Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM-Unterrichten
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Zeile 1: Zeile 1:
== Die „Würfel von Efron“ ==
== Die „Würfel von Efron“ ==


{{Mathematik|Diese besonderen Würfel (dargestellt durch ihr Netz) sind nach dem amerikanischen Statistiker {{wpde|http://de.wikipedia.org/wiki/Bradley_Efron|Bradley Efron}} (geb. 1938) von der Stanford University benannt.
Diese besonderen Würfel (dargestellt durch ihr Netz) sind nach dem amerikanischen Statistiker {{wpde|http://de.wikipedia.org/wiki/Bradley_Efron|Bradley Efron}} (geb. 1938) von der Stanford University benannt.
 
[[Datei:4bunteWürfel.jpg|center]]
 
[[Datei:4bunteWürfel.jpg]]
 




'''Spielregeln:''' Zwei Spieler wählen <u>nacheinander</u> einen Würfel. Danach würfelt jeder einmal. Wer die höhere Punktzahl hat, gewinnt.
'''Spielregeln:''' Zwei Spieler wählen <u>nacheinander</u> einen Würfel. Danach würfelt jeder einmal. Wer die höhere Punktzahl hat, gewinnt.
}}




{{Aufgabe|Findest du das Spiel fair?}}
{{Box|1=Aufgabe|2=Findest du das Spiel fair?


Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den '''Spielregeln'''.
Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den '''Spielregeln'''.


{{Lösung versteckt|Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.}}
{{Lösung versteckt|Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.}}
|3=Arbeitsmethode}}




{{Aufgaben-M|4.1|Du wirfst '''einen''' „Würfel von Efron“. Gib eine Ergebnismenge für jeden „Würfel von Efron“ so an, dass es sich dabei um ein Laplace-Experiment handelt.}}
{{Box|1=Aufgabe 4.1|2=
Du wirfst '''einen''' „Würfel von Efron“. Gib eine Ergebnismenge für jeden „Würfel von Efron“ so an, dass es sich dabei um ein Laplace-Experiment handelt.


Lösungshinweise: {{versteckt|:*Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel &nbsp;<math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math>&nbsp; für den grünen Würfel.  
Lösungshinweise:  
{{Lösung versteckt|1=
:*Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel &nbsp;<math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math>&nbsp; für den grünen Würfel.  


:*Wichtig ist, dass &nbsp;<math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math>&nbsp; gilt.  
:*Wichtig ist, dass &nbsp;<math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math>&nbsp; gilt.  
Zeile 30: Zeile 31:
:*Beispiel für eine falsche Lösung: &nbsp; <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\}\ .</math>&nbsp; Dies ist zwar auch eine mögliche Ergebnismenge. Hier sind die Ergebnisse aber nicht gleichwahrscheinlich!
:*Beispiel für eine falsche Lösung: &nbsp; <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\}\ .</math>&nbsp; Dies ist zwar auch eine mögliche Ergebnismenge. Hier sind die Ergebnisse aber nicht gleichwahrscheinlich!
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}




{{Aufgaben-M|4.2|Pia lässt Anna den Vortritt: Anna sucht sich den violetten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel. Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.}}
{{Box|1=Aufgabe 4.2|2=
[[Datei:AnnaundPia.jpg|right|240px]]
Pia lässt Anna den Vortritt: Anna sucht sich den violetten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel. Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.
 
<br><br>
[[Datei:AnnaundPia.jpg|center|240px]]


Lösungshinweise: {{versteckt|:* Erstelle ein zweistufiges Baumdiagramm.
Lösungshinweise:  
{{Lösung versteckt|1=
:* Erstelle ein zweistufiges Baumdiagramm.
:* Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf.  
:* Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf.  
:* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.}}
:* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}




{{Lösung versteckt|:*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
{{Lösung versteckt|1=
:*Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.


::Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit &nbsp;<math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .</math>
::Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit &nbsp;<math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .</math>
Zeile 69: Zeile 76:
:Das stimmt mit dem Baumdiagramm und der Rechnung überein!
:Das stimmt mit dem Baumdiagramm und der Rechnung überein!
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}






{{Aufgaben-M|4.3|Welche weiteren Farbkombinationen gibt es noch, mit den „Würfeln von Efron“ gegeneinander zu spielen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten wie in Aufgabe 4.2.  
{{Box|1=Aufgabe 4.3|2=
Welche weiteren Farbkombinationen gibt es noch, mit den „Würfeln von Efron“ gegeneinander zu spielen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten wie in Aufgabe 4.2.  


Übertrage die unten stehende Tabelle auf dein Blatt und trage die Werte ein!  
Übertrage die unten stehende Tabelle auf dein Blatt und trage die Werte ein!  


Gibt es den „Superwürfel“, der gegen alle anderen gewinnt?}}
Gibt es den „Superwürfel“, der gegen alle anderen gewinnt?




Zeile 89: Zeile 98:
Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau:
Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau:


{{versteckt|
{{Lösung versteckt|1=
:[[Datei:Efrongelbundblau.jpg|rechts|240px]]
:[[Datei:Efrongelbundblau.jpg|rechts|240px]]
:Wählt nun Pia zuerst den türkisen Würfel, sucht sich danach Anna den gelben aus.
:Wählt nun Pia zuerst den türkisen Würfel, sucht sich danach Anna den gelben aus.
Zeile 131: Zeile 140:


::<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = 1 - p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math>
::<math> p(\mathrm{Anna\ gewinnt}) = 1 - p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math>
}}
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
 




{{Lösung versteckt|:*Es gibt insgesamt <math>4\ \cdot\ 3 = 12</math> verschiedene Spielpaarungen.
{{Lösung versteckt|1=
:*Es gibt insgesamt <math>4\ \cdot\ 3 = 12</math> verschiedene Spielpaarungen.


::Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:
::Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:
Zeile 144: Zeile 155:
::Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein und dem Anderen den Vortritt zu lassen!
::Die beste Strategie zu gewinnen ist also '''höflich''' zu sein und dem Anderen den Vortritt zu lassen!
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}


----


----


'''Für Interessierte:'''
'''Für Interessierte:'''
{{Aufgaben-M|4.4|Hans und Franz wollen bei Pia und Anna mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn alle vier Würfel geworfen werden?}}


[[Datei:4bunteWürfel.jpg|rechts|400px]]
{{Box|1=Aufgabe 4.4|2=
Lösungshilfe: {{versteckt|:Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen.
Hans und Franz wollen bei Pia und Anna mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn alle vier Würfel geworfen werden?
<br><br>
[[Datei:4bunteWürfel.jpg|center|400px]]
 
Lösungshilfe:  
 
{{Lösung versteckt|1=
:Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen.


:Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}}
:Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.
|2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}




{{Lösung versteckt|:[[Datei:Baum3.jpg|links]] <br><br> &nbsp;&nbsp;Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.<br>&nbsp;&nbsp;Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende.
{{Lösung versteckt|1=
:[[Datei:Baum3.jpg|links]] <br><br> &nbsp;&nbsp;Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.<br>&nbsp;&nbsp;Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende.


&nbsp;&nbsp;Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.
&nbsp;&nbsp;Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.
Zeile 167: Zeile 187:
<br><br><br><br>&nbsp;&nbsp;Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel.
<br><br><br><br>&nbsp;&nbsp;Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel.
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Aufgabe|
Spielt das Spiel aus Aufgabe 4.4 zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.|Arbeitsmethode}}




{{Aufgabe|
----
Spielt das Spiel aus Aufgabe 4.4 zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.}}




{{Weiter|../Ziegen|Ziegenproblem!}}
[[File:Monty-GoatRevealed.svg|center|75px]]


----
----


 
{{Lernpfad Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen}}
{{Mathematik|[[Mathematik-digital/Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Ziegen| <big> → Weiter zum </big><colorize>Ziegenproblem!</colorize>]] [[File:Monty-GoatRevealed.svg|center|75px]]}}





Version vom 24. August 2018, 13:36 Uhr

Die „Würfel von Efron“

Diese besonderen Würfel (dargestellt durch ihr Netz) sind nach dem amerikanischen Statistiker Bradley EfronWikipedia-logo.png (geb. 1938) von der Stanford University benannt.

4bunteWürfel.jpg


Spielregeln: Zwei Spieler wählen nacheinander einen Würfel. Danach würfelt jeder einmal. Wer die höhere Punktzahl hat, gewinnt.


Aufgabe

Findest du das Spiel fair?

Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.

Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.


Aufgabe 4.1

Du wirfst einen „Würfel von Efron“. Gib eine Ergebnismenge für jeden „Würfel von Efron“ so an, dass es sich dabei um ein Laplace-Experiment handelt.

Lösungshinweise:

  • Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel    für den grünen Würfel.
  • Wichtig ist, dass    gilt.
  • Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln     (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).


  • Beispiel für eine falsche Lösung:     Dies ist zwar auch eine mögliche Ergebnismenge. Hier sind die Ergebnisse aber nicht gleichwahrscheinlich!


Aufgabe 4.2

Pia lässt Anna den Vortritt: Anna sucht sich den violetten Würfel aus, weil das ihre Lieblingsfarbe ist. Danach nimmt Pia den grünen Würfel. Wer hat die besseren Gewinnchancen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Pia und Anna.

AnnaundPia.jpg

Lösungshinweise:

  • Erstelle ein zweistufiges Baumdiagramm.
  • Die erste Stufe ist z.B. Pias Wurf, die zweite Stufe ist dann Annas Wurf.
  • Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 4.1.


  • Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit  
Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:


  • Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:
PiaundAnna.jpg
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnet sich aus dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades („Produktregel“)!
  • Betrachte diese 36-Feldertafel:
36 Felder Tafel rot grün.jpg
Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.
Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.
Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:
Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von    gegen den violetten Würfel.
Das stimmt mit dem Baumdiagramm und der Rechnung überein!


Aufgabe 4.3

Welche weiteren Farbkombinationen gibt es noch, mit den „Würfeln von Efron“ gegeneinander zu spielen? Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Möglichkeiten wie in Aufgabe 4.2.

Übertrage die unten stehende Tabelle auf dein Blatt und trage die Werte ein!

Gibt es den „Superwürfel“, der gegen alle anderen gewinnt?


Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.
EfronTabelleLeer.jpg
Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.


Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau:

Efrongelbundblau.jpg
Wählt nun Pia zuerst den türkisen Würfel, sucht sich danach Anna den gelben aus.


  • Das zugehörige Baumdiagramm sieht so aus:
BaumEfrongelbundblau.jpg


  • Hat Pia schon wieder die besseren Chancen?
Wir markieren alle Pfade rot, bei denen sie sicher gewinnt:
BaumEfrongelbundblauPiarot.jpg
Die Wahrscheinlichkeit des roten Pfades berechnet sich wieder aus dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades!
Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Pia beträgt diesmal also nur  


  • Betrachten wir zur Probe alle übrigen Pfade, wenn Anna sicher gewinnt:
BaumEfrongelbundblauAnnarot.jpg
Wir bekommen Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn wir die Wahrscheinlichkeiten aller roten Pfade addieren:
(Du kennst dieses Verfahren beispielsweise schon aus den Aufgaben 2.1 und 2.2! Man nennt das die „Summenregel“.


  • Die 36-Feldertafel bestätigt das Ergebnis:
TafelEfrongelbundblau.jpg
Der gelbe Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den türkisen Würfel.


  • Dies zeigt uns auch die formale Rechnung über das Gegenereignis:


  • Es gibt insgesamt verschiedene Spielpaarungen.
Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:
EfronGewinntabelle.jpg
  • Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von  gewinnt.
Die beste Strategie zu gewinnen ist also höflich zu sein und dem Anderen den Vortritt zu lassen!


Für Interessierte:

Aufgabe 4.4

Hans und Franz wollen bei Pia und Anna mitspielen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn alle vier Würfel geworfen werden?

4bunteWürfel.jpg

Lösungshilfe:

Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen.
Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.


Baum3.jpg


  Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
  Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende.

  Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.





  Als nächstes kann der türkise Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt. Der Pfad ist zu Ende.





  Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.





  Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel.

Aufgabe
Spielt das Spiel aus Aufgabe 4.4 zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.




Monty-GoatRevealed.svg