Jahrgangsstufentest/BMT8 2008: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Kurzinfo-2|DSB ISB|DSB-1}}
[https://www.isb.bayern.de/gymnasium/leistungserhebungen/jahrgangsstufenarbeiten-gymnasium/mathematik/2008/ '''Test + Lösung zum Download''']
Aufgaben des BMT 8 2008 Gruppe A
<br>


Druckversion:
<div class="rahmen">
 
<big>'''Aufgabe 1'''</big>
[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=1e9b68843aae25c96e4af09bd8749883 BMT8 2008 Angabe]


[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=f0fd13869a81afe5827ef3222f5975e7 BMT8 2008 Lösung]
Aus einem Quader wurde an einer Ecke ein Würfel herausgeschnitten (vergleiche nebenstehende Abbildung). Berechne das Volumen des Restkörpers.


[http://www.isb.bayern.de/isb/index.aspx?MNav=0&QNav=11&TNav=0&INav=0&VTyp=1&Fach=30 frühere Jahrgänge]
[[Datei:BMT8_08_A1.jpg|400 px|right]]


{|
{{Lösung versteckt|1=
|
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<big>'''Aufgabe 1'''</big>
 
[[Datei:BMT8_08_A1.jpg|right]] Aus einem Quader wurde an einer Ecke ein Würfel herausgeschnitten (vergleiche nebenstehende Abbildung). Berechne das Volumen des Restkörpers.
 
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:Das Volumen beträgt '''333 cm<sup>3</sup>'''.
:Das Volumen beträgt '''333 cm<sup>3</sup>'''.


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::333&nbsp;cm<sup>3</sup>
::333&nbsp;cm<sup>3</sup>
}}
}}
</div>
</div>
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<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">
<big>'''Aufgabe 2a'''</big>
<big>'''Aufgabe 2a'''</big>


Nebenstehende Tabelle zeigt, wie viele Euro-Geldscheine am 31. Mai 2007 in Umlauf waren. Beispielsweise befanden sich von den 200&nbsp;€-Scheinen 153 Millionen Stück in Umlauf.
{| cellpadding="10"
 
| style="vertical-align:top" width="500px" |<br>Nebenstehende Tabelle zeigt, wie viele Euro-Geldscheine am 31. Mai 2007 in Umlauf waren. Beispielsweise befanden sich von den 200&nbsp;€-Scheinen 153 Millionen Stück in Umlauf.
:{| class="wikitable"
|
!style="vertical-align:top" width="50px"| Wert  
{| class="wikitable"
! style="vertical-align:top" width="50px" |Wert
!Anzahl der Scheine <br> in Millionen
!Anzahl der Scheine <br> in Millionen
|-
|-
| style="text-align:right" | 500&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:right" |500&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 429
| style="text-align:center" |429
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| style="text-align:right" | 200&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
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| style="text-align:center" | 153
| style="text-align:center" |153
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|-
| style="text-align:right" | 100&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:right" |100&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 1116
| style="text-align:center" |1116
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|-
| style="text-align:right" | 50&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:right" |50&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 3983
| style="text-align:center" |3983
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|-
| style="text-align:right" | 20&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:right" |20&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 2244
| style="text-align:center" |2244
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|-
| style="text-align:right" | 10&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:right" |10&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 1804
| style="text-align:center" |1804
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|-
| style="text-align:right" | 5&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:right" |5&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 1325
| style="text-align:center" |1325
|}
|}
|}
Wie hoch war der Gesamtwert aller 50 €-Scheine?
Wie hoch war der Gesamtwert aller 50 €-Scheine?
(!ca. 200 000 Euro)  (!ca. 2 Milliarden Euro) (!ca. 20 Milliarden Euro) (ca. 200 Milliarden Euro) (!ca. 2 Billionen Euro)
(!ca. 200 000 Euro)  (!ca. 2 Milliarden Euro) (!ca. 20 Milliarden Euro) (ca. 200 Milliarden Euro) (!ca. 2 Billionen Euro)


</div>
</div>
|}


{|
<div class="rahmen">
|
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<big>'''Aufgabe 2b'''</big>
<big>'''Aufgabe 2b'''</big>


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Ungefähr wie viel Prozent aller in Umlauf befindlichen Scheine waren 20 €-Scheine? Die notwendigen Rechnungen brauchen nicht exakt ausgeführt zu werden, es genügt jeweils ein Überschlag. Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.
Ungefähr wie viel Prozent aller in Umlauf befindlichen Scheine waren 20 €-Scheine? Die notwendigen Rechnungen brauchen nicht exakt ausgeführt zu werden, es genügt jeweils ein Überschlag. Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
:'''Ungefähr 20 %''' aller im Umlauf befindlicher Scheine waren 20 € Scheine.
:'''Ungefähr 20 %''' aller im Umlauf befindlicher Scheine waren 20 € Scheine.


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}}
}}
</div>
</div>
</div>
|}


<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 3a'''</big>
<big>'''Aufgabe 3a'''</big>


Bestimme die Lösung der Gleichung 12 - 6 · (<math>\textstyle\frac{1}{3}</math>x + 3) = 4x.
Bestimme die Lösung der Gleichung 12 - 6 · (<math>\textstyle\frac{1}{3}</math>x + 3) = 4x.


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 
:{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
:'''x = -1'''
:'''x = -1'''


:möglicher Rechenweg:
:möglicher Rechenweg:
::12 - 6 ·<math>\textstyle\frac{1}{3}</math>x + 3) = 4x  
::12 - 6 ·(<math>\textstyle\frac{1}{3}</math>x + 3) = 4x  
::12 - [6 · <math>\textstyle\frac{1}{3}</math>x + 6 · 3] = 4x    ''Distributivgesetz''
::12 - 6 · <math>\textstyle\frac{1}{3}</math>x - 6 · 3 = 4x    ''Distributivgesetz''
::12 - [2x + 18] = 4x   
::12 - 2x - 18 = 4x   
::12 - 2x - 18 = 4x    ''Klammer auflösen''
::-6 = 6x
::-6 = 6x
::x = -1
::x = -1
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}}
}}
</div>
</div>
</div>


<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 3b'''</big>
<big>'''Aufgabe 3b'''</big>


Zeile 121: Zeile 100:
Durch welche Zahl muss in obiger Gleichung die Zahl 12 ersetzt werden, damit x = 0 Lösung der neuen Gleichung ist?
Durch welche Zahl muss in obiger Gleichung die Zahl 12 ersetzt werden, damit x = 0 Lösung der neuen Gleichung ist?


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
:12 muss durch '''18''' ersetzt werden.
:12 muss durch '''18''' ersetzt werden.


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}}
}}
</div>
</div>
</div>


 
<div class="rahmen">
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<big>'''Aufgabe 4a'''</big>
<big>'''Aufgabe 4a'''</big>


Im Rahmen des Verkehrsunterrichts wurden die Fahrräder der Unterstufenschüler überprüft. Die einzelnen Mängel wurden in folgender Liste zusammengefasst:
Im Rahmen des Verkehrsunterrichts wurden die Fahrräder der Unterstufenschüler überprüft. Die einzelnen Mängel wurden in folgender Liste zusammengefasst:


::* mangelhafte Beleuchtung an jedem 6. Fahrrad
::*mangelhafte Beleuchtung an jedem 6. Fahrrad
::* mangelhafte Bremsen an 15 % der Fahrräder
::*mangelhafte Bremsen an 15 % der Fahrräder
::* mangelhafte Reifen an <math>\textstyle\frac{1}{5}</math> der Fahrräder
::*mangelhafte Reifen an <math>\textstyle\frac{1}{5}</math> der Fahrräder


Welcher Mangel wurde am häufigsten festgestellt? Begründe deine Antwort durch einen Größenvergleich der in der Liste genannten Anteile.
Welcher Mangel wurde am häufigsten festgestellt? Begründe deine Antwort durch einen Größenvergleich der in der Liste genannten Anteile.


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
:Am häufigsten wurden '''mangelhafte Reifen''' festgestellt.
:Am häufigsten wurden '''mangelhafte Reifen''' festgestellt.


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}}
}}
</div>
</div>
</div>


<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 4b'''</big>
<big>'''Aufgabe 4b'''</big>


Zeile 176: Zeile 149:
Peter schaut sich die obige Liste mit den Ergebnissen der Überprüfung an, rechnet kurz und sagt dann: „Nach dieser Liste sind mehr als 50 % aller untersuchten Fahrräder mangelhaft.“ Begründe, dass Peter nicht unbedingt Recht hat.
Peter schaut sich die obige Liste mit den Ergebnissen der Überprüfung an, rechnet kurz und sagt dann: „Nach dieser Liste sind mehr als 50 % aller untersuchten Fahrräder mangelhaft.“ Begründe, dass Peter nicht unbedingt Recht hat.


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
:'''Peter berücksichtigt nicht, dass ein Fahrrad auch zwei oder drei der genannten Mängel aufweisen kann.'''
:'''Peter berücksichtigt nicht, dass ein Fahrrad auch zwei oder drei der genannten Mängel aufweisen kann.'''


}}
}}
</div>
</div>
</div>


<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 5a'''</big>
<big>'''Aufgabe 5a'''</big>


Zeile 192: Zeile 162:
Wie viele Ecken hat ein n-Eck mit der Innenwinkelsumme 720°?
Wie viele Ecken hat ein n-Eck mit der Innenwinkelsumme 720°?


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
: Es hat '''6''' Ecken.
: Es hat '''6''' Ecken.


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}}
}}
</div>
</div>
</div>


 
<div class="rahmen">
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<big>'''Aufgabe 5b'''</big>
<big>'''Aufgabe 5b'''</big>


Ein n-Eck mit lauter gleich langen Seiten und gleich großen Innenwinkeln heißt reguläres n-Eck. Berechne die Größe eines Innenwinkels im regulären Zehneck.
Ein n-Eck mit lauter gleich langen Seiten und gleich großen Innenwinkeln heißt reguläres n-Eck. Berechne die Größe eines Innenwinkels im regulären Zehneck.


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
:Die Größe des Innenwinkels beträgt '''144°'''.
:Die Größe des Innenwinkels beträgt '''144°'''.


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}}
}}
</div>
</div>
</div>


 
<div class="rahmen">
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<big>'''Aufgabe 6a'''</big>
<big>'''Aufgabe 6a'''</big>
{|
| style="vertical-align:top" |Von einer Raute sind die Diagonalenlängen e und f bekannt. Überlege, wie man daraus den Flächeninhalt der Raute ermitteln kann, und gib eine entsprechende Formel an.
| width="10px" |
|[[Datei:BMT8_08_A6a_01.jpg|200px]]
|}


Von einer Raute sind die Diagonalenlängen e und f bekannt. Überlege, wie man daraus den Flächeninhalt der Raute ermitteln kann, und gib eine entsprechende Formel an.
{{Lösung versteckt|1=
 
<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:'''A = 0,5 · e · f'''
:'''A = 0,5 · e · f'''


:Mögliche Begründung:
:Mögliche Begründung: [[Datei:BMT8_08_A6a_02.jpg|500px]]
::[[Bild:BMT8_08_A6a_01.jpg]] Die beiden Diagonalen teilen die Raute in vier gleiche rechtwinkligen Dreiecke. Gruppiert man die Dreiecke um, erhält man ein Rechteck mit z.B. den Kantenlängen 0,5·e und f. Der Flächeninhalt des Rechtecks (und damit der der Raute) beträgt 0,5·e·f.
::Die beiden Diagonalen teilen die Raute in vier gleiche rechtwinkligen Dreiecke. Gruppiert man die Dreiecke um, erhält man ein Rechteck mit z.B. den Kantenlängen 0,5·e und f. Der Flächeninhalt des Rechtecks (und damit der der Raute) beträgt 0,5·e·f.
::weitere Möglichkeiten:
::[[Bild:BMT8_08_A6a_02.jpg]][[Bild:BMT8_08_A6a_03.jpg]]


::Es gibt noch zahlreiche weitere Möglichkeiten, die Formel herzuleiten!
}}
}}
</div>
</div>
</div>


 
<div class="rahmen">
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<big>'''Aufgabe 6b'''</big>
<big>'''Aufgabe 6b'''</big>


Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal eine Raute, bei der ein Innenwinkel 60° beträgt.
Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal eine Raute, bei der ein Innenwinkel 60° beträgt.


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
:*Zeichne eine beliebige Strecke [AB] der Länge a.
:[[Bild:BMT8_08_A6b_01.jpg|right]]Zeichne eine beliebige Strecke [AB] der Länge a.
:*Zeichne zwei Kreise mit dem Radius a und den Mittelpunkten A und B. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt D der Raute, der Winkel bei A beträgt 60°.  
:[[Bild:BMT8_08_A6b_02.jpg|right]]Zeichne zwei Kreise mit dem Radius a und den Mittelpunkten A und B. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt D der Raute.
:*Zeichne zwei Kreise mit dem Radius a und den Mittelpunkten B und D. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt C der Raute.  
:[[Bild:BMT8_08_A6b_03.jpg|right]]Zeichne zwei Kreise mit dem Radius a und den Mittelpunkten B und D. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt C der Raute.
::[[Datei:BMT8_08_A6b_01.jpg|200px]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Datei:BMT8_08_A6b_02.jpg|200px]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Datei:BMT8 08 A06b 03.jpg|310px]]
 
}}
}}
</div>
</div>
</div>


<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 7'''</big>
<big>'''Aufgabe 7'''</big>


Berechne den Wert des Terms 0,1 · (2,4 : 0,6).
Berechne den Wert des Terms 0,1 · (2,4 : 0,6).


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
:Der Wert des Terms beträgt '''0,4'''.
:Der Wert des Terms beträgt '''0,4'''.


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}}
}}
</div>
</div>
</div>


 
<div class="rahmen">
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<big>'''Aufgabe 8a'''</big>
<big>'''Aufgabe 8a'''</big>


Gib zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen an, so dass auf der Zahlengeraden die Zahl 20 in der Mitte zwischen diesen beiden Zahlen liegt.
Gib zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen an, so dass auf der Zahlengeraden die Zahl 20 in der Mitte zwischen diesen beiden Zahlen liegt.


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
:z.B.'''-10 und 50'''  
:z.B.'''-10 und 50'''  


:Begründung:
:Begründung:
::[[Bild:BMT8:08_A08a.jpg]]
::Geht man von der Zahl 20 aus '''30 nach links''', kommt man zur Zahl -10.  
::Geht man von der Zahl 20 aus '''30 nach links''', kommt man zur Zahl -10.  
::Geht man von der Zahl 20 aus '''30 nach rechts''', kommt man zur Zahl 50.  
::Geht man von der Zahl 20 aus '''30 nach rechts''', kommt man zur Zahl 50.  


}}
}}
</div>
</div>
</div>


 
<div class="rahmen">
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<big>'''Aufgabe 8b'''</big>
<big>'''Aufgabe 8b'''</big>


Bestimme den Mittelwert der Zahlen <math>\textstyle\frac{1}{3}</math> und <math>\textstyle\frac{1}{2}</math>.
Bestimme den Mittelwert der Zahlen <math>\textstyle\frac{1}{3}</math> und <math>\textstyle\frac{1}{2}</math>.


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
:Der Mittelwert der beiden Zahlen ist '''<math>\textstyle\frac{5}{12}</math>'''.
:Der Mittelwert der beiden Zahlen ist '''<math>\textstyle\frac{5}{12}</math>'''.


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::<math>\textstyle\frac{5}{12}</math>
::<math>\textstyle\frac{5}{12}</math>


:Überlegung am Zahlenstrahl:
:Überlegung an der Zahlengeraden:
::[[Bild:BMT8:08_A08b.jpg]]
::Es gilt: <math>\textstyle\frac{1}{3}</math> = <math>\textstyle\frac{2}{6}</math> = <math>\textstyle\frac{4}{12}</math> und <math>\textstyle\frac{1}{2}</math> = <math>\textstyle\frac{3}{6}</math> = <math>\textstyle\frac{6}{12}</math>
::Es gilt: <math>\textstyle\frac{1}{3}</math> = <math>\textstyle\frac{2}{6}</math> = <math>\textstyle\frac{4}{12}</math> und <math>\textstyle\frac{1}{2}</math> = <math>\textstyle\frac{3}{6}</math> = <math>\frac{6}{12}</math>
::Der Bruch <math>\textstyle\frac{5}{12}</math> liegt genau in der Mitte zwischen <math>\textstyle\frac{4}{12}</math> und <math>\textstyle\frac{6}{12}</math>  
::Der Bruch <math>\textstyle\frac{5}{12}</math> liegt genau in der Mitte zwischen <math>\textstyle\frac{4}{12}</math> und <math>\textstyle\frac{6}{12}</math>  


}}
}}
</div>
</div>
</div>


 
<div class="rahmen">
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<big>'''Aufgabe 9a'''</big>
<big>'''Aufgabe 9a'''</big>


Die Nationalfahne der Schweiz zeigt ein weißes Kreuz auf rotem Grund. Für die vier kongruenten Arme des Kreuzes ist durch Beschluss der Schweizer Bundes- versammlung aus dem Jahr 1889 festgelegt: Die Länge l eines Arms ist um <math>\textstyle\frac{1}{6}</math> der Breite b größer als b (vergleiche nebenstehende Abbildung).
Die Nationalfahne der Schweiz zeigt ein weißes Kreuz auf rotem Grund. Für die vier kongruenten Arme des Kreuzes ist durch Beschluss der Schweizer Bundes- versammlung aus dem Jahr 1889 festgelegt: Die Länge l eines Arms ist um <math>\textstyle\frac{1}{6}</math> der Breite b größer als b (vergleiche nebenstehende Abbildung).
<br><br>Wie lang ist ein Arm, wenn seine Breite 18 cm beträgt?


Wie lang ist ein Arm, wenn seine Breite 18 cm beträgt?
[[Datei:BMT8_08_A09_01.jpg|200px|right]]


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
 
:{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
:Der Arm ist '''21 cm''' lang.
:Der Arm ist '''21 cm''' lang.


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}}
}}
</div>
</div>
</div>


<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">
<div class="rahmen">
<big>'''Aufgabe 9b'''</big>
<big>'''Aufgabe 9b'''</big>


Stelle einen Term auf, der den Flächeninhalt des weißen Kreuzes in Abhängigkeit von der Breite b eines Arms beschreibt. Fasse den Term, in dem nur noch b als Variable vorkommen soll, so weit wie möglich zusammen.
Stelle einen Term auf, der den Flächeninhalt des weißen Kreuzes in Abhängigkeit von der Breite b eines Arms beschreibt. Fasse den Term, in dem nur noch b als Variable vorkommen soll, so weit wie möglich zusammen.


<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
:'''A = <math>\textstyle\frac{17}{3}</math>b<sup>2</sup>'''
:'''A = <math>\textstyle\frac{17}{3}</math>b<sup>2</sup>'''


:Möglicher Lösungsweg:
:Möglicher Lösungsweg:
::A = 4 · l·b + b<sup>2</sup> = 4 · <math>\textstyle\frac{7}{6}</math>b · b + b<sup>2</sup> = <math>\textstyle\frac{28}{6}</math>b<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = <math>\textstyle\frac{34}{6}</math>b<sup>2</sup> = <math>\textstyle\frac{17}{3}</math>b<sup>2</sup>
::A = 4 · l·b + b<sup>2</sup> = 4 · <math>\textstyle\frac{7}{6}</math>b · b + b<sup>2</sup> = <math>\textstyle\frac{28}{6}</math>b<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = <math>\textstyle\frac{34}{6}</math>b<sup>2</sup> = <math>\textstyle\frac{17}{3}</math>b<sup>2</sup> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Datei:BMT8_08_A09b__01.jpg||200px]]


}}
}}
</div>
</div>
</div>
 
[[Kategorie:Vergleichsarbeiten]]
[[Kategorie:BMT 8 Mathematik]]
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[[Kategorie:Interaktive Übung]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 18:00 Uhr

Test + Lösung zum Download

Aufgabe 1

Aus einem Quader wurde an einer Ecke ein Würfel herausgeschnitten (vergleiche nebenstehende Abbildung). Berechne das Volumen des Restkörpers.

BMT8 08 A1.jpg
Das Volumen beträgt 333 cm3.
möglicher Rechenweg:
VQuader - VWürfel=
5 cm · 12 cm · 6 cm - (12 cm - 9 cm)3 =
360 cm3 - 27 cm3 =
333 cm3

Aufgabe 2a


Nebenstehende Tabelle zeigt, wie viele Euro-Geldscheine am 31. Mai 2007 in Umlauf waren. Beispielsweise befanden sich von den 200 €-Scheinen 153 Millionen Stück in Umlauf.
Wert Anzahl der Scheine
in Millionen
500 €   429
200 €   153
100 €   1116
50 €   3983
20 €   2244
10 €   1804
5 €   1325

Wie hoch war der Gesamtwert aller 50 €-Scheine? (!ca. 200 000 Euro) (!ca. 2 Milliarden Euro) (!ca. 20 Milliarden Euro) (ca. 200 Milliarden Euro) (!ca. 2 Billionen Euro)

Aufgabe 2b

Diese Aufgabe bezieht sich auf die Tabelle aus Aufgabe 2a!

Ungefähr wie viel Prozent aller in Umlauf befindlichen Scheine waren 20 €-Scheine? Die notwendigen Rechnungen brauchen nicht exakt ausgeführt zu werden, es genügt jeweils ein Überschlag. Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.

Ungefähr 20 % aller im Umlauf befindlicher Scheine waren 20 € Scheine.
möglicher Lösungsweg:
ungefähre Anzahl aller Scheine: 400 + 200 + 1100 + 4000 + 2200 + 1800 + 1300 = 5700 + 4000 + 1300 = 11000
ungefähre Anzahl der 20 € - Scheine: 2200
= = 20 %

Aufgabe 3a

Bestimme die Lösung der Gleichung 12 - 6 · (x + 3) = 4x.


x = -1
möglicher Rechenweg:
12 - 6 ·(x + 3) = 4x
12 - 6 · x - 6 · 3 = 4x Distributivgesetz
12 - 2x - 18 = 4x
-6 = 6x
x = -1

Aufgabe 3b

Diese Aufgabe bezieht sich auf die Gleichung aus Aufgabe 3a!

Durch welche Zahl muss in obiger Gleichung die Zahl 12 ersetzt werden, damit x = 0 Lösung der neuen Gleichung ist?

12 muss durch 18 ersetzt werden.
möglicher Lösungsweg:
Mit x = 0 und z für die gesuchte Zahl ergibt sich folgende Gleichung:
z - 6 · 3 = 0
Also ist die Zahl 12 durch die Zahl 18 zu ersetzen.

Aufgabe 4a

Im Rahmen des Verkehrsunterrichts wurden die Fahrräder der Unterstufenschüler überprüft. Die einzelnen Mängel wurden in folgender Liste zusammengefasst:

  • mangelhafte Beleuchtung an jedem 6. Fahrrad
  • mangelhafte Bremsen an 15 % der Fahrräder
  • mangelhafte Reifen an der Fahrräder

Welcher Mangel wurde am häufigsten festgestellt? Begründe deine Antwort durch einen Größenvergleich der in der Liste genannten Anteile.

Am häufigsten wurden mangelhafte Reifen festgestellt.
mögliche Begründung durch Größenvergleich in der Bruchdarstellung:
  • mangelhafte Beleuchtung: "Jedes 6. Fahrrad" entspricht aller Fahrräder
  • mangelhafte Bremsen: 15% = =
  • mangelhafte Reifen:
Größenvergleich der Brüche:
  • >
  • = >
Der Bruch hat den größten Wert, der zugehörigen Mangel wurde am häufigsten festgestellt.
mögliche Begründung durch Größenvergleich in der Prozentdarstellung:
  • mangelhafte Beleuchtung: entspricht ca. 17%
  • mangelhafte Bremsen: 15%
  • mangelhafte Reifen: = 20%

Aufgabe 4b

Diese Aufgabe bezieht sich auf die Liste aus Aufgabe 4a!

Peter schaut sich die obige Liste mit den Ergebnissen der Überprüfung an, rechnet kurz und sagt dann: „Nach dieser Liste sind mehr als 50 % aller untersuchten Fahrräder mangelhaft.“ Begründe, dass Peter nicht unbedingt Recht hat.

Peter berücksichtigt nicht, dass ein Fahrrad auch zwei oder drei der genannten Mängel aufweisen kann.

Aufgabe 5a

Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck beträgt (n-2)·180°.

Wie viele Ecken hat ein n-Eck mit der Innenwinkelsumme 720°?

Es hat 6 Ecken.
Begründung:
720° = 4 · 180°
Also ist n - 2 = 4 und damit n = 6.

Aufgabe 5b

Ein n-Eck mit lauter gleich langen Seiten und gleich großen Innenwinkeln heißt reguläres n-Eck. Berechne die Größe eines Innenwinkels im regulären Zehneck.

Die Größe des Innenwinkels beträgt 144°.
möglicher Lösungsweg:
Zehneck: n = 10
Innenwinkelsumme (10 - 2)·180° = 1440°
Größe eines der zehn gleich großen Innenwinkel: 144°

Aufgabe 6a

Von einer Raute sind die Diagonalenlängen e und f bekannt. Überlege, wie man daraus den Flächeninhalt der Raute ermitteln kann, und gib eine entsprechende Formel an. BMT8 08 A6a 01.jpg
A = 0,5 · e · f
Mögliche Begründung: BMT8 08 A6a 02.jpg
Die beiden Diagonalen teilen die Raute in vier gleiche rechtwinkligen Dreiecke. Gruppiert man die Dreiecke um, erhält man ein Rechteck mit z.B. den Kantenlängen 0,5·e und f. Der Flächeninhalt des Rechtecks (und damit der der Raute) beträgt 0,5·e·f.
Es gibt noch zahlreiche weitere Möglichkeiten, die Formel herzuleiten!

Aufgabe 6b

Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal eine Raute, bei der ein Innenwinkel 60° beträgt.

  • Zeichne eine beliebige Strecke [AB] der Länge a.
  • Zeichne zwei Kreise mit dem Radius a und den Mittelpunkten A und B. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt D der Raute, der Winkel bei A beträgt 60°.
  • Zeichne zwei Kreise mit dem Radius a und den Mittelpunkten B und D. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt C der Raute.
BMT8 08 A6b 01.jpg   BMT8 08 A6b 02.jpg   BMT8 08 A06b 03.jpg

Aufgabe 7

Berechne den Wert des Terms 0,1 · (2,4 : 0,6).

Der Wert des Terms beträgt 0,4.
Möglicher Rechenweg:
0,1 · (2,4 : 0,6) = 0,1 · (24 : 6) = 0,1 · 4 = 0,4

Aufgabe 8a

Gib zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen an, so dass auf der Zahlengeraden die Zahl 20 in der Mitte zwischen diesen beiden Zahlen liegt.

z.B.-10 und 50
Begründung:
Geht man von der Zahl 20 aus 30 nach links, kommt man zur Zahl -10.
Geht man von der Zahl 20 aus 30 nach rechts, kommt man zur Zahl 50.

Aufgabe 8b

Bestimme den Mittelwert der Zahlen und .

Der Mittelwert der beiden Zahlen ist .
Lösung durch Rechnung:
( + ) : 2 =
( + ) : 2 = Hauptnenner bilden
 : 2 =
Überlegung an der Zahlengeraden:
Es gilt: = = und = =
Der Bruch liegt genau in der Mitte zwischen und

Aufgabe 9a

Die Nationalfahne der Schweiz zeigt ein weißes Kreuz auf rotem Grund. Für die vier kongruenten Arme des Kreuzes ist durch Beschluss der Schweizer Bundes- versammlung aus dem Jahr 1889 festgelegt: Die Länge l eines Arms ist um der Breite b größer als b (vergleiche nebenstehende Abbildung).

Wie lang ist ein Arm, wenn seine Breite 18 cm beträgt?

BMT8 08 A09 01.jpg


Der Arm ist 21 cm lang.
mögliche Lösungswege:
l = b + b = 18 cm + 3 cm = 21 cm
oder
l = b + b = b = ·18 cm = (18 cm : 6)· 7 = 21 cm

Aufgabe 9b

Stelle einen Term auf, der den Flächeninhalt des weißen Kreuzes in Abhängigkeit von der Breite b eines Arms beschreibt. Fasse den Term, in dem nur noch b als Variable vorkommen soll, so weit wie möglich zusammen.

A = b2
Möglicher Lösungsweg:
A = 4 · l·b + b2 = 4 · b · b + b2 = b2 + b2 = b2 = b2                BMT8 08 A09b 01.jpg