Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Aufgaben-M|1|Kannst du Ergebnisräume angeben, sodass es sich beim Wurf mit den „Würfeln von Efron“ um ein Laplace-Experiment handelt?}}
{{Aufgaben-M|1|Kannst du Ergebnisräume angeben, sodass es sich beim Wurf mit den „Würfeln von Efron“ um ein Laplace-Experiment handelt?}}


{{Lösung versteckt|Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel  
{{Lösung versteckt|Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel &nbsp;<math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math>&nbsp; für den grünen Würfel.


<math> \Omega_{gruen} = \left\{ 4_1, 4_2, 4_3, 4_4, 0_1, 0_2 \right\} </math> für den grünen Würfel. Wichtig ist, dass
Wichtig ist, dass &nbsp;<math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math>&nbsp; gilt.  


<math>\left|\Omega_{gruen}\right| = 6</math> gilt. Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln  
Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln &nbsp;<math>p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math> &nbsp;&nbsp;(siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).


<math>p\left(0\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math>


(siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).
Beispiel für eine falsche Lösung: &nbsp; <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\}\ .</math>&nbsp; Hier sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich!
 
Falsche Lösung: <math> \Omega = \left\{ 4, 0 \right\} </math>. Hier sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich!
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* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 2.}}
* Berechne die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten wie in Aufgabe 2.}}


{{Lösung versteckt|Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt. Nach Aufgabe 2 ist diese Wahrscheinlichkeit
{{Lösung versteckt|Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.
 
Nach Aufgabe 2 ist diese Wahrscheinlichkeit &nbsp;<math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .</math>


<math>p\left(0\right)=\frac{1}{3}</math> . Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach so:  
Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:  


<math> p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} </math> .
:<math> p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .</math>


Dies lässt sich aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:  
Dies lässt sich aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:  
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Lösungshilfe: {{versteckt|Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}}
Lösungshilfe: {{versteckt|Jetzt musst du ein Baumdiagramm mit vier Stufen, die für die vier Würfel stehen, entwerfen. Zeichne so wenige Zweige wie möglich, damit es übersichtlich bleibt.}}


{{Lösung versteckt|Der gelbe Würfel gewinnt, falls er die sechs zeigt. Also brauchst du diesen Zweig nicht weiter aufzuspalten. Als nächstes gewinnt der blaue Würfel, falls er 5 zeigt, usw.
{{Lösung versteckt|[[Datei:Baum3.jpg|links]] <br><br> &nbsp;&nbsp;Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.<br>&nbsp;&nbsp;Dann sind die anderen Würfel uninteressant.
 
&nbsp;&nbsp;Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.
 
<br><br><br><br>&nbsp;&nbsp;Als nächstes kann der blaue Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt.
 
<br><br><br><br>&nbsp;&nbsp;Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.
 
<br><br><br><br>&nbsp;&nbsp;Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt der rote Würfel.
 


[[Datei:Baum3.jpg]]
}}
}}


Version vom 3. September 2009, 13:31 Uhr

Die „Würfel von Efron“

Vorlage:Kasten Mathematik


Aufgabe
Findest du das Spiel fair?

Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.

Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.


Vorlage:Aufgaben-M

Eine mögliche Lösung ist zum Beispiel    für den grünen Würfel.

Wichtig ist, dass    gilt.

Da jede Seite gleichwahrscheinlich ist, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eine Null zu würfeln     (siehe Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit).


Beispiel für eine falsche Lösung:     Hier sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich!


Vorlage:Aufgaben-M

AnnaundPia.jpg


Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.

Nach Aufgabe 2 ist diese Wahrscheinlichkeit  

Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:

Dies lässt sich aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:

PiaundAnna.jpg


Erklärung: 36-Felder-Tafel


Vorlage:Aufgaben-M

Tipp: Überlege dir alle Möglichkeiten mit zwei Würfeln gegeneinander zu spielen.


Vorlage:Aufgaben-M


Für Interessierte: Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt

Baum3.jpg


  Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
  Dann sind die anderen Würfel uninteressant.

  Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.





  Als nächstes kann der blaue Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt.





  Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.





  Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt der rote Würfel.



Aufgabe
Spielt das Spiel zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.



→ Weiter zu dem Ziegen-Problem!

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