Integralrechnung/Stammfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Gesucht ist eine Stammfunktion <math>F(x)</math> zu der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. <br> | Gesucht ist eine Stammfunktion <math>F(x)</math> zu der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. <br> | ||
Wir wissen, dass die Ableitung der gesuchten Funktion unsere Ausgangsfunktion sein muss. Wir wissen weiter, dass bei der Ableitung einer Potenzfunktion der Exponent als Faktor vor die Ableitung geschrieben und danach um 1 erniedrigt wird. Also gilt <br> | Wir wissen, dass die Ableitung der gesuchten Funktion unsere Ausgangsfunktion sein muss. Wir wissen weiter, dass bei der Ableitung einer Potenzfunktion der Exponent als Faktor vor die Ableitung geschrieben und danach um 1 erniedrigt wird. Also gilt <br> | ||
<math>F(x) = \frac{1}{3} \ | <math>F(x) = \frac{1}{3} \ x^3</math>, denn <math>F \ '(x) = x^2</math> und das wollten wir ja haben! | ||
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# Es gibt immer unendlich viele Stammfunktionen der Form <math>F(x) + c</math> einer gegebenen Funktion <math>f(x)</math>, da die Ableitung einer solchen Stammfunktion immer wieder <math>f(x)</math> ergibt. Konstanten werden ja zu null abgeleitet. | # Es gibt immer unendlich viele Stammfunktionen der Form <math>F(x) + c</math> einer gegebenen Funktion <math>f(x)</math>, da die Ableitung einer solchen Stammfunktion immer wieder <math>f(x)</math> ergibt. Konstanten werden ja zu null abgeleitet. | ||
# Es ist z.B. <math>F(x) = \frac{1}{4} \ | # Es ist z.B. <math>F(x) = \frac{1}{4} \ x^4</math>, i.A. aber <math>F(x)=\frac{1}{4} \cdot x^4 + c</math> | ||
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===Verfeinertes Beispiel von oben=== | |||
Wir haben jetzt gesehen, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu einer gegebenen Funktion gibt, da die addierte Konstante bei der Ableitung wieder verschwindet. Also müssen wir das Ergebnis des Beispiels von oben etwas erweitern. <br> | |||
Im Allgemeinen gilt dann für <math>f(x)=x^2</math>: <br> | |||
<math>F(x)=\frac{1}{3} \ x^3+c</math> | |||
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Version vom 21. Oktober 2009, 07:53 Uhr
Beispiel
Gesucht ist eine Stammfunktion zu der Funktion .
Wir wissen, dass die Ableitung der gesuchten Funktion unsere Ausgangsfunktion sein muss. Wir wissen weiter, dass bei der Ableitung einer Potenzfunktion der Exponent als Faktor vor die Ableitung geschrieben und danach um 1 erniedrigt wird. Also gilt
, denn und das wollten wir ja haben!
Vorlage:Aufgaben-M
Im Applett unten wird Dir ein grafisches Beispiel einer Funktion und zweier Stammfunktionen und gezeigt.
Verschiebe dabei zuerst die Funktion mit der Maus in alle möglichen Richtungen und beobachte, wie sich die Stammfunktionen verändern.
Verschiebe in einem zweiten Schritt die Konstante auf der y-Achse und abwechselnd die Ausgangsfunktion. Beobachte die Veränderung.
Verfeinertes Beispiel von oben
Wir haben jetzt gesehen, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu einer gegebenen Funktion gibt, da die addierte Konstante bei der Ableitung wieder verschwindet. Also müssen wir das Ergebnis des Beispiels von oben etwas erweitern.
Im Allgemeinen gilt dann für :
