Integralrechnung/Vorüberlegungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Allgemein berechnet sich eine solche aus | Allgemein berechnet sich eine solche aus Rechteck- und Dreieckfläche zusammengesetzte Fläche natürlich nach der Formel <math>A = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot h \cdot b</math>, wenn <math>a</math> die Höhe des Rechtecks, <math>h</math> die Höhe des Dreiecks und <math>b</math> die Breite des Dreiecks bzw. Rechtecks sind. <br> | ||
Diese Summe aus den beiden Einzelflächen kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der unteren | Diese Summe aus den beiden Einzelflächen kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der unteren Rechteckfläche (Rechteck ABCD) und der oberen Rechteckfläche (Rechteck BCEF)! <br> | ||
Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH. | Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH. | ||
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|Man könnte die Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> in viele schmale Rechtecke aufteilen, deren Fläche berechnen und die gesuchte Fläche durch die Summe der Rechteckflächen annähern. | {{Lösung versteckt|{{Lösung|Man könnte die Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> in viele schmale Rechtecke aufteilen, deren Fläche berechnen und die gesuchte Fläche durch die Summe der Rechteckflächen annähern. | ||
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Besonders effektiv wäre dieses Verfahren, wenn man als Rechteckflächen die Mittelwert- | Besonders effektiv wäre dieses Verfahren, wenn man als Rechteckflächen die Mittelwert-Rechteckflächen aus Aufgabenteil b) benutzen würde. Dafür bräuchte man die Summe der oberen Rechteckflächen (Obersumme) und die Summe der unteren Rechteckflächen (Untersumme). Daraus würde man dann wieder den Mittelwert bilden! | ||
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Das Ganze sähe dann mit <math>n = 10</math> schmalen Rechteckstreifen folgendermaßen aus: <br> | Das Ganze sähe dann mit <math>n = 10</math> schmalen Rechteckstreifen folgendermaßen aus: <br> | ||
[[Bild:flaeche_allgemein_summen.png|zentriert|450px]] <br> | [[Bild:flaeche_allgemein_summen.png|zentriert|450px]] <br> | ||
Dabei sind aus Gründen der Übersichtlichkeit nur die oberen und unteren | Dabei sind aus Gründen der Übersichtlichkeit nur die oberen und unteren Rechteckflächen eingezeichnet, nicht aber die Mittelwert-Rechteckflächen. Deren Wert ist jedoch angegeben. | ||
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Version vom 16. Oktober 2009, 14:49 Uhr
Frage
Aber wie kann man diesen Flächeninhalt denn nun genau bestimmen bzw. berechnen?
Dies ist die zentrale Frage des vorliegenden Lernpfades!
Um der Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!
Vorlage:Aufgaben-M
a) Konstante Funktion: in den Grenzen und
b) Lineare, nicht-konstante Funktion: in den Grenzen und
c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine Möglichkeit beschreiben, wie man die markierte Fläche zumindest näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine
Funktion dritten Grades als Beispiel für eine Funktion im Allgemeinen dienen: in den Grenzen -8 und 10.
