit herauszufinden!|Arbeitsmethode}}


:*Für die restlichen sieben Augensummen wähle '''„Player B“''', das bist du.


:*Mit '''„Start the race“''' geht es los!
Auf folgender englischsprachigen Seite kannst du das Glücksspiel von Gustav ausprobieren, ohne um deinen Einsatz spielen zu müssen (dazu benötigst du Java):


:*Eine neue Seite öffnet sich. Klicke so oft '''„Roll the Dice“''' bis einer das Spiel gewinnt. Der Computer simuliert dabei einen zweifachen Würfelwurf. Wessen Augenzahl geworfen wird kommt einen Schritt weiter. Wer gewinnt?
{{blau|[http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithTwoDie/ Racing Game with two Dice] (Rennspiel mit zwei Würfeln)'''
 
*Wähle an der rechten Seite für die Augensummen 5 bis 8 '''„Player A“''' für Gustav.
:*Spiele nochmal! Um deine Gewinnchancen besser abzuschätzen, kannst du das Spiel mit '''„Automatically Run“''' zum Beispiel 1000 mal auf einmal durchführen lassen. Dann zeigt die Statistik, wer wie oft gewonnen hat.
*Für die restlichen sieben Augensummen wähle '''„Player B“''', das bist du.
 
*Mit '''„Start the race“''' geht es los!
:*Für Interessierte: Mit '''„Change Rules“''' kommst du zurück zu den Einstellungen, falls du etwas ändern und ausprobieren möchtest.
*Eine neue Seite öffnet sich. Klicke so oft den Button '''„Roll the Dice“''' bis einer das Spiel gewinnt. Je nachdem welche Augensumme der Computer gerade simuliert, erhält „Player A“ oder „Player B“ einen Punkt.  
*Spiel das Spiel nochmal! Um deine Gewinnchancen besser abzuschätzen, kannst du das Spiel mit dem Button '''„Automatically Run“''' zum Beispiel 1000 mal auf einmal durchführen lassen. Dann zeigt die Statistik, wer wie oft gewonnen hat.
*Für Interessierte: Mit dem Button '''„Change Rules“''' gelangst du zurück zu den Einstellungen, falls du etwas ändern und ausprobieren möchtest.
}}
}}


{{Aufgabe|Scheinbar sagt Gustav nicht die ganze Wahrheit. Seine Rechnung kann nicht stimmen. Löse die nächsten Aufgaben um die Wahrheit herauszufinden!}}
{{Aufgaben-M|2.1|Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse '''E<sub>1</sub>: „Augensumme ist 2“''' bis '''E<sub>12</sub>: „Augensumme ist 12“'''.}}


{{Lösung versteckt|Die Ergebnismenge und damit die Anzahl der günstigen Ergebnisse kennst du bereits von Aufgabe 1.8 aus dem ersten Teil des Lernpfads.
{{Box|1=Aufgabe 2.1|2=
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse '''E<sub>2</sub>: „Augensumme ist 2“''' bis '''E<sub>12</sub>: „Augensumme ist 12“'''.
{{Lösung versteckt|
:Die Ergebnismenge und damit die Anzahl der günstigen Ergebnisse kennst du bereits von Aufgabe 1.8 aus dem ersten Teil des Lernpfads.


So sehen die Ereignisse aus:
:So sehen die Ereignisse aus:
 
:<math>E_2 = \{(1,1)\} </math>
<math>E_2 = \{(1,1)\} </math>
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<math>E_4 = \{(1,3),(2,2),(3,1)\}</math>
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<math>E_5 = \{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}</math>
 
<math>\vdots</math>
 
<math>E_{12} = \{(6,6)\} </math>
 
Die Wahrscheinlichkeiten sind:
 
<math>p(E_{2})=\frac{1}{36}\ ,\quad p(E_{3})=\frac{2}{36}\ ,\quad p(E_{4})=\frac{3}{36}\ ,\quad p(E_{5})=\frac{4}{36}\ ,\quad p(E_{6})=\frac{5}{36}\ ,</math>
 
<math>p(E_{7})=\frac{6}{36}\ ,\quad p(E_{8})=\frac{5}{36}\ ,\quad p(E_{9})=\frac{4}{36}\ ,\quad p(E_{10})=\frac{3}{36}\ ,\quad p(E_{11})=\frac{2}{36}\ ,\quad p(E_{12})=\frac{1}{36}</math>


:Die Wahrscheinlichkeiten sind:
:<math>p(E_{2})=\frac{1}{36}\ ,\quad p(E_{3})=\frac{2}{36}\ ,\quad p(E_{4})=\frac{3}{36}\ ,\quad p(E_{5})=\frac{4}{36}\ ,\quad p(E_{6})=\frac{5}{36}\ ,</math>
:<math>p(E_{7})=\frac{6}{36}\ ,\quad p(E_{8})=\frac{5}{36}\ ,\quad p(E_{9})=\frac{4}{36}\ ,\quad p(E_{10})=\frac{3}{36}\ ,\quad p(E_{11})=\frac{2}{36}\ ,\quad p(E_{12})=\frac{1}{36}</math>
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}


 
{{Box|1=Aufgabe 2.2|2=
 
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit '''p(G)''', dass du gewinnst? Hinweis: Hier bietet es sich an, über das Gegenereignis zu rechnen.
{{Aufgaben-M|2.2|Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit '''p(G)''', dass du gewinnst? Hinweis: Hier bietet es sich an, über das Gegenereignis zu rechnen.}}
{{Lösung versteckt|:Das Gegenereignis tritt ein, wenn '''E<sub>5</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>,''' oder '''E<sub>8</sub>''' eintritt.  
 
:<math>\Rightarrow \quad p(\overline G) = p(E_{5})\ +\ p(E_{6})\ +\ p(E_{7})\ +\ p(E_{8}) = \frac{4}{36}\ +\ \frac{5}{36}\ +\ \frac{6}{36}\ +\ \frac{5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}</math>
{{Lösung versteckt|Das Gegenereignis tritt ein, wenn '''E<sub>5</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>,''' oder '''E<sub>8</sub>''' eintritt.  
:<math>\Rightarrow \quad p(G)=1-p(\overline G)= \frac{4}{9}=44{,}\overline 4 \ %</math>
 
:Also gibt Gustav die Gewinnwahrscheinlichkeit viel höher an als sie tatsächlich ist.
<math>\Rightarrow \quad p(\overline G)=\frac{4}{36}+\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{5}{36}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}=55{,}\bar 5 %</math>
:Du kannst natürlich trotzdem mitspielen, solltest aber keinen zu hohen Einsatz wählen, da Gustav die besseren Chancen hat.  
 
<math>\Rightarrow \quad p(G)=1-p(\overline G)= \frac{4}{9}=44{,}\overline 4 %</math>
 
Also lügt Gustav. Du kannst trotzdem mitspielen, solltest aber keinen hohen Einsatz wählen.  
 
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|3=Arbeitsmethode}}




{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../Drei-Würfel-Problem}}


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[[Kategorie:Stochastik]]
 
[[Kategorie:Laplace-Experiment]]
 
{{Kasten Mathematik|[[Mathematik-digital/Zufallsexperimente_Bogner/Drei-Würfel-Problem| <big> '''→ Weiter zum''' <colorize>Drei-Würfel-Problem!</colorize></big> ]]}}

Aktuelle Version vom 30. März 2022, 21:27 Uhr

Gustavs Glücksspiel

Gustav bietet dir nach der Schule ein Glücksspiel an:

Würfelsw.jpg
  • Du wirfst einen weißen und einen schwarzen Würfel.
  • Bei den Augensummen 2, 3, 4, 9, 10, 11 und 12 bekommst du deinen Einsatz doppelt zurück,
  • bei den Augensummen 5, 6, 7 und 8 verlierst du deinen Einsatz.

Da du bei 7 Augensummen gewinnst und nur bei 4 Augensummen verlierst, beträgt Deine Gewinnwahrscheinlichkeit   Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \frac{7}{11} \approx 64%\ .}


Aufgabe
Würdest du dich auf das Spiel einlassen? Stimmt Gustavs Rechnung? Löse die nächsten Aufgaben um die Wahrheit herauszufinden!


Auf folgender englischsprachigen Seite kannst du das Glücksspiel von Gustav ausprobieren, ohne um deinen Einsatz spielen zu müssen (dazu benötigst du Java):

Racing Game with two Dice (Rennspiel mit zwei Würfeln)

  • Wähle an der rechten Seite für die Augensummen 5 bis 8 „Player A“ für Gustav.
  • Für die restlichen sieben Augensummen wähle „Player B“, das bist du.
  • Mit „Start the race“ geht es los!
  • Eine neue Seite öffnet sich. Klicke so oft den Button „Roll the Dice“ bis einer das Spiel gewinnt. Je nachdem welche Augensumme der Computer gerade simuliert, erhält „Player A“ oder „Player B“ einen Punkt.
  • Spiel das Spiel nochmal! Um deine Gewinnchancen besser abzuschätzen, kannst du das Spiel mit dem Button „Automatically Run“ zum Beispiel 1000 mal auf einmal durchführen lassen. Dann zeigt die Statistik, wer wie oft gewonnen hat.
  • Für Interessierte: Mit dem Button „Change Rules“ gelangst du zurück zu den Einstellungen, falls du etwas ändern und ausprobieren möchtest.


Aufgabe 2.1

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E2: „Augensumme ist 2“ bis E12: „Augensumme ist 12“.

Die Ergebnismenge und damit die Anzahl der günstigen Ergebnisse kennst du bereits von Aufgabe 1.8 aus dem ersten Teil des Lernpfads.
So sehen die Ereignisse aus:
Die Wahrscheinlichkeiten sind:

Aufgabe 2.2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p(G), dass du gewinnst? Hinweis: Hier bietet es sich an, über das Gegenereignis zu rechnen.

Das Gegenereignis tritt ein, wenn E5, E6, E7, oder E8 eintritt.
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow \quad p(G)=1-p(\overline G)= \frac{4}{9}=44{,}\overline 4 \ %}
Also gibt Gustav die Gewinnwahrscheinlichkeit viel höher an als sie tatsächlich ist.
Du kannst natürlich trotzdem mitspielen, solltest aber keinen zu hohen Einsatz wählen, da Gustav die besseren Chancen hat.