Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Drei-Würfel-Problem: Unterschied zwischen den Versionen

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K (Das „Drei-Würfel-Problem“)
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{{Aufgabe|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}}
 
{{Aufgabe|Welchen Fehler hatte ''de Méré'' wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?}}
  
 
Bevor wir ''Chevalier de Méré'' bei seinem Problem helfen wollen, beschäftigen wir uns zunächst mit einem einfacheren, aber ähnlichem Fall:
 
 
{{Kasten Mathematik|Peter bietet dir in der Pause ein Glücksspiel an:
 
 
 
Du wirfst einen roten und einen grünen Würfel. Bei den Augensummen 2, 3, 4, 9, 10, 11 und 12 bekommst du deinen Einsatz doppelt zurück, bei den Augensummen 5, 6, 7 und 8 verlierst du deinen Einsatz. Da du bei 7 Augensummen gewinnst und nur bei 4
 
Augensummen verlierst, beträgt Deine Gewinnwahrscheinlichkeit <math>\frac{7}{11} \approx 64%</math>.
 
 
Würdest du dich auf das Spiel einlassen?
 
}}
 
 
 
{{Aufgaben-M|1|Schreibe eine möglichst feine Ergebnismenge für das Zufallsexperiment hin.}}
 
 
 
{{Aufgaben-M|2|Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E<sub>1</sub>: „Augensumme ist 2“ bis E<sub>12</sub>: „Augensumme ist 12“.}}
 
 
 
{{Aufgaben-M|3|Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?}}
 
 
 
oder: Sollte das Problem noch zu schwierig sein, vereinfache es zunächst auf den zweifachen Würfelwurf!
 
 
Auf folgender englischsprachigen Seite kannst du ein Spiel zum zweifachen Würfelwurf
 
ausprobieren (dazu benötigt du Java):
 
 
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.shodor.org/interactivate/activities/RacingGameWithTwoDie/ Racing Game with two Dice]
 
Wähle an der rechten Seite für die Augensumme 11 „Player A“ und für die Augensumme 12 „Player B“. Mit „Start the race“ geht es los!
 
:Du kannst auch automatisch viele Rennen durchlaufen lassen und die Gewinnerstatistik betrachten.
 
  
 
{{Aufgaben-M|2|Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf!
 
{{Aufgaben-M|2|Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf!

Version vom 3. September 2009, 17:22 Uhr

Das „Drei-Würfel-Problem“

Bild von drei Würfeln einfügen!


Vorlage:Kasten Mathematik


Aufgabe
Welchen Fehler hatte de Méré wohl gemacht? Kannst du den Irrtum aufklären?


  Stift.gif   Aufgabe 2

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf!

(Info: Bei dieser Aufgabe irrte sich übrigens Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (1646 - 1716), einer der letzten Universalgelehrten.)

Tipp: Was fällt dir an den Würfeln im Spiel auf? Zeichne ein Baumdiagramm für die Augensummen 11 und 12 beim zweifachen Würfelwurf.

Die Würfel sind unterschiedlich gefärbt. Man könnte auch sagen: 1. Wurf ist rot, 2. Wurf ist grün.

Damit wäre die Lösung nach de Méré der Art, dass es eine Möglichkeit für beide Augensummen gibt, nämlich beziehungsweise , falsch.

Das Baumdiagramm zeigt zwei Wege, welche die Augensumme 11 ergeben. <br!> Baum1.jpg


Aufgabe
Löse nun Aufgabe 1, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die gesuchten Augensummen beim dreifachen Würfelwurf berechnest.

Lösungshilfen:

  • Erstelle die Ergebnismenge, wie de Méré es gemacht hat. Handelt es sich mit dieser Ergebnissmenge um ein Laplaceexperiment?
  • Stelle dir vor die Würfel wären unterschiedlich. (Bild!)
  • Mit Hilfe dieser Urnensimulation kannst du unter anderem einen dreifachen Würfelwurf simulieren. Führe dies mit und ohne Beachtung der Reihenfolge durch. Was fällt dir auf?

Vorlage:Rechtsklick Fenster Urnensimulation

(→ Wie geht das?) Vorlage:Versteckt

  • Erstelle nun die Ergebnismenge, sodass es sich um ein Laplace-experiment handelt! Jetzt kannst du unter der Voraussetzung der Gliechwahrscheinlichkeit die gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnen.




Vorlage:Kasten Mathematik